专题01 相似三角形（4大经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题01 相似三角形 比例与成比例线段 1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如果，那么的值为 ． 2．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）已知是比例线段，若，则 . 平行截线 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，，，与相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图所示，直线，另两条直线分别交于点及点，且，则（    ） A． B． C． D． 相似三角形的判定与性质 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，．下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图所示，、是两条中线，则 ． 4．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）已知与的相似比为，且，则的面积是 . 5．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点，．若直线将的面积平分，则线段的长为 ． 6．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，垂足分别为D，E，与相交于点F． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 7．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，在矩形中，，，是边上的一点（不与、重合），，垂足为． (1)求证： ； (2)若，求的长． 8．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，，，求．    10．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点. (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求的度数. 相似三角形的应用及位似 1．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图所示，某同学用如下方法测量数学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则救学楼的高度为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ． 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）将图中的作下列变换，画出相应的图形： (1)关于y 轴对称图形； (2)以B点为位似中心，将放大到2倍． 相似三角形的综合问题 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，已知，如图，在中，，延长至点，过点作平分，且．在上取点，上取点，使，连接，，，过点作，分别交，，于点，，，连接交于点．若，，，则的长为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去. 若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 . 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图1，在正方形中，点P在上，分别过点C、D作于点E、G，联结，过点C作于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的值； (3)如图2，若，经过的中点K，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似三角形 比例与成比例线段 1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】利用合比的性质进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查比例的基本的性质，根据性质内容准确计算是关键. 2．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）已知是比例线段，若，则 . 【答案】 【分析】本题考查成比例线段．熟练掌握成比例线段的定义：四条线段中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，是解题的关键． 【详解】解：∵是比例线段， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 平行截线 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，，，与相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质．根据平行线分线段成比例以及，可得，从而得到，再根据全等三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即全等三角形共4对． 故选：D. 2．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图所示，直线，另两条直线分别交于点及点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，进而求出，再根据线段之间的关系逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选A． 相似三角形的判定与性质 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：A, 可得，此项不符合题意； B.，可得，此项不符合题意； C.，即可得，此项不符合题意； D.和不能判断，此项符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，．下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据题意，得，利用可证；利用，结合公共角相等，可证；连接，先证明，得到，再证明，利用三角形相似的性质证明即可． 【详解】解：∵平分交于点D， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 故②正确； 连接， ∵，M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图所示，、是两条中线，则 ． 【答案】 【分析】根据、是两条中线，得到，得到，根据性质，得到，继而解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵根据、是两条中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）已知与的相似比为，且，则的面积是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点，．若直线将的面积平分，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等、三角形相似；依据题意，连接交于点，由直线将的面积平分，从而为的中点，结合平行四边形的性质可得，进而，再由有，求出，故而可以得解． 【详解】解：连接交于点． 直线将的面积平分，为的对角线， 为的中点，为平行四边形的中心． ． 四边形是平行四边形， ． ，． 又， ． ． ． 又，，， ． ． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，垂足分别为D，E，与相交于点F． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质； （1）余角的性质及对顶角相等得，即可求证； （2）由相似三角形的性质得，即可求解； 掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， 解得：． 7．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，在矩形中，，，是边上的一点（不与、重合），，垂足为． (1)求证： ； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理， （1）由矩形性质得，进而由平行线的性质得，再根据两角对应相等的两个三角形相似； （2）根据相似三角形的性质可得，继而得到，再根据勾股定理计算即可； 掌握矩形的性质与相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴或（负数不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的长为． 8．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】 （1）由矩形性质得，进而由平行线的性质得，再由，得出，最后根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明． （2）由（1）的结论可得出，由是矩形，得出，由是的中点得出，由勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，关键是证明三角形相似． 9．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，，，求．    【答案】9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，可得，即可得，问题随之得解． 【详解】解：， ， ， ， 即 ， ， ， ． 10．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点. (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到； （2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论； （3）根据第一问结论可得，然后通过相似三角形的对应角相等解题即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）(2)如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴． 相似三角形的应用及位似 1．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图所示，某同学用如下方法测量数学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则救学楼的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据题意得出 ，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键． 【详解】解:依据题意,得 ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴ ， 故选A． 2．（22-23九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查坐标与位似，根据关于原点成位似图形的对应点的坐标的特征，进行求解即可． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴的坐标为或， 即：点的坐标是或； 故选D． 3．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据位似比求出，再证明，得到，，，，同理证明，得到，从而得到正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……，据此发现规律即可得到答案． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为， ， ， 正方形的边长为， ， ， 同理可得， ， ， 正方形的边长为， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积为， …… ∴正方形的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题为位似的实际应用，考查了位似比，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，理解题意，根据相似三角形和正方形的知识分别求出正方形的边长，从而表示出正方形的面积并发现规律是解题关键． 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）将图中的作下列变换，画出相应的图形： (1)关于y 轴对称图形； (2)以B点为位似中心，将放大到2倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． 本题考查了轴对称作图，位似作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故对称坐标为，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下： 则即为所求． 相似三角形的综合问题 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，已知，如图，在中，，延长至点，过点作平分，且．在上取点，上取点，使，连接，，，过点作，分别交，，于点，，，连接交于点．若，，，则的长为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质、解一元二次方程、相似三角形的性质和判定等相关知识，熟知相关定理及方法是正确解决本题的关键． 先利用，且证明是等边三角形，再证明，进而证明是等边三角形，，再结合题意列出比例式即可求解． 【详解】 解：，， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ，即， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， ， 即的长为． 故答案为：B． 2．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去. 若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律. 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的面积和矩形的面积的比, 故答案为：. 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图1，在正方形中，点P在上，分别过点C、D作于点E、G，联结，过点C作于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的值； (3)如图2，若，经过的中点K，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再证明，则，即可证明四边形是正方形； （2）连接交于点O，证明. 则.又由得到 再证明. 即可得到； （3）证明，则.设，则，在中，由勾股定理得，则，证明，进一步得到是等腰直角三角形，，由得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明∵， ∴四边形是矩形. 在正方形中， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ∴. ∴四边形是正方形. （2）连接交于点O，由（1）可得. 又， ∴. ∴. 又， ∴ ∴，. ∴ ∴. ∴； （3）连接. 由题意得，则. 由（2）可知，， ∵， ∴.      所以. 设，则，在中，由勾股定理得， 则， 又， ∴， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴. 所以． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$