第4章 锐角三角函数 单元达标练习 2025-2026学年湘教版九年级数学上册

第4章 《锐角三角函数》 一．选择题 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A．sinA B．tanA C．cosB D．tanB 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，那么cosA的值等于（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 5．tan60°的值是（　　） A． B． C．1 D． 6．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了2m，此时小球距离地面的高度为（　　） A．5m B．2m C．2m D．m 7．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度AB为13米，坡度i＝1：2.4，则大厅两层之间的距离BC为（　　） A．12 B．10 C．7 D．5 8．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值为（　　） A． B． C． D． 9．已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则cosα的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝25°，设AB＝m，AC＝n，用含m，n的式子表示BC的长是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 11．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BC的长为　 　 ． 12．有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为　 　 米． 13．如图，河提横断面迎水坡AB的坡比（坡比也叫坡度，指点B向水平面作垂线BC，垂足为C，BC：AC＝1：，河提的高BC＝10米，则坡面AB的长度是 　 　 米． 14．比较大小：sin57°　 　 sin53°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 15．小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出，若i＝30°，AB＝20cm，BC＝5cm，则该玻璃透镜的折射率n为　 　 ． 16．台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，台风中心位于点B处，它在A市的东南方向，且距离A市千米，已知台风中心沿北偏西75°的BD方向移动，一段时间后台风中心移动到A市南偏东15°方向的点C处，此时台风中心移动的路径BC的长度为　 　 千米． 三．解答题 17．计算： （1）； （2）2cos60°+4sin60°﹣tan30°﹣cos245°． 18．如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B，然后沿南偏西37°方向步行到书店C，最后前往电影院D．已知电影院D位于书店C的正东方向，且电影院D在商场A的正南方向．若从咖啡厅B到书店C的距离为400米，从书店C到电影院D的距离为700米，求商场A到电影院D的距离． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 19．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为150m，这栋楼有多高？（，结果取整数） 20．滑梯的坡角越小，安全性越高，从安全性及适用性出发，嘉嘉同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮嘉嘉解决方案中的问题． 【方案设计】如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE（BE∥AG），使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG（图中所有点均在同一平面内，点B、C、E在同一直线上，点A、D、F、G在同一直线上） 【测量数据】滑梯的高CD＝1.8m，滑梯CF的坡度为3：4，滑梯EG的坡角∠EGD＝32°． 【解决问题】 （1）求滑梯CF的长度； （2）调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）（注：，，） 21．如图为某公园平面图，B在A的正东方向，且E在A的东北方向，D在E的正东方向，且D在B北偏东30°方向，C在B正北方向，且C在D的西偏南30°方向，AE＝1200米．（参考数据：，） （1）求CD的长度．（结果保留整数） （2）某天，小麦与爸爸同时从A出发，小麦选择路线A→E→D，爸爸选择路线A→B→C→D，但当爸爸到B时接到通知C处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是爸爸选择B→D的小路继续到D，若在整个过程中，小麦与爸爸的速度均相同且保持不变，请通过计算小麦与爸爸谁先到达D处？ 22．单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究．并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA于点D，∠BOA＝64°，BD＝18.9cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA于点E．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求AE的长． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，结果精确到1cm） 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D C D D C A 二．填空题 11．． 12．2.6． 13．20． 14．＞． 15．2． 16．240． 三．解答题 17．解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18．解：过点B作BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F， 在Rt△BCE中，∠CBE＝37°，BC＝400米， ∴BE＝BC•cos37°≈400×0.80＝320（米），CE＝BC•sin37°≈400×0.60＝240（米）， ∴DF＝BE＝320米，DE＝BF＝CD﹣CE＝700﹣240＝460（米）． 在Rt△ABF中，∠BAF＝45°， ∴AF＝BF＝460米， ∴AD＝AF+DF＝460+320＝780（米）． 答：商场A到电影院D的距离约780米． 19．解：过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，水平距离AD＝150m， 则． 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝150m， 则． ∴， ∴这栋楼约有346m高． 20．解：（1）由题意可得：CD：CF＝3：5， ∵CD＝1.8m， ∴1.8：CF＝3：5， 解得CF＝3， ∴滑梯CF的长度为3m； （2）过点E作直线AG的垂线，垂足为H， ∵CD⊥AG， ∴CD∥EH， ∵BE∥AG， ∴EH＝CD＝1.8m，DH＝CE＝1m， ∴， ∴，即， ∴HG＝2.88， ∴FG＝DH+HG﹣DF＝1+2.88﹣2.4＝1.48（m）， 答：调整后的滑梯会多占1.48m的地面． 21．解：（1）过点E作EH⊥AB于点H，延长BC交ED于点P 由题意得：AE＝1200米，∠A＝45°，∠PDC＝30°＝∠CBD＝∠BDC， ∴在Rt△AEH中，， ∴， ∵∠EHB＝∠HEP＝∠EPB＝90°， ∴四边形EHBP为矩形， ∴， ∴在Rt△BPD中，， ∴， ∴在Rt△PCD中，， ∴（米）； 答：CD的长度为564米； （2）小麦先到D处，理由如下： 由（1）得：＝HB，， ∴在Rt△PBD中，， ∴小麦路线：， 爸爸路线：， ∵小麦与爸爸速度相同，而1690+EP＜1826+BH， ∴小麦先到达D处， 答：小麦先到达D处． 22．解：∵BD⊥OA，CE⊥OA， ∴∠BDO＝∠CEO＝90°， 在Rt△BDO中，∠BOA＝64°，BD＝18.9cm， ∴OB21（cm）， 由题意得：OB＝OC＝OA＝21cm， 在Rt△OCE中，∠COA＝37°， ∴OE＝OC•cos37°≈21×0.8＝16.8（cm）， ∴AE＝OA﹣OE＝21﹣16.8≈4（cm）， ∴AE的长约为4cm． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/24 22:49:14；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $