第七单元：数学广角——植树问题（知识清单）数学人教版五年级上册

该小学数学讲义通过分类梳理不封闭与封闭路线的植树问题构建知识体系，用框架图呈现三种不封闭情况（两端都栽、两端不栽、一端栽一端不栽）和封闭路线的数量关系、逆向推导公式及场景特征，清晰展示重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于“基础模型-实际应用”的递进练习设计，如锯木头（锯的次数=段数-1）、爬楼梯（爬的层数=楼层数-1）等例题，培养学生数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识）。典型例题与变式练习覆盖选择、解答题，帮助不同层次学生掌握，教师可据此实施精准复习教学。

人教版五年级数学上册第七单元：数学广角——植树问题（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：不封闭路线上的植树问题 1、两端都栽的植树问题 （1）数量关系：棵数=间隔数+ 1（因为两端都栽时，棵数比间隔数多1）； （2）逆向推导： 间隔数=棵数- 1； 总长度=（棵数- 1）×间距； 间距=总长度÷（棵数- 1）。 【名师点拨】 （1）场景判断：题目需明确“两端都栽”（如“道路两端各栽一棵”“从头到尾栽”）。 （2）总长度的定义：总长度是“从第一棵树到最后一棵树的距离”，不包含两端延伸部分。 2、两端都不栽的植树问题 （1）数量关系：棵数=间隔数- 1（因为两端不栽时，棵数比间隔数少1）； （2）逆向推导： 间隔数=棵数+1； 总长 =（棵数+1）×间距； 间距=总长度÷（棵数+1）。 【名师点拨】场景特征：题目通常含“两端有障碍”（如“两栋楼之间”“围墙内侧”“不栽到头”）。 3、一端栽、一端不栽的植树问题 （1）数量关系：棵数=间隔数（因为一端栽、一端不栽时，棵数与间隔数完全对应）； （2）逆向推导： 总长度=棵数×间距； 间距=总长度÷棵数； 棵数=总长度÷间距。 【名师点拨】场景关键词：题目含“一端栽、一端不栽”“一端靠围墙”“一端留白”等表述，可直接判断为该类型。 知识点02：封闭路线的植树问题 1、定义：指在圆形、正方形、长方形、环形等“无端点、首尾相连”的路线上植树（或摆放物体），本质与“一端栽、一端不栽”一致（因为首尾相连，相当于“栽”的端点与“不栽”的端点重合）。 2、数量关系：棵数=间隔数（与一端栽、一端不栽完全相同）； 3、逆向推导： 总长度（周长）=棵数×间距； 间距=总长度（周长）÷棵数； 棵数=总长度（周长）÷间距。 4、常见封闭路线的周长计算： 圆形周长：C=πd（d为直径）或 C = 2πr（r为半径）； 正方形周长：C= 4×边长； 长方形周长：C= 2×(长+宽)。 【名师点拨】 （1）区分封闭与直线型：封闭路线无端点，不能用“两端都栽”的公式。 （2）场景拓展：除植树外，插彩旗、摆花盆、围圆形场地等封闭路线的“间隔问题”，均适用该规律。 （3）封闭路线的关键是“首尾相连”，无论形状如何（三角形、多边形），只要无端点，就遵循“棵数=间隔数”。 知识点03：植树问题的实际应用拓展 1、锯木头问题：锯的次数=段数- 1（本质是“两端都不栽”，锯的次数对应“棵数”，段数对应 “间隔数”）； 2、爬楼梯问题：爬的层数=楼层数- 1（对应“两端都栽”，楼层数对应“棵数”，层数对应“间隔数”）； 3、插彩旗、摆花盆：与植树规律完全一致（彩旗/花盆数=棵数，间距不变）； 4、敲钟问题：间隔数=敲钟次数- 1（对应“两端都栽”）。 【名师点拨】 （1）锯木头问题的关键：锯的次数≠段数，如将木头锯成5段，需锯4次，不能用段数当作次数。 （2）爬楼梯的楼层计算：从第m楼到第n楼（n＞m），爬的层数=n - m，不是n。 （3）敲钟问题的间隔时间：间隔时间×（敲钟次数- 1）= 总时间。 考点1：两端都栽的植树问题 【典型例题1】在一条笔直河道的两旁共栽杨树50棵，每边栽的杨树一样多，如果每相邻两棵杨树之间栽2棵垂柳，一共要栽多少棵垂柳？ 【答案】96棵 【分析】先求出河道一边栽杨树的数量，由于首尾都栽树，所以相邻杨树之间的间隔数等于树的数量减1，每相邻两棵杨树之间栽2棵垂柳，两边都有栽，所以栽垂柳的数量等于间隔数乘2再乘2，据此解答。 【详解】50÷2－1 ＝25－1 ＝24（个） 24×2×2＝96（棵） 答：一共要栽96棵垂柳。 【典型例题2】一幢楼房共有216级台阶，从一楼到三楼共有36级台阶，这幢楼房的最高楼是（    ）楼。 A．12 B．18 C．13 【答案】C 【分析】从一楼到三楼有2层台阶，一楼到三楼的台阶级数除以2，可以算出平均每层有台阶（36÷2）级。这幢楼房的台阶级数除以平均每层台阶级数，可以算出有多少层台阶，再加上1，即可算出这幢楼房的最高楼是是几楼。 【详解】216÷（36÷2）＋1 ＝216÷18＋1 ＝12＋1 ＝13（楼） 一幢楼房共有216级台阶，从一楼到三楼共有36级台阶，这幢楼房的最高楼是13楼。 故答案为：C 【练习1】河堤一边栽了25棵柳树，如果每2棵柳树中间栽一棵桂花树，一共要栽（ ）棵桂花树。 【答案】24 【分析】这是典型的植树问题，每两棵柳树之间有一棵桂花树，也就是在25棵树之间找出有几个间隔，根据间隔＝树的棵树－1。 【详解】25－1＝24（棵） 则一共要栽24棵桂花树。 【练习2】工人叔叔沿着一条街道的两边安装路灯，每隔50米安一盏（两端都要安装），共安装了80盏，这条街道长（ ）米。 【答案】1950 【分析】两端都栽的植树问题，棵树＝间隔数＋1；沿着一条街道的两边安装路灯，每隔50米安一盏，一共安装了80盏，则一边安装80÷2＝40（盏），两端都安装，那么间隔数就是40一1＝39（个），间隔距离是50米，所以这条街道长39×50＝1950（米），据此解答即可。 【详解】80÷2＝40（盏） 间隔数：40一1＝39（个） 街道长：39×50＝1950（米） 所以这条街道长1950米。 考点2：两端都不栽的植树问题 【典型例题1】在相距600m的两栋楼之间安装电线杆，每隔50m安装1根，一共需要安装多少根电线杆？ 【答案】11根 【分析】因为电线杆是安装在两栋楼之间，所以两端不需要安装电线杆。我们先通过总距离除间隔距离，算出间隔的数量。但要注意，电线杆的数量比间隔数少1，因为两端不需要安装，所以只需要用间隔数减去1，就能得到电线杆的实际数量。 【详解】600÷50－1 ＝12－1 ＝11（根） 答：一共需要安装11根电线杆。 【典型例题2】一根木料长24米，把它锯成3米长的几段，每锯一段用4分钟。锯完这根木料共用了多少分钟？ 【答案】28分钟 【分析】由题意可知，一根木料长24米，把它锯成一段为3米长木棒，则共可以锯成24÷3＝8段，根据锯的次数＝段数－1，据此求出需要锯的次数，再用锯一段的时间乘锯的次数即可求解。 【详解】（24÷3－1）×4 ＝（8－1）×4 ＝7×4 ＝28（分钟） 答：锯完这根木料共用了28分钟。 【练习1】王奶奶从1楼走回家（4楼）用了3.9分钟，按照这样的速度，王奶奶从家出来去7楼的李奶奶家串门，需要用（ ）分钟。 【答案】3.9 【分析】从一楼走到三楼用了3.9分钟是指走了4－1＝3个楼层用了3.9分钟，她从4楼走到7楼知道是走了7－4＝3个楼层间隔，所以王奶奶从家出来去7楼的李奶奶家串门，也需要用3.9分钟。 【详解】4－1＝3（个） 7－4＝3（个） 所以王奶奶从家出来去7楼的李奶奶家串门，需要用3.9分钟。 【练习2】同学们布置会场，先挂了8个红灯笼，挂成一排，再在每2个红灯笼中间挂2个黄灯笼，一共要挂（    ）个黄灯笼。 A．14 B．12 C．16 D．15 【答案】A 【分析】8个红灯笼之间有（8－1）个间隔，每个间隔挂2个黄灯笼，求一共要挂多少个黄灯笼，用每个间隔挂的黄灯笼个数乘间隔数即可解答。 【详解】（8－1）×2 ＝7×2 ＝14（个） 一共要挂14个黄灯笼。 故答案为：A 考点3：一端栽树，另一端不栽树的植树问题 【典型例题1】一辆公交车从起点到终点一共要行24km，如果每隔3km停靠一次（起点不算），那么到终点一共要停靠（    ）次。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】此题相当于植树问题中的一端栽，一端不栽，起点相当于不栽的一端，停靠的次数相当于植树棵数，根据一端栽，一端不栽，“棵数＝间隔数”，据此用起点到终点的距离除以间距即可解答。 【详解】24÷3＝8（次），那么到终点一共要停靠8次。 故答案为：B 【典型例题2】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10层需要多少秒？ 【答案】105秒 【分析】“从第1层走到第3层”，实际上是爬了2层楼梯，共需要30秒，所以爬一层楼梯需要（30÷2）秒，从3层走到10层又需要爬7层楼梯，用每上一层楼梯的时间乘楼梯层数即可。 【详解】30÷（3－1） ＝30÷2 ＝15（秒） 10－3＝7（层） 15×7＝105（秒） 答：他从3层走到10层需要105秒。 【练习1】一辆客车从起点到终点一共要行36千米，如果每隔3千米停靠一次（起点不算），那么到终点一共停靠（ ）次。 【答案】12 【分析】因为起点不算，本题属于“只栽一端”的植树问题。停靠的次数＝段数，即36千米里面有几个3千米，就停靠几次，用36除以3即可解答。 【详解】36÷3＝12（次），那么到终点一共停靠12次。 【练习2】一条路长1000米，在路的一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（一端安另一端不安），一共需要准备多少盏路灯？ 【答案】50盏 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，路的长度÷间距＝路灯数量，据此列式解答。 【详解】1000÷20＝50（盏） 答：一共需要准备50盏路灯。 考点4：封闭路线上的植树问题 【典型例题1】一块圆形草坪的周长是36m，每隔3m摆1盆花，一共需要摆（    ）盆花。 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】此题可以看作在封闭图形中植树，树的棵数＝间隔数，据此解答即可。 【详解】36÷3＝12（盆） 则一共需要摆12盆花。 故答案为：C 【典型例题2】同学们在操场上围成一个正方形玩游戏，每边有28个同学（四个顶点处各有一个同学）。一共有（ ）个同学在玩游戏。 【答案】108 【分析】根据题意，正方形的每边上有28个同学，根据每边的人数×边数－顶点数＝总人数，即可求出在玩游戏的总人数。 【详解】28×4-4 ＝114-4 ＝108（个） 一共有108个同学在玩游戏。 【练习1】一个湖的周长1600米，沿湖周围每隔8米安装一盛灯，一共要安装（ ）盏灯。 【答案】200 【分析】根据封闭图形里植树，棵数＝段数，湖的周长÷间距＝灯的总盏数，据此列式计算。 【详解】1600÷8＝200（盏） 一共要安装200盏灯。 【练习2】中央公园有一块边长为30米的正方形草坪，现要在草坪四周种树，四个角都要种，每相邻两棵树间隔5米，一共要种（    ）棵树。 A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据封闭图形植树问题可知“间隔数＝棵数”，先求出正方形草坪的周长，然后用周长除以相邻两棵树的间隔距离，就能得到种树的数量。 【详解】30×4＝120（米） 120÷5＝24（棵） 即一共要种24棵树。 故答案为：C 一、选择题 1．把一根木料锯成5段，每锯一次需要0.05小时，全部锯完需要（    ）分钟。 A．12 B．1 C．15 【答案】A 【分析】把一根木料锯成5段，需要锯（5－1）次，根据每锯一次需要的时间×锯的次数＝全部锯完需要的时间，代入数据即可得解。 【详解】0.05×（5－1） ＝0.05×4 ＝0.2（小时） ＝12（分钟） 即全部锯完需要12分钟。 故答案为：A 2．一个实心方阵，每列站8人，这个方阵一共有（    ）人。 A．32 B．64 C．28 【答案】B 【分析】由题意可知，这个方阵有8行8列，这个方阵的总人数＝每行人数×每列人数，据此解答。 【详解】8×8＝64（人） 所以，这个方阵一共有64人。 故答案为：B 3．把一根木条锯成2段需要4分钟，照这样计算，锯成5段需要（    ）分钟。 A．10 B．16 C．20 【答案】B 【分析】据成一次的时间×据的次数＝总时间，据的次数＝据的段数－1。 【详解】5－1＝4（次） 4÷（2－1） ＝4÷1 ＝4（分） 4×4＝16（分） 所以需要16分钟。 故答案为：B 4．在一条全长3千米的街道两旁安装路灯（两端都装），每隔50米安一盏，一共要安装（    ）盏。 A．60 B．61 C．122 【答案】C 【分析】在一条线段上植树（两端都栽树）问题的规律：总距离÷株距＝间隔数，棵数＝间隔数＋1。据此先用路的全长÷两盏灯之间的长度求出间隔数，再用间隔数＋1求出路的一旁灯的盏数，再乘2求出路两旁灯的盏数，即一共安装的灯的盏数。 【详解】3千米＝3000米 3000÷50＝60（个） （60＋1）×2 ＝61×2 ＝122（盏） 所以一共需要安装122盏路灯。 故答案为：C 5．在正方形的边长上放棋子，每条边上放4颗，最多可以放（    ）颗，最少可以放（    ）颗。 A．16；12 B．14；12 C．16；14 【答案】A 【分析】正方形的四个顶点都不放棋子时，需要棋子的数量最多，棋子的总数量＝每条边上棋子的数量×边的数量；正方形的四个顶点都放棋子时，需要棋子的数量最少，棋子的总数量＝每条边上棋子的数量×边的数量－顶点处重合棋子的数量，据此解答。 【详解】 4×4＝16（颗） 4×4－4 ＝16－4 ＝12（颗） 所以，最多可以放16颗，最少可以放12颗。 故答案为：A 6．一个实心方阵，每列站8人，这个方阵最外层站（    ）人。 A．32 B．64 C．28 【答案】C 【分析】最外层站的人围起来是个正方形，每边8人，每边人数×4－4个顶点重复的人数＝最外层人数，据此列式计算。 【详解】8×4－4 ＝32－4 ＝28（人） 这个方阵最外层站28人。 故答案为：C 7．在一个圆形花坛周围每隔2m摆一盆花，一共摆了28盆花，花坛的周长是（    ）。 A．54m B．56m C．58m 【答案】B 【分析】由于是一个圆形花坛，则属于封闭图形，根据植树问题中，封闭图形相当于一端植树一端不植树，则间距数＝棵数，由于一共摆了28盆花，则相当于一共有28个间距，用28乘2即可求出花坛的周长。 【详解】由分析可知： 28×2＝56（m） 所以花坛的周长是56m。 故答案为：B 8．学校举办“书画展”，要在60米长的走廊中，每隔3米挂一幅作品（两端不挂），共可展示（    ）件优秀作品。 A．19 B．20 C．21 【答案】A 【分析】根据题意，先用走廊的全长除以每两幅作品间距，求出间隔数；因为两端不挂，那么作品件数＝间隔数－1，据此解答。 【详解】60÷3－1 ＝20－1 ＝19（件） 共可展示19件优秀作品。 故答案为：A 二、填空题 9．把一根木头锯成两段需要4分钟，锯成7段需要（ ）分钟。 【答案】24 【分析】把一根木头锯成两段，锯1次，需要4分钟，锯成7段需要锯7－1＝6（次），根据乘法的意义，用锯一次所需的时间乘次数，即可解答。 【详解】4×（7－1） ＝4×6 ＝24（分钟） 则锯成7段需要24分钟。 10．“湖边衣色分外娇，一棵柳树两棵桃，平湖一周三千米，五米一棵都栽到，漫步湖畔赏美景，可知桃树何多少？”根据这首诗，可以求出桃树有（ ）棵。 【答案】400 【分析】封闭图形植树，棵树＝间隔数；根据题意可知，是在平湖（封闭圆形）一圈栽树，平湖的周长是3千米＝3000米，每5米栽一棵树，用3000除以间距5米，可以求出桃树和柳树的总棵数，又因为1棵柳树，2棵桃树，即桃树的棵数是柳树的2倍，然后根据和倍公式，用总棵树除以（2＋1），求出柳树的棵数，再乘2，即可求出桃树的棵数。 【详解】3千米＝3000米 3000÷5÷（2＋1）×2 ＝600÷3×2 ＝200×2 ＝400（棵） 所以桃树有400棵。 11．李强从一楼到三楼用了18秒，照这样的速度，她从一楼到六楼共用了（ ）秒。 【答案】45 【分析】小明从一楼走到三楼用了18秒是指走了（3－1）个楼层用了18秒，由此求出走一个楼层所用的时间；再由他从一楼走到六楼知道是走了（6－1）个楼层间隔，进而求出答案。 【详解】18÷（3－1） ＝18÷2 ＝9（秒） 9×（6－1） ＝9×5 ＝45（秒） 她从一楼到六楼共用了45秒。 12．公园里有一块边长为30米的正方形草坪，要在草坪四周种树，四个角都要种，每相邻两棵树间隔5米，一共要种（ ）棵树。 【答案】24 【分析】已知正方形草坪的边长是30米，根据“正方形的周长＝边长×4”，求出草坪的周长； 根据封闭图形植树问题可知“间隔数＝棵数”，用草坪的周长除以每相邻两棵树的间距，即可求出要种树的总棵数。 【详解】30×4＝120（米） 120÷5＝24（棵） 一共要种24棵树。 13．学校有一个边长是30米的正方形舞台，要在舞台四周每隔5米摆一盆鲜花，四个角都要摆，一共要摆（ ）盆鲜花。 【答案】24 【分析】先根据“正方形的周长＝边长×4”求出舞台的周长，在封闭图形上面植树棵数等于间隔数，再根据“间隔数＝总长÷间距”求出一共摆放鲜花的数量，据此解答。 【详解】30×4÷5 ＝120÷5 ＝24（盆） 则一共要摆24盆鲜花。 14．时钟4时敲响4下，12秒敲完，那么8时敲响8下，（ ）秒敲完。 【答案】28 【分析】根据题意，时钟4点钟敲4下，之间间隔了4－1＝3个，用12÷3＝4秒可以求出每个间隔的时间；8点钟敲8下，之间间隔了8－1＝7个，再乘上每个间隔的时间即可。 【详解】12÷（4－1）×（8－1） ＝12÷3×7 ＝4×7 ＝28（秒） 时钟4时敲响4下，12秒敲完，那么8时敲响8下，28秒敲完。 15．公园人工湖的大堤周长是300米，围绕大堤每隔12米栽一棵树，一共可栽（ ）棵树。 【答案】25 【分析】题目属于封闭的植树问题，植树棵数＝间隔数，总长度÷间隔距离＝间隔数，据此用300÷12即可求出植树棵数。 【详解】300÷12＝25（棵） 一共可栽25棵树。 16．在一条全长3km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安装一盏。一共要安装（ ）盏路灯。 【答案】122 【分析】将3km单位换算成3000m，再将其除以50m，将商加上1，求出街道一侧需要安装的路灯数量。最后，将一侧的安装数量乘2，求出一共需要安装路灯的数量。 【详解】3km＝3000m 3000÷50＋1 ＝60＋1 ＝61（盏） 61×2＝122（盏） 在一条全长3km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安装一盏。一共要安装122盏路灯。 17．陈东家住在7楼，如果每层楼梯均有18阶，那么陈东上楼回家共要走（ ）阶楼梯。 【答案】108 【分析】陈东家住在7楼，则上楼回家共要走6层楼梯，已知每层楼梯均有18阶，用18乘6即可求出他共要走多少阶楼梯。 【详解】18×（7－1） ＝18×6 ＝108（阶） 则陈东上楼回家共要走108阶楼梯。 18．沿着一个圆形池塘的一周共栽了70棵杨树，每两棵杨树中间栽一棵桃树，共有（ ）棵桃树。 【答案】70 【分析】圆形是封闭的图形，在封闭的路线上植树，植树棵数＝间隔数，70棵杨树中间有70个间隔，每两棵杨树中间栽一棵桃树，则桃树棵数和杨树同样多；据此解答。 【详解】根据分析：沿着一个圆形池塘的一周共栽了70棵杨树，每两棵杨树中间栽一棵桃树，共有70棵桃树。 19．一条走廊长40m，在其一侧每隔4m摆放一盆植物（两端不放），一共要放（ ）盆植物。如果两端都摆放，一共要放（ ）盆植物。 【答案】 9 11 【分析】由题意可知，根据两端不植的情况，棵数＝间隔数－1，用40÷4求出间隔数，再减1即可；再根据两端植树的情况，棵数＝间隔数＋1，用40÷4求出间隔数，再加1即可求出一共摆放的盆数。 【详解】40÷4－1 ＝10－1 ＝9（盆） 在其一侧每隔4m摆放一盆植物（两端不放），一共要放9盆植物。 40÷4＋1 ＝10＋1 ＝11（盆） 如果两端都摆放，一共要放11盆植物。 20．在一条公路的一侧从头到尾种着27棵杨树，每隔10米种一棵，这条公路长（ ）米。 【答案】260 【分析】两端都植，段数＝棵数－1，先求出段数，间距×段数＝公路长度，据此列式计算。 【详解】10×（27－1） ＝10×26 ＝260（米） 这条公路长260米。 三、判断题 21．广场上的钟4时敲4下，6秒敲完，8时敲8下，需要16秒敲完。（ ） 【答案】× 【分析】敲的下数＝间隔数＋1，通过4时敲4下，6秒敲完，先求出间隔时间，再确定8时敲8下的总时间即可。 【详解】6÷（4－1）×（8－1） ＝6÷3×7 ＝14（秒） 广场上的钟4时敲4下，6秒敲完，8时敲8下，需要14秒敲完，原题说法错误。 故答案为：× 22．36名学生在操场上手拉手围成一个正方形（每个顶点都有人），每边有10名学生。（ ） 【答案】√ 【分析】四条边上人数之和比总人数多4人，因为四个顶点上的人数被重复算一次，每天条边上人数，相当于两端都栽的植树类型，所以人数要比间隔数多1，据此解答即可。 【详解】（36＋4）÷4 ＝40÷4 ＝10（名） 所以每边有10名学生的说法正确。 故答案为：√。 23．一个圆形池塘周长120米，每隔6米种一棵树，共要种20棵树。（ ） 【答案】√ 【分析】在封闭图形的周围植树，树的棵数＝间隔数，则用120除以6即可求解。 【详解】120÷6＝20（棵） 所以一个圆形池塘周长120米，每隔6米种一棵树，共要种20棵树。表述正确。 故答案为：√ 24．一个正方形操场的四周种树，每边各种15棵，四个顶点各种一棵，一共种树60棵。（ ） 【答案】× 【分析】每边种的棵数×4－4个顶点重复计算的棵数＝总棵数，据此分析。 【详解】15×4－4 ＝60－4 ＝56（棵） 故答案为：× 25．圆形滑冰场的一周全长是200米，如果沿着这一圈每隔10米安装一盏灯，一共需要装20盏灯。（ ） 【答案】√ 【分析】在圆形滑封闭图形周围植树，植树棵数＝段数，所以灯的盏数＝段数，用滑冰场的周长除以间隔的米数求出间隔数就是灯的盏数。 【详解】200÷10＝20（盏） 故答案为：√ 四、解答题 26．校园里有一个圆形的金鱼池，池边每隔0.25米竖着一根护栏，一共竖着100根护栏。绕着这个圆形金鱼池走两圈，共走了多少米？ 【答案】50米 【分析】封闭图形里植树，棵数＝段数，100根护栏即100段，间距×段数＝金鱼池周长，金鱼池周长×2＝走两圈的距离，据此列式解答。 【详解】0.25×100×2 ＝25×2 ＝50（米） 答：共走了50米。 27．李伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120米，如果每隔10米栽一棵，一共要栽多少棵树？ 【答案】12棵 【分析】根据间隔数＝总长÷间距，计算出间隔数，在封闭图形上面植树棵数＝间隔数，则植树棵数＝池塘的周长÷间距，代入数据解答即可。 【详解】120÷10＝12（棵） 答：一共要栽12棵树。 28．慈利县街道办为了营造春节的温馨氛围，准备在长4千米的街道两旁每隔80米安装一组灯饰（两端都装），街道办一共要准备多少组灯饰？ 【答案】102组 【分析】本题是两端都种树的植树问题：两端都种树的情况下，树的棵树＝段数＋1＝总长÷间隔＋1。 代入本题：用总长÷间隔＋1可以求出街道一旁的灯饰数量，再乘上2即可求出灯饰总数量，注意用总长除以间隔时需要统一单位。 【详解】4千米＝4000米 一旁：4000÷80＋1 ＝50＋1 ＝51（组） 共：51×2＝102（组） 答：街道办一共要准备102组灯饰。 29．小明家门前有一条35米的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每隔5米栽一棵树（两端不栽）。一共要栽多少棵？ 【答案】6棵 【分析】两端都不植，棵数＝段数－1，小路长÷间距－1＝要栽的棵数，据此列式解答。 【详解】35÷5－1 ＝7－1 ＝6（棵） 答：一共要栽6棵。 30．湖滨路有一排路灯，每两盏路灯之间相距5米。小芳从第1盏到第29盏，一共走了多少米？ 【答案】140米 【分析】间隔数＝路灯盏数－1，第1盏到第29盏之间有（29－1）个间隔，每两盏路灯之间距离乘间隔数即可算出一共走了多少米。 【详解】（29－1）×5 ＝28×5 ＝140（米） 答：一共走了140米。 31．在不二门大桥的两旁每隔20米安装一盏路灯（两端都不装），共安装了40盏路灯。不二门大桥长多少米？ 【答案】420米 【分析】根据题意，大桥两端都不装，属于植树问题中的两端都不栽的情况，那么间隔数＝棵数＋1，求出间隔数，然后根据间距×间隔数＝全长，即可求出大桥的全长。 【详解】（40÷2＋1）×20 ＝（20＋1）×20 ＝21×20 ＝420（米） 答：不二门大桥长420米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学上册第七单元：数学广角——植树问题（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：不封闭路线上的植树问题 1、两端都栽的植树问题 （1）数量关系：棵数=间隔数+ 1（因为两端都栽时，棵数比间隔数多1）； （2）逆向推导： 间隔数=棵数- 1； 总长度=（棵数- 1）×间距； 间距=总长度÷（棵数- 1）。 【名师点拨】 （1）场景判断：题目需明确“两端都栽”（如“道路两端各栽一棵”“从头到尾栽”）。 （2）总长度的定义：总长度是“从第一棵树到最后一棵树的距离”，不包含两端延伸部分。 2、两端都不栽的植树问题 （1）数量关系：棵数=间隔数- 1（因为两端不栽时，棵数比间隔数少1）； （2）逆向推导： 间隔数=棵数+1； 总长 =（棵数+1）×间距； 间距=总长度÷（棵数+1）。 【名师点拨】场景特征：题目通常含“两端有障碍”（如“两栋楼之间”“围墙内侧”“不栽到头”）。 3、一端栽、一端不栽的植树问题 （1）数量关系：棵数=间隔数（因为一端栽、一端不栽时，棵数与间隔数完全对应）； （2）逆向推导： 总长度=棵数×间距； 间距=总长度÷棵数； 棵数=总长度÷间距。 【名师点拨】场景关键词：题目含“一端栽、一端不栽”“一端靠围墙”“一端留白”等表述，可直接判断为该类型。 知识点02：封闭路线的植树问题 1、定义：指在圆形、正方形、长方形、环形等“无端点、首尾相连”的路线上植树（或摆放物体），本质与“一端栽、一端不栽”一致（因为首尾相连，相当于“栽”的端点与“不栽”的端点重合）。 2、数量关系：棵数=间隔数（与一端栽、一端不栽完全相同）； 3、逆向推导： 总长度（周长）=棵数×间距； 间距=总长度（周长）÷棵数； 棵数=总长度（周长）÷间距。 4、常见封闭路线的周长计算： 圆形周长：C=πd（d为直径）或 C = 2πr（r为半径）； 正方形周长：C= 4×边长； 长方形周长：C= 2×(长+宽)。 【名师点拨】 （1）区分封闭与直线型：封闭路线无端点，不能用“两端都栽”的公式。 （2）场景拓展：除植树外，插彩旗、摆花盆、围圆形场地等封闭路线的“间隔问题”，均适用该规律。 （3）封闭路线的关键是“首尾相连”，无论形状如何（三角形、多边形），只要无端点，就遵循“棵数=间隔数”。 知识点03：植树问题的实际应用拓展 1、锯木头问题：锯的次数=段数- 1（本质是“两端都不栽”，锯的次数对应“棵数”，段数对应 “间隔数”）； 2、爬楼梯问题：爬的层数=楼层数- 1（对应“两端都栽”，楼层数对应“棵数”，层数对应“间隔数”）； 3、插彩旗、摆花盆：与植树规律完全一致（彩旗/花盆数=棵数，间距不变）； 4、敲钟问题：间隔数=敲钟次数- 1（对应“两端都栽”）。 【名师点拨】 （1）锯木头问题的关键：锯的次数≠段数，如将木头锯成5段，需锯4次，不能用段数当作次数。 （2）爬楼梯的楼层计算：从第m楼到第n楼（n＞m），爬的层数=n - m，不是n。 （3）敲钟问题的间隔时间：间隔时间×（敲钟次数- 1）= 总时间。 考点1：两端都栽的植树问题 【典型例题1】在一条笔直河道的两旁共栽杨树50棵，每边栽的杨树一样多，如果每相邻两棵杨树之间栽2棵垂柳，一共要栽多少棵垂柳？ 【典型例题2】一幢楼房共有216级台阶，从一楼到三楼共有36级台阶，这幢楼房的最高楼是（    ）楼。 A．12 B．18 C．13 【练习1】河堤一边栽了25棵柳树，如果每2棵柳树中间栽一棵桂花树，一共要栽（ ）棵桂花树。 【练习2】工人叔叔沿着一条街道的两边安装路灯，每隔50米安一盏（两端都要安装），共安装了80盏，这条街道长（ ）米。 考点2：两端都不栽的植树问题 【典型例题1】在相距600m的两栋楼之间安装电线杆，每隔50m安装1根，一共需要安装多少根电线杆？ 【典型例题2】一根木料长24米，把它锯成3米长的几段，每锯一段用4分钟。锯完这根木料共用了多少分钟？ 【练习1】王奶奶从1楼走回家（4楼）用了3.9分钟，按照这样的速度，王奶奶从家出来去7楼的李奶奶家串门，需要用（ ）分钟。 【练习2】同学们布置会场，先挂了8个红灯笼，挂成一排，再在每2个红灯笼中间挂2个黄灯笼，一共要挂（    ）个黄灯笼。 A．14 B．12 C．16 D．15 考点3：一端栽树，另一端不栽树的植树问题 【典型例题1】一辆公交车从起点到终点一共要行24km，如果每隔3km停靠一次（起点不算），那么到终点一共要停靠（    ）次。 A．7 B．8 C．9 D．10 【典型例题2】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10层需要多少秒？ 【练习1】一辆客车从起点到终点一共要行36千米，如果每隔3千米停靠一次（起点不算），那么到终点一共停靠（ ）次。 【练习2】一条路长1000米，在路的一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（一端安另一端不安），一共需要准备多少盏路灯？ 考点4：封闭路线上的植树问题 【典型例题1】一块圆形草坪的周长是36m，每隔3m摆1盆花，一共需要摆（    ）盆花。 A．10 B．11 C．12 D．13 【典型例题2】同学们在操场上围成一个正方形玩游戏，每边有28个同学（四个顶点处各有一个同学）。一共有（ ）个同学在玩游戏。 【练习1】一个湖的周长1600米，沿湖周围每隔8米安装一盛灯，一共要安装（ ）盏灯。 【练习2】中央公园有一块边长为30米的正方形草坪，现要在草坪四周种树，四个角都要种，每相邻两棵树间隔5米，一共要种（    ）棵树。 A．22 B．23 C．24 D．25 一、选择题 1．把一根木料锯成5段，每锯一次需要0.05小时，全部锯完需要（    ）分钟。 A．12 B．1 C．15 2．一个实心方阵，每列站8人，这个方阵一共有（    ）人。 A．32 B．64 C．28 3．把一根木条锯成2段需要4分钟，照这样计算，锯成5段需要（    ）分钟。 A．10 B．16 C．20 4．在一条全长3千米的街道两旁安装路灯（两端都装），每隔50米安一盏，一共要安装（    ）盏。 A．60 B．61 C．122 5．在正方形的边长上放棋子，每条边上放4颗，最多可以放（    ）颗，最少可以放（    ）颗。 A．16；12 B．14；12 C．16；14 6．一个实心方阵，每列站8人，这个方阵最外层站（    ）人。 A．32 B．64 C．28 7．在一个圆形花坛周围每隔2m摆一盆花，一共摆了28盆花，花坛的周长是（    ）。 A．54m B．56m C．58m 8．学校举办“书画展”，要在60米长的走廊中，每隔3米挂一幅作品（两端不挂），共可展示（    ）件优秀作品。 A．19 B．20 C．21 二、填空题 9．把一根木头锯成两段需要4分钟，锯成7段需要（ ）分钟。 10．“湖边衣色分外娇，一棵柳树两棵桃，平湖一周三千米，五米一棵都栽到，漫步湖畔赏美景，可知桃树何多少？”根据这首诗，可以求出桃树有（ ）棵。 11．李强从一楼到三楼用了18秒，照这样的速度，她从一楼到六楼共用了（ ）秒。 12．公园里有一块边长为30米的正方形草坪，要在草坪四周种树，四个角都要种，每相邻两棵树间隔5米，一共要种（ ）棵树。 13．学校有一个边长是30米的正方形舞台，要在舞台四周每隔5米摆一盆鲜花，四个角都要摆，一共要摆（ ）盆鲜花。 14．时钟4时敲响4下，12秒敲完，那么8时敲响8下，（ ）秒敲完。 15．公园人工湖的大堤周长是300米，围绕大堤每隔12米栽一棵树，一共可栽（ ）棵树。 16．在一条全长3km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安装一盏。一共要安装（ ）盏路灯。 17．陈东家住在7楼，如果每层楼梯均有18阶，那么陈东上楼回家共要走（ ）阶楼梯。 18．沿着一个圆形池塘的一周共栽了70棵杨树，每两棵杨树中间栽一棵桃树，共有（ ）棵桃树。 19．一条走廊长40m，在其一侧每隔4m摆放一盆植物（两端不放），一共要放（ ）盆植物。如果两端都摆放，一共要放（ ）盆植物。 20．在一条公路的一侧从头到尾种着27棵杨树，每隔10米种一棵，这条公路长（ ）米。 三、判断题 21．广场上的钟4时敲4下，6秒敲完，8时敲8下，需要16秒敲完。（ ） 22．36名学生在操场上手拉手围成一个正方形（每个顶点都有人），每边有10名学生。（ ） 23．一个圆形池塘周长120米，每隔6米种一棵树，共要种20棵树。（ ） 24．一个正方形操场的四周种树，每边各种15棵，四个顶点各种一棵，一共种树60棵。（ ） 25．圆形滑冰场的一周全长是200米，如果沿着这一圈每隔10米安装一盏灯，一共需要装20盏灯。（ ） 四、解答题 26．校园里有一个圆形的金鱼池，池边每隔0.25米竖着一根护栏，一共竖着100根护栏。绕着这个圆形金鱼池走两圈，共走了多少米？ 27．李伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120米，如果每隔10米栽一棵，一共要栽多少棵树？ 28．慈利县街道办为了营造春节的温馨氛围，准备在长4千米的街道两旁每隔80米安装一组灯饰（两端都装），街道办一共要准备多少组灯饰？ 29．小明家门前有一条35米的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每隔5米栽一棵树（两端不栽）。一共要栽多少棵？ 30．湖滨路有一排路灯，每两盏路灯之间相距5米。小芳从第1盏到第29盏，一共走了多少米？ 31．在不二门大桥的两旁每隔20米安装一盏路灯（两端都不装），共安装了40盏路灯。不二门大桥长多少米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $