专题04 比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题（压轴题专项训练）数学湘教版九年级上册

专题04 比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题 目录 1 类型一、等比性质和合比性质的应用 1 类型二、与黄金分割有关的求解 4 类型三、与黄金分割有关的证明 9 类型四、由平行截线求相关线段的长或比值 22 类型五、构造平行线截线求相关线段的长或比值 27 37 类型一、等比性质和合比性质的应用 口诀：见比设k，等比合比一招清。 1. 若a:b=c:d，写a=ck，b=dk，代入求值。 2. 用合比：(a+b):b=(c+d):d，直接得新比例。 3. 知a:b=c:d且a+b=S，先求k=S/(c+d)，再得a=kc，b=kd。 例1．，，为非零实数，且，若，则等于（    ）. A．8 B．4 C．2 D．1 变式1-1．若，则的值为 ． 变式1-2．在平面直角坐标系中，关于的一次函数，其中常数k满足，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数的解析式为 ． 变式1-3已知非负数a、b、c满足,代数式3a+4b+5c的最大值是x，最小值是y，则x+y的值是 . 类型二、与黄金分割有关的求解 口诀：设1分φ，套比例。 把总长看作1，设较长段x，则x²=1·(1-x)→x²+x−1=0，解得x=(−1)/2≈0.618，即为黄金分割点；若已知一段，用x∶(1−x)=φ∶1列式即可。 例2．如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 变式2-1．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图为世界名画蒙娜丽莎．如图，点是正方形的边上的黄金分割点，且，以为边作正方形，延长交于点，连结交于点，连结，则为（　　） A． B． C． D． 变式2-2．顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 变式2-3．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（    ） A． B． C． D． 类型三、与黄金分割有关的证明 口诀：先设比例，再列方程。 1. 设AB=1，点C使AC>CB，令AC=x，则CB=1-x。 2. 由黄金分割定义AC²=AB·CB，得x²=1·(1-x)。 3. 化为一元二次方程x²+x-1=0，取正根x=(√5-1)/2。 4. 代入证AC:AB=CB:AC，即得证。 例3．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 变式3-1．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 变式3-2 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 变式3-3 【教材再现】如图①，点把线段分成、两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为______； (2)如图②，对边长为10的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，得折痕，点对应点．试说明是的黄金分割点； (3)如图③，点是正方形的边的黄金分割点，连接，作，交于点，延长、交于点．求证：． 类型四、由平行截线求相关线段的长或比值 口诀：遇平行，找“比”，套定理。 1. 标平行线l∥m，画截线得交点，写比例式：a/b=c/d。 2. 若求未知长，把已知三段代入比例，交叉相乘一步得值；求比值直接约分。 3. 必要时先证三角形相似，再写对应边成比例即可。 例4 如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ． 变式4-1 如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则 ． 变式4-2 如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 变式4-3 如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 类型五、构造平行线截线求相关线段的长或比值 口诀：缺平行，作平行，造相似。 1. 在已知线段端点作辅助平行线，形成“A”或“X”型。 2. 立即得两组相似三角形，写对应边成比例。 3. 把已知三段代入比例式，交叉相乘求未知长或比值。 例5 如图，在矩形中，，是边上任意一点，连接，F为中点，将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，连接，则周长的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 变式5-1 如图，是的角平分线，E是的中点，连接交于点F，若，，则线段的长为 ． 变式5-2 【问题情境】 如图，已知四边形是正方形，是射线上一点，连接，在右侧以为边作正方形，连接，探究之间的数量关系． 【问题发现】 （1）如图1，当点在线段上时，之间的数量关系为___________； 【问题探究】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论，再给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，当点在线段的延长线上时，设与交于点，过点作，垂足为．若，请直接写出的长． 变式5-3 四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 一、填空题 1．若，且，则的值为 ． 2．如图，在矩形纸片中，，，点是对称中心，点、分别在边、上，且经过点．将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、的位置，则面积的最大值为 ． 3．如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 二、解答题 4．已知，且.求证：. 5．已知，求的值． 6．如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 7．（1）阅读理解 华罗庚是我国著名的数学家，他推广的优选法，就是以黄金分割法为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验方法． 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割． 如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，它们的比值为． 在图①中，若，则的长为________； （2）问题解决 如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点为，折痕为． 证明：是的黄金分割点； （3）拓展探究 如图③在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长，交于点．发现当与满足某种关系时，、恰好分别是的黄金分割点．请猜想这一发现，并说明理由． 8．【综合与实践】 【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”． 如图2，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【探索研究方法】如图3，已知是“类黄金三角形”，且．若，小滨同学过点作于点，发现了两个结论： ①； ②点是边的黄金分割点； 请给出证明． 【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题： 如图4，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 9．根据以下素材，探索完成任务． 素材 定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．    问题解决 任务 问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ． 任务 请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由． 任务 兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ 任务 兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明． 10．四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 11．在平行四边形中，E、F两点分别在和边上，，连接和，分别交于G，H两点． (1)如图1，若平行四边形为菱形． ①求证：． ②若，求的长． (2)如图2，分别记的面积为，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题 目录 1 类型一、等比性质和合比性质的应用 1 类型二、与黄金分割有关的求解 4 类型三、与黄金分割有关的证明 9 类型四、由平行截线求相关线段的长或比值 22 类型五、构造平行线截线求相关线段的长或比值 27 37 类型一、等比性质和合比性质的应用 口诀：见比设k，等比合比一招清。 1. 若a:b=c:d，写a=ck，b=dk，代入求值。 2. 用合比：(a+b):b=(c+d):d，直接得新比例。 3. 知a:b=c:d且a+b=S，先求k=S/(c+d)，再得a=kc，b=kd。 例1．，，为非零实数，且，若，则等于（    ）. A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据已知设，得出方程组，相加得出k的值，代入方程组即可得出 【详解】设，从而有，. 化为整式方程有 三式相加，可得. 题设，故知. 从而可知 于是. 【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键 变式1-1．若，则的值为 ． 【答案】-1或8 【分析】设=k，根据比例的性质可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根据等式的性质可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，分别求出k值，根据=k3即可得答案． 【详解】设=k， ∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk， ∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c）， ∴（a+b+c）(2-k)=0， 当a+b+c=0时，即a+b=-c， ∴k===-1， ∴==k3=-1， 当a+b+c≠0时，则2-k=0， 解得：k=2， ∴==k3=8， 故答案为：-1或8 【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键． 变式1-2．在平面直角坐标系中，关于的一次函数，其中常数k满足，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用得到，解出k的值，即可得到一次函数的解析式. 【详解】∵b是2和8的比例中项， ∴2：b=b：8， 解得b=， ∵b＞0， ∴b=4， ∵， ∴ ∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)， 当a+b+c时，解得k=， 当a+b+c=0时，k=-1， ∴该一次函数的解析式为或， 故答案为：或. 【点睛】此题考查分式方程的化简计算，解三元一次方程组，比例的性质，题中利用求出k的值是解题的关键. 变式1-3已知非负数a、b、c满足,代数式3a+4b+5c的最大值是x，最小值是y，则x+y的值是 . 【答案】 【分析】先设=t，用t表示出a、b、c的值，再由a，b，c为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解． 【详解】设=t， 则a=2t+1，b=2-3t，c=4t+3， ∵a≥0；b≥0；c≥0， ∴2t+1≥0；2-3t≥0；4t+3≥0； 解得t≥-；t≤； t≥-； ∴-≤t≤， ∵w=3a+4b+5c，把a=2t+1，b=2-3t，c=4t+3，代入得：w=14t+26 ∴t=， ∴-≤≤， 解得，19≤w≤． ∴w的最大值是x=；最小值是y=19, ∴x+y=+19=54. 故答案为54． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键． 类型二、与黄金分割有关的求解 口诀：设1分φ，套比例。 把总长看作1，设较长段x，则x²=1·(1-x)→x²+x−1=0，解得x=(−1)/2≈0.618，即为黄金分割点；若已知一段，用x∶(1−x)=φ∶1列式即可。 例2．如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积−的面积=，可得的面积−的面积=，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，         设， ∵E为中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积−的面积， ∴(的面积+的面积）−(的面积+的面积）， ∴的面积−的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 变式2-1．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图为世界名画蒙娜丽莎．如图，点是正方形的边上的黄金分割点，且，以为边作正方形，延长交于点，连结交于点，连结，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形、矩形的性质与判定，黄金分割的意义，比例的性质，三角形的面积，根据正方形的性质得出，，，根据黄金分割的意义得出 ，由，得出 ，根据合比性质得出 ，即可得到，根据矩形的性质与判定得出，最后根据三角形的面积求出即可求解，掌握黄金分割的意义是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形的边上的黄金分割点，且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：． 变式2-2．顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设， ∵黄金三角形的底与腰之比为， 由题意得， 同理，， ∵， ∴与全等， ∴， ∴是黄金三角形， ∴， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即，， ∴， 故答案为：． 变式2-3．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 类型三、与黄金分割有关的证明 口诀：先设比例，再列方程。 1. 设AB=1，点C使AC>CB，令AC=x，则CB=1-x。 2. 由黄金分割定义AC²=AB·CB，得x²=1·(1-x)。 3. 化为一元二次方程x²+x-1=0，取正根x=(√5-1)/2。 4. 代入证AC:AB=CB:AC，即得证。 例3．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 变式3-1．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：∵， ∴由（1）可知，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵点M是线段的黄金分割点， ∴或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； 即的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 变式3-2 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 【答案】任务1：矩形，任务2：见解析；任务3：见解析 【分析】任务1：先证明，证明即可得到答案； 任务2：先证明，证明即可得到答案； 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得，设，可得，．设反比例函数关系式为，再进一步可得结论；若为宽，如图，则，同法可得结论． 【详解】解：任务1：黄金矩形为矩形． 理由如下： 如图， 设， 由第一步折叠知： ， 由第二步折叠知： ． 在中， ， 由第三步折叠知： ． ， ∴， ∴矩形为黄金矩形； 任务2：设， 由第一步折叠知： ， 由第二步折叠知： ． 在中， ， 由第三步折叠知： ． ， ． 矩形的宽与长的比值为，即矩形为黄金矩形． 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得 设， 四边形，为正方形， ，， ， ，． 设反比例函数关系式为，把代入， ． 即点落在的函数图象上． 当时，． 点也落在的函数图象上． 点是在同一个反比例函数图象上． 若为宽，如图，则， 设， 四边形，为正方形， ，， ． ，． 同理可得：点不在同一个反比例函数图象上． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，黄金矩形的含义，反比例函数的应用，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 变式3-3 【教材再现】如图①，点把线段分成、两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为______； (2)如图②，对边长为10的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，得折痕，点对应点．试说明是的黄金分割点； (3)如图③，点是正方形的边的黄金分割点，连接，作，交于点，延长、交于点．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由根据黄金分割的定义直接求出的长即可； （2）延长、交于点，由折叠得，，由，，得，则，根据勾股定理得到，再证明，即可求得，则点是的黄金分割点； （3）设正方形的边长为，设于点，先证明，可证明，由，得到，则，由于点E是的黄金分割点，则，故，再换线段即可证明． 【详解】（1）解：，点是的黄金分割点， ， 故答案为：； （2）证明：如图②，延长、交于点， 四边形是正方形，， ，，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， 点是的黄金分割点； （3）证明：设正方形的边长为，设于点，如图： 四边形是正方形， ，，， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， 则， ∵点E是的黄金分割点， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，黄金分割原理的应用等知识与方法，解题过程中还要注意数形结合的思想． 类型四、由平行截线求相关线段的长或比值 口诀：遇平行，找“比”，套定理。 1. 标平行线l∥m，画截线得交点，写比例式：a/b=c/d。 2. 若求未知长，把已知三段代入比例，交叉相乘一步得值；求比值直接约分。 3. 必要时先证三角形相似，再写对应边成比例即可。 例4 如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ． 【答案】10 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 变式4-1 如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则 ． 【答案】// 【分析】设、交于点，结合可得；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知，可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设、交于点， ∵，平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键． 变式4-2 如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ，即， 由（1）知， ， ， ． 变式4-3 如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，设与的交点为H， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型五、构造平行线截线求相关线段的长或比值 口诀：缺平行，作平行，造相似。 1. 在已知线段端点作辅助平行线，形成“A”或“X”型。 2. 立即得两组相似三角形，写对应边成比例。 3. 把已知三段代入比例式，交叉相乘求未知长或比值。 例5 如图，在矩形中，，是边上任意一点，连接，F为中点，将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，连接，则周长的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】连接并延长，交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，证明以及四边形为正方形，并证明，易得即，即为等腰直角三角形，可知点的运动轨迹在过点且与夹角为的直线上；作点关于直线的对称点，连接，当点在同一直线上时，可有取最小值，即取最小值，此时周长取最小值，然后证明，，利用勾股定理可解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接并延长，交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点， ∴，， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形，， ∴点的运动轨迹在过点且与夹角为的直线上， 如下图，作点关于直线的对称点，连接， 则， ∴， 当点在同一直线上时，可有取最小值，即取最小值， 此时周长取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴此时周长． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，正确作出辅助线，确定点的运动轨迹是解题关键． 变式5-1 如图，是的角平分线，E是的中点，连接交于点F，若，，则线段的长为 ． 【答案】10 【分析】先证明，取的中点G，连接，则是的中位线，即，证明是的中位线，最后根据勾股定理计算即可. 【详解】∵E是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图，取的中点G，连接， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：10. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形中位线，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键. 变式5-2 【问题情境】 如图，已知四边形是正方形，是射线上一点，连接，在右侧以为边作正方形，连接，探究之间的数量关系． 【问题发现】 （1）如图1，当点在线段上时，之间的数量关系为___________； 【问题探究】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论，再给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，当点在线段的延长线上时，设与交于点，过点作，垂足为．若，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）结论不成立，，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质由可证，得到，从而可得； （2）同（1）可证，得到，故； （3）由可知，由（2）的结论可得，根据勾股定理求正方形边长为，从而可得，延长交于，再由平行线分线段成比例定理求的长，从而可知的长，在中，根据勾股定理求的长，再由，即可求得的长． 【详解】（1）解：， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：不成立， 正确结论是， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：由（2）可得：，， ， ， ， 在上， 在同一条直线上， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理，是解题的关键． 变式5-3 四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 一、填空题 1．若，且，则的值为 ． 【答案】19 【分析】设x=3k,则y=5k，z=6k，代入3y=2z+3可求出k的值，进而求出x、y、z的值即可求得答案. 【详解】设x=3k,则y=5k，z=6k， 代入3y=2z+3得：15k=12k+3，解得：k=1， 所以x=3，y=5，z=6， 所以x+2y+z=3+10+6=19， 故答案为19. 【点睛】： 本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．熟练掌握比例的性质是解题关键. 2．如图，在矩形纸片中，，，点是对称中心，点、分别在边、上，且经过点．将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、的位置，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，三角形的面积，勾股定理，矩形的性质，平行线分线段成比例，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，连接，交于点，连接，过点作于点．求出的值，可得结论． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点作于点． 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， 当，，共线时，的面积最大，最大值为． 故答案为：． 3．如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，过点作于点H，交于点，交于点，由题意得可得菱形边长为3，，由勾股定理求出，由菱形的性质以及折叠的性质可证明四边形是矩形，以及四边形为矩形，则，由平行线分线段成比例定理可得，再结合折叠可得，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点H，交于点，交于点， ∵菱形的周长和面积分别为12和6， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 4．已知，且.求证：. 【答案】见解析 【分析】根据已知设，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出 【详解】设，从而，，， 于是（+）， 又因为，所以； . 【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键 5．已知，求的值． 【答案】. 【分析】设，则，代入即可求出答案. 【详解】设， 则， 所以. 【点睛】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．熟练掌握比例的性质是解题关键. 6．如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：① ， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 7．（1）阅读理解 华罗庚是我国著名的数学家，他推广的优选法，就是以黄金分割法为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验方法． 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割． 如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，它们的比值为． 在图①中，若，则的长为________； （2）问题解决 如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点为，折痕为． 证明：是的黄金分割点； （3）拓展探究 如图③在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长，交于点．发现当与满足某种关系时，、恰好分别是的黄金分割点．请猜想这一发现，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）当时，满足题意，理由见解析 【分析】（1）根据黄金分割的定义代入计算即可； （2）先证明，，根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后求出的值即可； （3）证明得，证明得，由黄金分割的定义得，从而可证，即可证明． 【详解】解：（1）∵， ， ； （2）如图：延长交于点． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由折叠性质可知， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴是的黄金分割点； （3）当时，满足题意．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当、恰好分别是、的黄金分割点时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，以及特殊角的三角函数值，理解黄金分割的定义是解答本题的关键． 8．【综合与实践】 【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”． 如图2，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【探索研究方法】如图3，已知是“类黄金三角形”，且．若，小滨同学过点作于点，发现了两个结论： ①； ②点是边的黄金分割点； 请给出证明． 【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题： 如图4，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【答案】【认识研究对象】；【探索研究方法】①证明见解析；②证明见解析；【尝试问题解决】 【分析】本题考查黄金分割，相似图形的应用，锐角三角函数的定义，解题的关键是根据定义理解“类黄金三角形”的特征． 【认识研究对象】由“类黄金三角形”的定义得出，代入数据计算即可； 【探索研究方法】①在直角和中，由锐角三角函数的定义式得，利用比例的性质证明即可； ②由“类黄金三角形”的定义和锐角三角函数的定义式得到，即可证明； 【尝试问题解决】作的角平分线交于，先证，根据勾股定理建立方程求解． 【详解】【认识研究对象】解：，是“类黄金三角形”， ， ，， ， ． 【探索研究方法】证明：①，， ， ． ②是“类黄金三角形”，且， ， ， ， ， ， ， ， 是边的黄金分割点． 【尝试问题解决】解：如图，作的角平分线交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．根据以下素材，探索完成任务． 素材 定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．    问题解决 任务 问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ． 任务 请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由． 任务 兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ 任务 兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明． 【答案】任务：问题：是，见解析；问题2：不是；任务2：存在，过点作交于点，则是四边形的黄金分割线；任务3：对，见解析；任务4：见解析 【分析】任务：问题：由旋转可得：，，，又为的黄金分割点，知，故，点是上的黄金分割点； 问题：根据，，可得，由黄金分割线的定义可知直线不是四边形的黄金分割线， 任务： 过点作交于点，则点即为所求的点； 任务： 由是的黄金分割点，得，又，，故，从而是三角形的黄金分割线； 任务： 连接，由 ，得，，故，，根据点是的边的黄金分割点，可得，即得，直线是的黄金分割线． 【详解】解：任务： 问题： 点是的黄金分割点，理由如下： 由旋转可得：，，， 为的黄金分割点， ， ， 点是上的黄金分割点； 问题： 直线不是四边形的黄金分割线， 理由：，， 在中，， ， ， 直线不是四边形的黄金分割线， 故答案为：直线不是四边形的黄金分割线； 任务： 边上存在点，使得直线是四边形的黄金分割线， 过点作交于点，则是四边形的黄金分割线， 如图：    在中，， 又， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是平行四边形， 为的黄金分割点， ， ， 则是四边形的黄金分割线， 点即为所求的点； 任务： 正确，理由如下： 如图：   是的黄金分割点， ， ，， ， 是三角形的黄金分割线； 任务： 证明：连接，如图：   ， ，， ，， 点是的边的黄金分割点， ， ， ， 直线是的黄金分割线． 【点睛】本题考查黄金分割，涉及新定义，平行四边形，中心对称等知识，解题的关键是读懂题意，理解黄金分割点，黄金分割线的定义． 10．四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 11．在平行四边形中，E、F两点分别在和边上，，连接和，分别交于G，H两点． (1)如图1，若平行四边形为菱形． ①求证：． ②若，求的长． (2)如图2，分别记的面积为，求证：． 【答案】(1)①见解析；②的长为 (2)见解析 【分析】（1）①先根据平行线的性质得出，再利用菱形的性质得出，然后可利用等边对等角，得出，再说明，从而可利用证明，再利用证明，从而可利用全等三角形的性质得出结论成立； ②先证明四边形为平行四边形，从而可得，列出比例式，得到关于的方程求解，求出的长； （2）先利用由平行线截得的线段成比例，列出比例式，，，从而可利用比例的性质得出，结合两点到的距离相等，得出结论成立． 【详解】（1）解：①证明：∵， ． 平行四边形为菱形， ． ． 在和中， ． ． 在和中， ， ． ②如图，连接， ，， 四边形为平行四边形． ∴， ． 设，则 ，解得或（不合题意，舍去）． 即的长为． （2）证明：， ， ． 又， ． ． 又两点到的距离相等， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，菱形的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，由平行线截得的线段成比例等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$