51 小专题培优12 解直角三角形实际应用的四大常见模型 分层-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练同步课件(湘教版 广西专版)

2025秋广西 数 学 1 第4章 锐角三角函数 小专题培优12 解直角三角形实际应用的四大常见模型 2 模型构建 模型1 单个直角三角形 1.如图，是伸缩式的遮阳棚， 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光 刚好不能射入窗户，则 的长度是____米.（假设夏至正午时刻阳光与地 平面的夹角是 ） 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 3 模型2 背对背型 模型特点 图形演变 通过在三角形内作高 ，构造出两个直角三角形求解， 其中正确利用公共边 是解题的关键. __________________________________ _______________________________________ 分层作业本 真题溯源 第2题图 2.教材母题变式-P129T2 （2021柳州）在一次海上救援中，两 艘专业救助船，同时收到某事故渔船 的求救讯息，如图， 已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船 的北 偏西 方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船 与 救助船 相距120海里. 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 5 第2题图 （1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船 之间的距离 （结果保留根号）； 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 6 第2题解图 解：如解图，作于点，则 ， 由题意得海里， ， ， 在中， ， ， 海里. 在中， ， （海里）. 答：收到求救讯息时事故渔船与救助船 之间的距离为 海里； 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 7 第2题图 （2）求救助船， 分别以40海里/小时，30海里/小时的速度 同时出发，匀速直线前往事故渔船 处搜救，试通过计算判断 哪艘船先到达. 解：海里， 海里， 救助船所用的时间为（小时），救助船 所用的时 间为 （小时）， ， 救助船 先到达. 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 8 变式训练 3.如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高 ，坡角 ， ，求 的长（结果保留根号）. 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：如解图，过点作，过点作 ， 垂足分别为， ， ， 由题意得， ， 在中， ，则 ， 在中， ， 则 ， ， 的长为 . 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 10 模型3 母子型 模型特点 图形演变 通过在三角形外作高 ，构造出两个直角三角形求解， 其中公共边 是解题的关键. __________________________________ _____________________________________ 分层作业本 真题溯源 4.教材母题变式-P130T5 （2021北部湾）如图，从楼顶处看楼下荷塘 处的俯角为 ，看楼下荷塘处的俯角为 ，已知楼高 为30米，则 荷塘的宽 为_____________米（结果保留根号）. 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 12 变式训练 5.数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知 . 经测量，得到其他数据如图所示.其中 ， ， ，请你根据以上数据计算的高.（参考数据： ， ，，，， ） 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 13 解：如解图，延长交于点，则 ， 设，则 ， 在和 中， ， . ， ，即 ， 解得， ， . 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 14 第6题图 6.如图，为某旅游景区的最佳观景点，游客可从 处乘坐 缆车先到达小观景平台观景，然后再由 处继续乘坐缆车 到达处，返程时从处乘坐升降电梯直接到达 处，已知 ，，米，米， 米， ， ，求 的高度.（结果精确到0.1米, 参考数据：，， ， ，， ） 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 15 第6题解图 解：如解图，过点作于点，过点作 于点，过点作于点 ， ， ， （米）， （米）， 米， 又 米， （米）， 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （米）， （米）. 答： 的高度约为155.8米. 第6题解图 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 模型4 拥抱型 模型特点 图形演变 分别解两个直角三角形，其中公共边 是解题的关键. ______________________________ ___________________ 分层作业本 第7题图 7.如图，处有一艘测绘船在灯塔的正南方向，此时灯塔 在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后到 达处，恰好在灯塔的正南方向，此时测得灯塔 在测绘 船北偏西 的方向上，则灯塔， 间的距离为多少海 里?（结果保留整数,参考数据: ， ，， ） 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 19 第7题解图 解：如解图，过点作于点 . 根据题意，得海里， ， ， 又， ， 在中， 海里， 在中， ， ， 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 20 （海里）， （海里）， （海里）. 答：灯塔， 间的距离约为22海里. 第7题解图 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 第8题图 8.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学 知识对某小区居民楼 的高度进行测量，先测得居民楼 与之间的距离为，后站在 点处测得居民 楼的顶端的仰角为 ，居民楼的顶端 的仰角 为 ，已知居民楼的高度为 ，小莹的观测点 距地面.求居民楼的高度.（结果精确到 ,参考数据： ，， ） 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 22 第8题解图 解：如解图，过点作交于点，交 于点 ， 则 ， ， ， ， ， 则 ， 在 中， 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 23 ， ， . 在 中， ， ， . 答：居民楼的高度约为 . 第8题解图 分层作业本 1 2 3 4 5 6 7 8 25 $$