精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

高2025级高一上学期半期考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．考生必须保持答题卡的整洁． 第I卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组集合中表示同一集合的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或2 4. 若，则满足条件的集合的个数有（ ） A. 7个 B. 8个 C. 15个 D. 16个 5. 已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（ ） A. B. C. D. 6. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程的两根分别在区间和内，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若q是的充分不必要条件，则q可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确的结论是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. . 11. 设，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若，则（ ） A. B. 函数的值域为 C. 若，则 D. 点集所表示的平面区域的面积是4 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是____________. 13. 若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是__________. 14. 函数是定义在上的奇函数，，当时，，不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知 （1）求的值； （2）若，求的值； （3）解不等式． 17. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 18. 某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． （1）求k的值； （2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； （3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 19. 已知定义在上的函数满足以下条件： ①对任意实数，恒有； ②当时，的值域为； ③. （1）求，的值； （2）时，求的值域，判断并证明在上的单调性； （3）求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级高一上学期半期考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．考生必须保持答题卡的整洁． 第I卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C. 2. 下列四组集合中表示同一集合的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 3. 若，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【详解】若，则，，不符合题意； 若，则（舍去）或，则，符合题意． 故选：A 4. 若，则满足条件的集合的个数有（ ） A. 7个 B. 8个 C. 15个 D. 16个 【答案】D 【解析】 【分析】原题相当于求的子集个数，利用公式计算即可求解. 【详解】的子集个数为. 故选：D. 5. 已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦恩图中阴影部分表示的集合求解即可. 【详解】因为韦恩图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合， 又，， 所以韦恩图中的阴影部分表示的集合是. 故选：B. 6. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是．由图可知，解得． 故选：C. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数，在上是增函数，则每一段都为增函数，且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解. 【详解】因为函数，在上是增函数， 所以，解得， 故选：C 8. 关于x的方程的两根分别在区间和内，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据零点分布列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】构造二次函数，其开口向上.依题意，的零点分别在区间和内，所以 ，即，解得. 故选B. 【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若q是的充分不必要条件，则q可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由先求出，再分析出q是的充分不必要条件，即对应的集合是对应集合的真子集，然后逐一验证A，B，C，D选项所对应的集合是否为集合的真子集，即可得解. 【详解】由，可得. 因为q是的充分不必要条件，所以由q能推出，不能推出， 即对应的集合是对应集合的真子集， 因为是的真子集，所以是的充分不必要条件，故A正确； 因为与没有包含关系，所以不是的充分不必要条件， 故B错误； 因为是的真子集，所以是的充分不必要条件，故C正确； 因为，所以是的充要条件，不是充分不必要条件， 故D错误； 故选：AC 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确的结论是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. . 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的解集，即可判断A项；根据三个二次之间的关系，结合韦达定理可得出，进而代入不等式，化简、求解不等式，即可判断B、C、D项. 【详解】对于A项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，故A项正确； 对于B项，由已知可得，3，4即为的两个解. 由韦达定理可得，，解得， 代入可得. 又，所以，所以解集为，故B项错误； 对于C项，由B知，，，， 代入不等式可得， 化简可得， 解得， 所以，不等式的解集为，故C项正确； 对于D项，由已知可得，，故D项正确. 故选：ACD. 11. 设，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若，则（ ） A. B. 函数的值域为 C. 若，则 D. 点集所表示的平面区域的面积是4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义和函数的值域，分段函数的性质逐一分析即可. 【详解】对于：，故正确； 对于：，故正确； 对于：当时，，满足，但，故错误； 对于：的解为或， 当时，或， 当时，或，， 所以点集所表示的平面区域的面积是4，故正确. 故选：. 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】因为全称命题的否定为特称命题，故命题“”的否定为：“”. 故答案为：. 13. 若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用常数代换，使用基本不等式求得,再根据不等式恒成立的意义得到答案. 【详解】由已知，, 当且仅当时取等号，结合已知解得,符合题意，所以, 因为恒成立，所以,解得, 故答案为： 14. 函数是定义在上的奇函数，，当时，，不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，进而得，故当时，，且在上单调递减，进而根据奇函数性质得函数在上的单调递减函数，然后讨论即可. 【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 因为当时，， 所以，解得， 所以当时，， 当时， 所以由二次函数的性质得时，函数单调递减，在上单调递减 易知 当时，原不等式，解得； 当时，无实数解； 当，无实数解； 当，即时，原不等式，解得； 当，即时，，，满足题意； 当，即时，，，不满足题意. 综上，原不等式的解集为： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可； （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则. 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，，解得； 当时，于是有， 所以实数m的取值范围为. 16. 已知 （1）求的值； （2）若，求的值； （3）解不等式． 【答案】（1）1 （2）或2 （3） 【解析】 【分析】（1）由分段函数解析式先求，再求， （2）分，两种情况，由结合分段函数解析式列方程求即可， （3）分，两种情况，由结合分段函数解析式列不等式求其解集. 【小问1详解】 因为，， 所以，因为， 所以， 【小问2详解】 当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故， 综上，的值为或2 【小问3详解】 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 17. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的图象和判别式可求得结果； （2）对，，进行分类讨论，可分别求得其解集 【详解】（1）根据题意， 当，即时，解集不是，不符合题意； 当，即时，因为的解集为R， 所以的解集为R， 所以， 即， 故时，或，所以. 故的取值范围为： （2）因为， 所以， 当，即时，得，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 18. 某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． （1）求k的值； （2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； （3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 【答案】（1） （2） （3）当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 【解析】 【分析】（1）根据时，，即可求得k的值； （2）确定销售量的表达式，根据利润等于销售额减去投入，即可得答案； （3）将变形为，利用基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知，当时，， ∴，解得：， 【小问2详解】 由（1）知， 故 ， 化简得：． 【小问3详解】 ， ∵，∴，即，则， 当且仅当即时等号成立， 此时，， 答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 19. 已知定义在上的函数满足以下条件： ①对任意实数，恒有； ②当时，的值域为； ③. （1）求，的值； （2）时，求的值域，判断并证明在上的单调性； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2） 当时，，则 令，有 化简得：， 因为，所以， 所以当时，的值域为， 所以当时，， 则 由于，则，则 ，故在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求解； （2）当时，，则,令，代入化简可得即可求出值域；利用作差法即可证明在上的单调性； （3）由化简可得，从而将不等式转化为，令，解不等式，结合函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 令，则， 解得或. 时，令 有，与题干信息不符，故. 令. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于 ，由于， . ， 化简得， 令，则， 解得：，即. 又因为在上单调递减，所以. 所以不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $