精品解析：江苏省常州市2025-2026学年高三上学期11月期中质量调研数学试题

常州市2025-2026学年第一学期高三期中质量调研 数学 2025年11月 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合是质数，，则（ ） A. B. {2} C. {3} D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过解不等式先求出集合，变形，分析出要使是质数，而必须是2的正因数，将和分别代入验证，即可求出集合，再求即可得解. 【详解】由，解得，故. 因为， 要使是质数，必须是整数，而必须是2的正因数. 因为2的正因数有1和2， 所以当时，，此时，4不是质数，不符合要求，舍去； 所以当时，，此时，3是质数，符合要求，故. 所以. 故选：C 2. 某店日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据： -2 -1 0 1 2 百元 5 4 2 2 1 小明对上述数据进行分析，发现与之间具有线性相关关系，则关于的经验回归方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据经验回归方程必过样本中心点的性质，求出样本中心点，根据变化趋势，判断结果. 【详解】由题意可知，，样本中心点为， 由样本数据可知，随着的增大而减小，所以符合条件. 故选：B. 3. 下列四个命题中，是假命题的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题及全称量词命题的真假判定方法，结合基本不等式判断即得. 【详解】对于A，取，，A是真命题； 对于B，取，，B是真命题； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 因此当时，，C是真命题； 对于D，当时，，D是假命题. 故选：D 4. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求，根据求. 【详解】因为，所以，所以， 又. 故选：D 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数图象变换求出解析式. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到， 再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得. 故选：A 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 3：1 【答案】C 【解析】 【分析】设它们底面圆半径为，母线长为，计算其表面积后可得比例关系. 【详解】设它们底面圆半径为，母线长为， 记圆柱的表面积为，则， 记圆锥的表面积为，则， 所以圆柱与圆锥表面积之比. 故选：C 7. 若实数，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数函数的单调性，比较与的大小，再构造函数，，分析其单调性和最值，比较与的大小. 【详解】因为，， 由，所以，即. 设函数，，则，. 由；由. 即在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 所以，即. 综上，. 故选：A 8. 已知函数是函数的图象上的定点，过的动直线与函数的图象有异于的两个公共点，且它们的纵坐标之和恒为2，则的横坐标为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，直线的方程为，与函数解析式联立，利用恒成立求. 【详解】因为在函数的图象上，所以可设， 设直线方程为：， 代入得：， 化简得：. 因为为该方程的1个根，所以方程可化成， 即. 所以. 设，， 则，为方程的两根，所以， 由， 即恒成立. 所以， 由及可得，解得， 由可得， 将代入该式得，即， ， 所以，所以，即点的横坐标为：. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是虚数，且．下列四个选项中，的可能取值有（ ） A. 0 B. i C. 1 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件设出复数，再求出的取值范围即可判断. 【详解】由是虚数，，设， 则， 因此的可能取值有0和1. 故选：AC 10. 立德中学某班名同学参加“青春向党”知识竞赛答题活动，其成绩均为正整数，中位数为，唯一众数为，极差为，则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的最小值可能为 B. 该组数据的平均数不超过 C. 该数据的第百分位数为 D. 该组数据的方差超过 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意设该组数据从小到大为、、、、，根据已知条件得出、、、的值，可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用百分位数的概念可判断C选项；利用方差公式可判断D选项. 【详解】由题意设该组数据从小到大为、、、、， 由题意可得，，，可得，A错； 这组数据为、、、、，则， 这组数据的平均数为，B对； 对于C选项，因为，所以该数据的第百分位数为，C对； 对于D选项，当时，这组数据的平均数为， 这组数的方差为， 当时，这组数的平均数为， 这组数的方差为， 当时，这组数据的平均数为， 这组数的方差为， 当，此时这组数据的平均数为， 这组数的方差为， 因此，这组数据的方差大于，D对. 故选：BCD. 11. 已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：借助折叠性质与勾股定理逆定理计算即可得；对B：借助线面垂直判定定理可得为三棱锥的高，再利用体积公式计算即可得；对C：借助等体积法计算即可得；对D：设出球心，结合外接球性质，利用勾股定理计算即可得. 【详解】对A：，，， 有，故，故A正确； 对B：由，故、， 又、平面，，故平面， 故，故B错误； 对C：设点到平面的距离为，则由可得： ，则，故C正确； 对D：设三棱锥外接球球心为，半径为， 由，平面，取中点， 则，且，则， 则有， 即，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含的项的系数为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用多项式乘法法则，结合分步乘法计数原理求解. 【详解】在的展开式中， 从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘的积即可得含的项， 所以含的项的系数为. 故答案为： 13. 已知平面向量，其中是锐角．若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用数量积的坐标表示，结合和角的余弦公式求解. 【详解】向量，由， 得 ，由是锐角，得， 所以. 故答案为： 14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某直线折叠，现有一张长方形纸（）．若将长方形纸对折，使得重合，得到新的长方形，发现长边与短边的长度比保持不变．若将长方形纸的顶点折到边上，设折痕所在直线与的夹角为，当折痕最短时，___________． 【答案】## 【解析】 【分析】画图，研究各种不同情形，借助于直观的判断和平均值不等式求得各种情况下的最小值，进而比较得出折痕最小的条件，进一步求得对应的角的正弦值. 【详解】设中点为,中点依次记为,中点记为,连接. 设,因为在上，所以的中点在线段上. 折痕为过,且,情况分三种，如图1，2，3. 由题意，,得. 情形1： 如图1，折痕. 情形2： 如图2，， , , 所以. 情形3： 如图3.当与重合时，取得最小值. 如图4，此时. 由,得,所以. 故当折痕最短时，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表： 男性 女性 需要 40 20 不需要 160 280 （1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值； （2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；并指出该调查中更优的抽样方法． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） （2）能，先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样. 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率进行求解即可； （2）根据数据计算卡方，结合卡方的数值进行判断. 【小问1详解】 抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人， 频率为，所以的估计值是. 【小问2详解】 列联表如下： 男性 女性 合计 需要 40 20 60 不需要 160 280 440 合计 200 300 500 ，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. 由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异，因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样. 16. 有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． （1）求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； （2）已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 【答案】（1）576； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用排列、组合计数问题列式计算得解. （2）根据给定条件，利用条件概率公式列式求解. 【小问1详解】 由最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，得第5次测得不合格品， 且前4次测得3只不合格品、1只合格品， 所以不同情形种数为. 【小问2详解】 记事件：最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，事件：第2次测得合格品， ，， 因此， 所以最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，第2次测得合格品的概率为. 17. 在中，分别是角所对的边，点在边上，已知，的面积为． （1）求； （2）若，求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式，结合角的范围求出，根据三角形面积公式和余弦定理即可求； （2）设，所以，分别在和，利用正弦定理，推得，计算即得. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，则，故由，可得. 因为，，解得， 由余弦定理得， 解得. 【小问2详解】 设，所以． 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理得，，即， 因，代入化简得， 即，解得，即. 18. 如图，在直三棱柱中，，两点分别在直线上，． （1）证明：平面； （2）求线段的长度； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 因为直三棱柱，则， 因，则， 又，，平面，则平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求证，再利用线面垂直的判定定理求证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，利用求出坐标即可； （3）计算平面和平面的法向量，根据法向量的夹角和二面角的平面角的关系即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直三棱柱，且， 则以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设， 则，则， 则，解得， 则，故； 【小问3详解】 因，则，， 设平面和平面的法向量分别为， 则，， 不妨令，则， 则， 有图可知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为 19. 已知函数． （1）当，求在点处的切线方程； （2）当，求函数的零点个数； （3），求整数的值． 【答案】（1） （2）个 （3）或 【解析】 【分析】（1）借助导数几何意义计算即可得； （2）当时，借助导数合理放缩可得其单调性，结合零点存在性定理可得其在该范围内零点个数，当时，分、、以及，再合理放缩即可得解； （3）分、、与进行讨论即可得. 【小问1详解】 当时，，则， 有，又， 故在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，定义域为，， ①，因为，所以在上单调递增． 又因为， 由零点存在性定理可得，存在使得． ②当且， 因此恒成立，即在该区间内无零点． ③当时，． 因为， 所以在区间上单调递减． . 因为，所以，在上，故该区间内无零点． ④当时，， 因此该区间内也无零点． 综上，函数在上仅有一个零点． 【小问3详解】 函数，由题意． 当时，对于任意恒成立， 当时，由（2）知在上恒成立． 当且时，取，有， 由于且，故，与矛盾． 综上所述，的值为0或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市2025-2026学年第一学期高三期中质量调研 数学 2025年11月 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合是质数，，则（ ） A. B. {2} C. {3} D. 2. 某店日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据： -2 -1 0 1 2 百元 5 4 2 2 1 小明对上述数据进行分析，发现与之间具有线性相关关系，则关于的经验回归方程为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个命题中，是假命题的为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 3：1 7. 若实数，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是函数的图象上的定点，过的动直线与函数的图象有异于的两个公共点，且它们的纵坐标之和恒为2，则的横坐标为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是虚数，且．下列四个选项中，的可能取值有（ ） A. 0 B. i C. 1 D. 10. 立德中学某班名同学参加“青春向党”知识竞赛答题活动，其成绩均为正整数，中位数为，唯一众数为，极差为，则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的最小值可能为 B. 该组数据的平均数不超过 C. 该数据的第百分位数为 D. 该组数据的方差超过 11. 已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含的项的系数为___________． 13. 已知平面向量，其中是锐角．若，则___________． 14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某直线折叠，现有一张长方形纸（）．若将长方形纸对折，使得重合，得到新的长方形，发现长边与短边的长度比保持不变．若将长方形纸的顶点折到边上，设折痕所在直线与的夹角为，当折痕最短时，___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表： 男性 女性 需要 40 20 不需要 160 280 （1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值； （2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；并指出该调查中更优的抽样方法． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． （1）求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； （2）已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 17. 在中，分别是角所对的边，点在边上，已知，的面积为． （1）求； （2）若，求的正切值． 18. 如图，在直三棱柱中，，两点分别在直线上，． （1）证明：平面； （2）求线段的长度； （3）求二面角的余弦值． 19. 已知函数． （1）当，求在点处的切线方程； （2）当，求函数的零点个数； （3），求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $