精品解析：2026年北京市大兴区中考二模考试数学

2025~2026学年度第二学期期末练习 初三数学 考生须知 1．本试卷共8页，共28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的三视图进行一一判断即可． 【详解】解：∵主视图和左视图为长方形 ∴几何体不是三棱柱和圆锥 ∵俯视图为圆 ∴几何体不是长方体 ∴该几何体为圆柱 故选C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图．解题的关键在于熟练掌握几何体从前面，左面，上面看到的分别为主视图，左视图，俯视图． 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴确定a、b的取值范围，结合绝对值、相反数及有理数运算法则进行判断． 【详解】由数轴可知：，， ∴，，即，A错误； ∵，， ∴，B错误； ∵ ，不等式两边同乘得， ∴，C正确； ∵ ，且， ∴，D错误． 3. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形外角和定理，以及正多边形各外角相等的性质求解，直接计算边数即可得到结果． 【详解】∵任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角都相等， ∴设该正多边形的边数为n， 则， ∴这个正多边形是正十边形． 4. 一个不透明的袋子中仅有5个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球为蓝球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出球的总个数，再用蓝球个数除以总个数得到概率即可． 【详解】由题意可得，袋子中球的总个数为（个），其中蓝球的个数为 2， ∴随机摸出一个球，摸出蓝球的概率为． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式是解题的关键． 根据题意以及根的判别式列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故选A． 6. 1970年4月24日，中国第一颗人造卫星“东方红一号”成功发射．自2016年起，将每年4月24日设立为“中国航天日”．我国首个目标飞行器天宫一号向地球发射无线电信号，信号单向传输到地面测控站所用时间约为，传播速度为，则天宫一号与地面测控站的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程公式，结合科学记数法的运算规则计算即可得到结果． 【详解】． 7. 如图，在中，，，分别以A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于M，N，直线与交于点D，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据作图方法判断出是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，，， ∵，， ∴， 由作图可知，，， ∴点M，N都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，点B是函数图象上的动点（A，B不重合），点A是的中点，点B是的中点，作垂直x轴于点E，交图象于点G，作垂直y轴于点F，交图象于点H．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②连接，，则的面积是面积的2倍； ③连接，，，，则与的面积一定相等； ④连接，，则，不一定平行． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】设点A、点B坐标推出点C、点D、点G、点H坐标，利用图像和坐标得出三角形的面积，分析①②③结论，利用，所在直线的解析式进行切入，假设，分析④结论． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图所示： 设点A坐标为，点B坐标为， ∵点A是的中点，点B是的中点， ∴点C坐标为，点D坐标为，点G坐标为，点H坐标为， ∵点A，点B是函数图象上的点， ∴，， 根据图象可知： ， ， ∴，故①正确； ∵ ， ∴， ∵ ， ∴，故②不正确； ∵ ， ∴， ， ∴，故③正确， ∵设所在直线的函数表达式为， 将C，D代入得：， 解得：， 设所在直线的函数表达式为， 将点G坐标为，点H坐标为，代入得：， 解得：， 若，则， 即：， 整理得：， 所以， 因为，，所以等式恒成立， 即，所以④不正确． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、坐标与图形的面积关系、中点坐标公式以及平行线的判定，重难点在于利用点的坐标得出线段的长度，进而计算三角形面积，以及通过坐标关系判断直线的平行关系，解题核心是设点A、点B坐标推出点C、点D、点G、点H坐标． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 分解因式：mn2﹣m=__________． 【答案】m（n+1）（n﹣1） 【解析】 【分析】先提取公因式m，再利用平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行二次分解． 【详解】mn2﹣m=m（n2﹣1）=（n+1）（n﹣1） 考点：提公因式法与公式法的综合运用 10. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟记分式的分母不能为0．根据分式的分母不能为0，可知，由此可解． 【详解】解：代数式有意义， ， ， 故答案为：． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原方程的解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 12. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】只需找到满足命题条件，但不满足命题结论的一组实数即可． 【详解】解：当，时，，满足条件， ∵，， ∴，不满足结论． 13. 在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下： 甲：2，2，4，5，5； 乙：2，3，4，4，5； 丙：3，3，4，4，4． 根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，________同学发挥更稳定． 【答案】丙 【解析】 【分析】先计算三组数据的平均数，再根据方差公式计算三组数据的方差，比较方差大小，根据方差越小数据波动越小发挥越稳定的性质，得到结论． 【详解】解：，，， ∴，，， ∵， ∴丙同学的方差最小，发挥更稳定． 14. 如图，四边形内接于，是的直径，点E是下方上一点．若，则的大小为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质求出的度数，利用直径所对的圆周角是直角得出，在直角三角形中求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解． 【详解】如图，连接， ∵四边形内接于 ， ∴， ∵ ， ∴， ∵是的直径 ， ∴， 在中，， ∵与都是所对的圆周角， ∴． 15. 如图，在矩形中，点为中点，连接，点为的延长线上一点，连接交于．若，的面积为，则四边形的面积为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识． 根据线段之间的关系先求出，再利用矩形的性质证明，即可求出，再求出，问题随之得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 16. 某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 【答案】 ①. 19 ②. 30 【解析】 【分析】（1）分别计算先制作模型1后制作模型3，以及先制作模型3后制作模型1的总耗时，比较得出最小值； （2）根据工序先后顺序及人员分工，依次分析关键路径，计算各工序完成时刻得出总耗时，通过比较即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意知， 若先制作模型1，后制作模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为， ∴总耗时20分钟； 若先制作模型3，后制作模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为， ∴总耗时19分钟， ∵， ∴最少需要19分钟； （2）要完成3件模型的制作，则有“模型1-模型2-模型3”、“模型1-模型3-模型2”、“模型2-模型1-模型3”、“模型2-模型3-模型1”、“模型3-模型1-模型2”“模型3-模型2-模型1”共六种顺序制作： ①模型1-模型2-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， ∴总耗时31分钟； ②模型1-模型3-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ③模型2-模型1-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， ∴总耗时30分钟； ④模型2-模型3-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， ∴总耗时30分钟； ⑤模型3-模型1-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时刻：模型3为，模型1为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ⑥模型3-模型2-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， ∴总耗时31分钟， 综上所述，要完成这3件模型的制作，最少需要30分钟． 三、解答题（共68分，第17-19题每小题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别通过绝对值计算、二次根式化简、负整数指数幂运算和特殊角的三角函数值的计算逐一计算各项，再依次加减即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算分子、因式分解分母，约分得到化简结果，再由已知条件得到，整体代入化简结果即可得到答案． 【详解】解： ， 由可得，则原式． 20. 如图，在中，，O为中点，过点A作于点E，连接，并延长到点D，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵O为中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分的判定定理证得四边形是平行四边形，再由得证结论； （2）利用正弦的定义可求得的长度，再根据等腰三角形三线合一的性质证得，利用矩形的性质证出，从而得到，即，求得的长度，最后通过勾股定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 在中，，， ∴， ∵，O为的中点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． （1）求和的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两个已知点的坐标代入一次函数解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）根据题意列出时恒成立的两个不等式，分情况讨论不等式恒成立的条件，结合的范围推导得到m的取值范围． 【小问1详解】 解：将点和代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， 根据题意得，当时，且恒成立， ∴且， 对于，若，则， ∴， 当时，x可取任意小于2的数，无法满足常数， ∴无解，舍去， 若，可得，不等式恒成立； 若，则， ∴， ∵对所有恒成立， ∴， ∴ 解得； ∴第一个不等式要求， 对于，若，则当时，满足， 又∵在中，不可能都满足， ∴舍去， 若，可得，不等式恒成立； 若，则， ∵对所有恒成立， ∴， ∴； 解得； ∴第二个不等式成立的条件是 ． 又∵， ∴m的取值范围为． 22. 如图1，筒车是明代科学家宋应星所著《天工开物》中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶．如图2，已知某筒车的转轮圆心为O，吃水深度（转轮最低点到水位线的距离）与转轮半径的比为，转轮圆心O到水槽底部的距离为0.9米，提水高度（水槽底部到水位线的竖直高度）是吃水深度的3.5倍．求这个筒车的转轮半径． 【答案】1.8米 【解析】 【分析】根据题意设吃水深度为x米，则筒车的转轮半径为米，列出一元一次方程求解x的值即可得出筒车的转轮半径． 【详解】解：设吃水深度为x米，则筒车的转轮半径为米， 由题意得：， 解得：， ∴（米）， ∴筒车的转轮半径为1.8米． 23. 五一假期，某景区为调查游客通行效率，某高峰时段工作人员在景区南、北两个检票口各随机抽取20名游客，记录他们从入园开始排队到通过检票口进入景区的等候时间（单位：分钟）．将数据整理，描述和分析，给出下面信息： a．将南、北两个检票口各20名游客等候时间t分别分成四组： A．，B．，C．，D． b．南检票口20名游客等候时间数据： 5 6 9 11 14 19 21 23 26 30 30 30 32 35 37 39 42 46 50 53 c．北检票口20名游客等候时间在C组内的数据： 31 32 32 33 35 36 39 42 d．北检票口20名游客等候时间扇形统计图如下： e．南、北检票口20名游客等候时间平均数、众数、中位数如下表： 项目 南检票口 北检票口 平均数 27.9 27.9 众数 n 32 中位数 30 p （1）写出图表中m，n，p的值：________，________，________； （2）已知当天该高峰时段从南检票口进入景区的游客约为6000人，从北检票口进入景区的游客约为8000人，估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有________人． 【答案】（1）25，30，31.5 （2）6800 【解析】 【分析】（1）利用扇形统计图的数据可求得A组所占百分比，再通过北检票口20名游客中C组占8个求得该组所占百分比，进而求得B组所占百分比，即m的值，观察南检票口20名游客等候时间数据出现次数最多的即为众数，求得n的值，再通过计算求出北检票口20名游客等候时间中第10、11名游客等候时间之和的平均数即为中位数，求得p的值； （2）利用样本估计总体，分别求出北检票口超过30分钟的游客所占频率和南检票口超过30分钟的游客所占频率，再用各自的总数分别乘以对应的频率再相加即可得出结果． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，北检票口A组的圆心角度数为， ∴所占百分比为：， ∵北检票口20名游客等候时间在C组内的数据共有8个， ∴所占百分比为：， ∴B组所占百分比为：，即， 在南检票口20名游客等候时间数据中，出现次数最多的为30，共出现3次， ∴， 在北检票口的20名游客等候时间数据中，中位数为第10、11名游客等候时间数据之和的平均数， 而第10、11名游客等候时间为31、32， ∴． 【小问2详解】 解：由题可知，在南检票口20名游客等候时间数据中，超过30分钟的游客有8名， ∴频率为， 在北检票口20名游客等候时间数据中，超过30分钟的游客占比为， ∴（人）， ∴估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有6800人． 24. 如图，在中，，点是中点，以为圆心，的长为半径作交延长线于点，交于点，交于点，过点作的切线交延长线于点． （1）求证：； （2）连接并延长交于点，若，，求的半径． 【答案】（1）证明：连接，如图： ∵，为的中点， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线， 又∵是的切线， ∴； （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）证明是的切线，再根据切线长定理可得结论； （2）连接并延长交于点，过点作于点，连接，根据题意得到，设的半径为，则，分别求出，，，，再根据直角三角形得到，即，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接并延长交于点，过点作于点，连接，如图： ∵，点是中点， ∴，平分，即平分， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∵，，，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的半径为． 25. 为营造家庭亲子阅读氛围，A、B两个家庭分别制定了每周七天循环阅读计划，并以10天为一个结算单元设立积分奖励，每读一页书，奖励0.2积分，积分达到一定数值可以兑换相应礼品．每周七天可用星期表示，其中，，，，，，，至6依次表示星期一至星期六，表示星期日． A家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 12 14 16 18 20 22 24 34.8 36 37.2 36.8 35.2 B家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 20 18 13 22 15 23 通过分析数据，在平面直角坐标中，分别描出部分数对，所对应的点． （1）A家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为________； （2）在给出的坐标系中，描出表示的点； （3）按照A家庭的积分兑换办法，兑换一本新书需要37积分．若连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期________当天开始阅读； （4）A家庭从星期________当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大； （5）若随的增大而增大，则整数________． 【答案】（1）168页 （2） （3）四 （4）五 （5）19 【解析】 【分析】（1）根据题意，将A家庭从星期一当天开始，连续10天每日阅读量相加即可； （2）根据“A家庭从星期一当天开始连续10天阅读总量”求得的值，然后描点即可； （3）比较一周积分数值，并结合尽早完成兑换，即可获得答案； （4）首先求得的值，然后比较一周积分数值大小，即可获得答案； （5）分别计算B家庭每日连续10天阅读总量，且随的增大而增大，即每日连续10天阅读总量随的增大而增大，据此建立关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：， 即A家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为168页； 【小问2详解】 解：，描点略； 【小问3详解】 解：∵，， ∴连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期四当天开始阅读； 【小问4详解】 解：根据题意， ， ∵， ∴A家庭从星期五当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大； 【小问5详解】 解：根据题意，B家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期二当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期三当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期四当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期五当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期六当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期日当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， ∵随的增大而增大， ∴，解得， ∵为整数， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求的值，并用含的式子表示． （2）直线与抛物线交于点和点（、不重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①用含的式子表示点的横坐标； ②已知，，点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）①，②或 【解析】 【分析】（1）将点和点代入二次函数即可作答； （2）①根据（1）的结果，联立一次函数、二次函数即可作答；②将一次函数、二次函数相减，结果的绝对值即为的长度，将其配方，再分类讨论：当时，即、同在y轴的左侧，即确定取最大值时x的值，再确定此种情况下点的位置，数形结合即可求解；当时，再确定取最大值时x的值，数形结合即可列出关于a的不等式组，问题随之得解． 【小问1详解】 解：将点和点代入二次函数关系式有：，， 即：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴二次函数为， ①联立：，解得：，或， 即点B的坐标为：， ∵、不重合， ∴，即， 则点B的横坐标为； ②根据题意可知的长度为：， 当时，即、同在y轴的左侧， ∵， ∴，， ∴当时，的最大值为：， ∵直线与抛物线交于点和点（、不重合），点B的横坐标为：， 若点在y轴的右侧，结合、同在y轴的左侧， 如图， 即在范围内，的函数值大于的函数值， ∴此时的的值将随着x的变大逐渐变大，此时与题意不符， ∴点在y轴的左侧， 如图， ∵当时，的最大值为：， 又∵点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小， ∴，解得：； 当时，即、同在y轴的右侧， ∵，， ∴，， ∴当时，的最大值为：， 如图， 要满足：点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小， ∴，解得：； 综上：的取值范围或． 27. 在中，， ，点是的中点，点为下方一点，满足，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点恰好落在上．连接，延长交于点． （1）连接，求证：； （2）用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：如图，连接 ∵在中，，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， 由旋转的性质得：，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，先得出，再得出，则，然后根据三角形的外角性质即可得证； （2）延长至点，使得，连接，先证出，则，再证出四边形是平行四边形，则，据此即可得出结论． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和平行四边形． 28. 在平面直角坐标系中，对于不重合的点A和点B以及正实数m有如下定义：过B点的任意一条直线上都存在点C，D（B，C，D互不重合），满足，称点B是点A的“m－区域点”，线段的长度的最小值叫做点B关于点A的“m－区域距离”． （1）若点A坐标为，在，，这三个点中________是点A的“2－区域点”，此时这个点关于点A的“2－区域距离”是________； （2）若点A是直线上一动点，记点A的横坐标为t，则使得坐标原点O是点A的“5－区域点”的t的取值范围是________，点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是________； （3）若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点M，都存在，，使得M既是的“－区域点”也是的“－区域点”，直接写出t的取值范围是________． 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“m－区域点”和“m－区域距离”的定义即可求解； （2）根据“m－区域点”的定义结合图象可得出，求得t的临界值并得出范围，再根据“m－区域距离”的定义可得出点O关于点A的“5－区域距离”存在最大值，则点O到点A的距离须为最小，即当时，存在最小值，利用勾股定理求得最大值即弦长最大值； （3）由题意可得，点M既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内，点M是线段上的动点，可得出线段均在如图所示的阴影部分内，结合图象并根据定义可得出与，与的交点坐标，从而得出t的临界值并得出范围． 【小问1详解】 解：由题意知，点A的“m－区域点”是对过点B的任意直线与以A为圆心，m为半径的都有两个交点，点A的“m－区域距离”是与过点B的直径垂直的弦长， 如图，作以点A为圆心，半径为2的， 观察图象可知，点在内部，点在外部，点在上， ∴符合题意的点为，即点是点A的“2－区域点”， 过点作轴，交于点C，D，连接， ∴，， 在中，， 同理可得：， ∴，即点关于点A的“2－区域距离”是． 【小问2详解】 解：由题意知，点A是直线上一动点，且横坐标为t， ∴纵坐标为， 要使得坐标原点O是点A的“5－区域点”， 如图，分别作半径为5，且过点O的，，连接，， ∴， ∴， 解得：，， ∴t的取值范围是， 要使点O关于点A的“5－区域距离”存在最大值，则点O到点A的弦心距必为最小， ∴当时，存在最小值， 如图，作的平行线，连接，，设分别交x轴，y轴于点G，H， ∴， 易得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴， 即点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是． 【小问3详解】 解：由题意可得，点M既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内， ∵点M是线段上的动点， ∴线段均在如图所示的阴影部分内， 如图，作半径为的，作直线交于点，，使得，交x轴于点P，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∵，在阴影区域内，且不与边界重合， ∴，解得：， 同理，作交于点，，使得，交x轴于点，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，， ∴，， ∵，在阴影区域内，且不与边界重合， ∴，解得：， 综上所述，t的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末练习 初三数学 考生须知 1．本试卷共8页，共28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 4. 一个不透明的袋子中仅有5个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球为蓝球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 6. 1970年4月24日，中国第一颗人造卫星“东方红一号”成功发射．自2016年起，将每年4月24日设立为“中国航天日”．我国首个目标飞行器天宫一号向地球发射无线电信号，信号单向传输到地面测控站所用时间约为，传播速度为，则天宫一号与地面测控站的距离约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，分别以A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于M，N，直线与交于点D，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，点B是函数图象上的动点（A，B不重合），点A是的中点，点B是的中点，作垂直x轴于点E，交图象于点G，作垂直y轴于点F，交图象于点H．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②连接，，则的面积是面积的2倍； ③连接，，，，则与的面积一定相等； ④连接，，则，不一定平行． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 分解因式：mn2﹣m=__________． 10. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 11. 方程的解为________． 12. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为________，________． 13. 在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下： 甲：2，2，4，5，5； 乙：2，3，4，4，5； 丙：3，3，4，4，4． 根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，________同学发挥更稳定． 14. 如图，四边形内接于，是的直径，点E是下方上一点．若，则的大小为________． 15. 如图，在矩形中，点为中点，连接，点为的延长线上一点，连接交于．若，的面积为，则四边形的面积为________． 16. 某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 三、解答题（共68分，第17-19题每小题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，O为中点，过点A作于点E，连接，并延长到点D，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． （1）求和的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 22. 如图1，筒车是明代科学家宋应星所著《天工开物》中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶．如图2，已知某筒车的转轮圆心为O，吃水深度（转轮最低点到水位线的距离）与转轮半径的比为，转轮圆心O到水槽底部的距离为0.9米，提水高度（水槽底部到水位线的竖直高度）是吃水深度的3.5倍．求这个筒车的转轮半径． 23. 五一假期，某景区为调查游客通行效率，某高峰时段工作人员在景区南、北两个检票口各随机抽取20名游客，记录他们从入园开始排队到通过检票口进入景区的等候时间（单位：分钟）．将数据整理，描述和分析，给出下面信息： a．将南、北两个检票口各20名游客等候时间t分别分成四组： A．，B．，C．，D． b．南检票口20名游客等候时间数据： 5 6 9 11 14 19 21 23 26 30 30 30 32 35 37 39 42 46 50 53 c．北检票口20名游客等候时间在C组内的数据： 31 32 32 33 35 36 39 42 d．北检票口20名游客等候时间扇形统计图如下： e．南、北检票口20名游客等候时间平均数、众数、中位数如下表： 项目 南检票口 北检票口 平均数 27.9 27.9 众数 n 32 中位数 30 p （1）写出图表中m，n，p的值：________，________，________； （2）已知当天该高峰时段从南检票口进入景区的游客约为6000人，从北检票口进入景区的游客约为8000人，估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有________人． 24. 如图，在中，，点是中点，以为圆心，的长为半径作交延长线于点，交于点，交于点，过点作的切线交延长线于点． （1）求证：； （2）连接并延长交于点，若，，求的半径． 25. 为营造家庭亲子阅读氛围，A、B两个家庭分别制定了每周七天循环阅读计划，并以10天为一个结算单元设立积分奖励，每读一页书，奖励0.2积分，积分达到一定数值可以兑换相应礼品．每周七天可用星期表示，其中，，，，，，，至6依次表示星期一至星期六，表示星期日． A家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 12 14 16 18 20 22 24 34.8 36 37.2 36.8 35.2 B家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 20 18 13 22 15 23 通过分析数据，在平面直角坐标中，分别描出部分数对，所对应的点． （1）A家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为________； （2）在给出的坐标系中，描出表示的点； （3）按照A家庭的积分兑换办法，兑换一本新书需要37积分．若连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期________当天开始阅读； （4）A家庭从星期________当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大； （5）若随的增大而增大，则整数________． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求的值，并用含的式子表示． （2）直线与抛物线交于点和点（、不重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①用含的式子表示点的横坐标； ②已知，，点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，求的取值范围． 27. 在中，， ，点是的中点，点为下方一点，满足，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点恰好落在上．连接，延长交于点． （1）连接，求证：； （2）用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于不重合的点A和点B以及正实数m有如下定义：过B点的任意一条直线上都存在点C，D（B，C，D互不重合），满足，称点B是点A的“m－区域点”，线段的长度的最小值叫做点B关于点A的“m－区域距离”． （1）若点A坐标为，在，，这三个点中________是点A的“2－区域点”，此时这个点关于点A的“2－区域距离”是________； （2）若点A是直线上一动点，记点A的横坐标为t，则使得坐标原点O是点A的“5－区域点”的t的取值范围是________，点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是________； （3）若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点M，都存在，，使得M既是的“－区域点”也是的“－区域点”，直接写出t的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $