专题六 函数与导数 微专题2 含参不等式恒（能）成立问题 讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与导数中的含参不等式恒（能）成立问题，整合分离参数法、分类讨论法、双变量最值定位、指对同构等核心方向，按解题方法逻辑分层梳理考点。通过考点透析明确方法原理，结合模拟真题示例讲解，配套跟踪练习巩固，形成“方法-例题-训练”的系统复习链，帮助学生构建解题框架。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如指对同构方向引导学生观察不等式结构，构造xe^x或xlnx等函数模型，提升抽象能力与推理意识。设置分层跟踪练习，从基础应用到综合创新，配合即时方法总结，确保学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供精准指导。

专题六 函数与导数 微专题2　含参不等式恒（能）成立问题 一、考点透析 方向1：分离参数法解决不等式恒（能）成立问题 部分问题可利用不等式的性质恒等变形使参数与变量进行分离，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min. 1.(2025·浙江省·月考)若，则实数最大值为          ． 2.(2025·河南省·模拟)已知函数，其中为自然对数的底数，当时，恒成立，则实数的取值范围为           ． 3.(2025·广西壮族自治区南宁市·模拟) 已知函数． 讨论函数的单调性； 若恒成立，求的取值范围．  方向2：分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题 此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的极值或最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法． 1.(2025·广东省东莞市·联考)设函数，其中 Ⅰ讨论的单调性； Ⅱ确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立为自然对数的底数．  2.(2025·云南省曲靖市·模拟)已知函数． 当时，求函数在上的值域 若在上恒成立，求实数的取值范围． 3.(2025·山东省青岛市·模拟)设函数． 当时，求的单调区间； 当时，恒成立，求的取值范围． 方向3：双变量最值定位解决不等式恒（能）成立问题 “双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求最值，进行等价变换，常见的拆解转换有： （1）∀x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max； （2）∀x1∈D1，∃x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min； （3）∃x1∈D1，∀x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max. （4）,,. 1.(2025·江苏省南通市·模拟)已知函数，，． 求曲线过点的切线方程； 求函数的最大值； 若存在,使得对任意，都有成立，求实数的取值范围．  2.(2025·四川省成都市·模拟)已知函数，． 当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； 当时，若，，恒成立，求实数的取值范围． 方向4：指对同构解决不等式恒（能）成立问题 指对同构的常用形式 (1)积型aea≤b ln b ①构造形式为aea≤eln bln b，构建函数f(x)＝xex. ②构造形式为ealn ea≤b ln b，构建函数f(x)＝x ln x. ③构造形式为a＋ln a≤ln b＋ln (ln b)，构建函数f(x)＝x＋ln x. (2)商型 ①构造形式为，构建函数f(x)＝. ②构造形式为，构建函数f(x)＝. ③构造形式为a－ln a≤ln b－ln (ln b)，构建函数f(x)＝x－ln x. 1.(2025·云南省玉溪市·模拟)设函数，，若存在，使得，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟题)已知函数，若在时恒成立，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 3.(2025·湖南省株洲市·期中)已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是           方向5：同构函数解决不等式恒（能）成立问题 1.(2025·安徽省蚌埠市·模拟)已知函数，其中． 当时，求函数的图象在处的切线方程 若恒成立，求的取值范围． 2.(2025·山东省菏泽市·期中)若对任意，，当时，，则的取值范围为          ． 3.(2025·山西省晋城市·模拟)若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为          ．  二、跟踪练习 1.(2025·陕西省咸阳市·模拟)若对任意正数恒成立，则实数的取值范围为          ． 2.(2025·江西省南昌市·模拟)“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧已知函数，，若，则的最大值为          ． 3.(2025·吉林省长春市·模拟)已知函数． 当时，求在处的切线方程； 当时，恒成立，求的取值范围 4.(2025·湖北省·模拟)已知函数． 已知在处取得极小值，求的值 对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 5.(2025·吉林省松原市·模拟)已知函数． 当时，求函数在处的切线方程； 恒成立，求的取值范围． 6.(2025·广西·模拟)已知函数． 当时，求函数的单调区间； 对任意的，当时，都有，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 函数与导数 微专题2　含参不等式恒（能）成立问题 一、考点透析 方向1：分离参数法解决不等式恒（能）成立问题 部分问题可利用不等式的性质恒等变形使参数与变量进行分离，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min. 1.(2025·浙江省·月考)若，则实数最大值为          ． 【答案】  【解析】 解：由题意知，， 即， 则的最大值即为的最小值． ，令，， 构造函数，，， 则， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 时，取得极小值，也是最小值，即， 故，实数的最大值为． 故答案为． 2.(2025·河南省·模拟)已知函数，其中为自然对数的底数，当时，恒成立，则实数的取值范围为           ． 【答案】  【解析】解：由题得在上恒成立， 即恒成立， 即， 令， 则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令， 则，函数在上单调递增， 又，， 在区间上存在唯一零点，使得函数在上小于零，在上大于零， 即在区间上大于零，在区间上小于零， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又，，，即的取值范围是． 故答案为：． 3.(2025·广西壮族自治区南宁市·模拟) 已知函数． 讨论函数的单调性； 若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】（1）略 恒成立等价于，即， 令，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即， 所以的取值范围为．  方向2：分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题 此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的极值或最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法． 1.(2025·广东省东莞市·联考)设函数，其中 Ⅰ讨论的单调性； Ⅱ确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立为自然对数的底数． 【答案】Ⅰ)在内单调递减， 在内单调递减，在内单调递增； Ⅱ 【解析】Ⅰ)略 Ⅱ令，，， 则， 而当时，， 所以在区间内单调递增， 又由，有， 从而当时，； 当，时，， 故当在区间内恒成立时，必有， 当时，， 由Ⅰ有，从而， 所以此时在区间内不恒成立， 当时，令，， 因此，在区间单调递增， 又因为， 所以当时，， 即恒成立， 综上，．  2.(2025·云南省曲靖市·模拟)已知函数． 当时，求函数在上的值域 若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】值域； 【解析】略； ， 令，则， ， ，故， 当时，，满足恒成立 当时，，故在上单调递增，又， 时，，进而，故在上单调递减 时，，进而，故在上单调递增， ，满足恒成立 当时，，故在上单调递减，又， 时，，进而，故在上单调递增 时，，进而，故在上单调递减， ，不满足恒成立， 综上所述，实数的取值范围是  3.(2025·山东省青岛市·模拟)设函数． 当时，求的单调区间； 当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）的单调增区间为的单调减区间为； （2） 【解析】略； 由题意可知，当时，恒成立， 即在上恒成立， 令， 则， 令，， 由可知，在为增函数， ，即， 故当时，则，当时，则， 在上为减函数，在为增函数， 在取极小值，也是最小值为， 故．  方向3：双变量最值定位解决不等式恒（能）成立问题 “双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求最值，进行等价变换，常见的拆解转换有： （1）∀x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max； （2）∀x1∈D1，∃x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min； （3）∃x1∈D1，∀x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max. （4）,,. 1.(2025·江苏省南通市·模拟)已知函数，，． 求曲线过点的切线方程； 求函数的最大值； 若存在,使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】切线方程为； 最大值为； （3） 【解析】略； 略； 由题设得存在，使得对任意， 都有成立，等价于， 对函数求导得：， 当时，令，则， 所以函数在区间上单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得最大值， 最大值为， 所以，符合题意；           时，令，即，解得， 当，即时，函数在上单调递增，此时函数无最大值，不符合题意；   当，即时，函数在上单调递增， 在上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意；         当，即时，函数在上单调递增， 在上单调递减．此时函数无最大值，不符合题意；     当，即时．函数在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得最大值，最大值为， 所以，即，符合题意，       综上所述，实数的取值范围是：．  2.(2025·四川省成都市·模拟)已知函数，． 当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； 当时，若，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）公共点个数为 （2） 【解析】略； ，，恒成立， 等价于， 由，得 ，，， 当时， ，所以在上单调递减 当时， ，所以在上单调递增， 当，即时，在上单调递增， 所以，，此时，所以满足条件； 当，即时，在上单调递减，所以，，此时，不合题意， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以，且，即，且， 令，当时， ，所以在上单调递增，所以， 令，当时， ，所以在上单调递减，所以， 所以当时，满足题意． 综上，的取值范围为．  方向4：指对同构解决不等式恒（能）成立问题 指对同构的常用形式 (1)积型aea≤b ln b ①构造形式为aea≤eln bln b，构建函数f(x)＝xex. ②构造形式为ealn ea≤b ln b，构建函数f(x)＝x ln x. ③构造形式为a＋ln a≤ln b＋ln (ln b)，构建函数f(x)＝x＋ln x. (2)商型 ①构造形式为，构建函数f(x)＝. ②构造形式为，构建函数f(x)＝. ③构造形式为a－ln a≤ln b－ln (ln b)，构建函数f(x)＝x－ln x. 1.(2025·云南省玉溪市·模拟)设函数，，若存在，使得，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】由，可得，所以， 又由，所以在上单调递增， 因为，所以，所以， 令，则， 令，则，可得， 所以在上单调递减，且， 当时，，，则在上单调递增， 当时，，，则在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，所以， 故的最大值为． 故选：． 2.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟题)已知函数，若在时恒成立，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】（方法1）在时恒成立，， ，， ，， 设，，时，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；是的极小值点， 的最小值是，，时恒成立， ，的取值范围为． （方法2）由题意 ，即 令t=，则t-1 ,不等式可化为 t+b . 所以t -t ,设h(t)=-t ,当t-1 时， =-10， 即知，h(t)最小值为h(-1)=. 故选： 3.(2025·湖南省株洲市·期中)已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是           【答案】  【解析】不等式在区间上恒成立， 等价于在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则，， 所以在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即的取值范围是． 故答案为：． 方向5：同构函数解决不等式恒（能）成立问题 1.(2025·安徽省蚌埠市·模拟)已知函数，其中． 当时，求函数的图象在处的切线方程 若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）切线方程为 （2） 【解析】略． ，其中， 所以问题转化为恒成立， 记，则， 令，得令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 所以．  2.(2025·山东省菏泽市·期中)若对任意，，当时，，则的取值范围为          ． 【答案】  【解析】因为，所以， 所以两边取对数得． 因为，所以， 所以． 设，则满足在上单调递减， 因为， 所以在上单调递减，在内单调递增， 所以，即的取值范围为 3.(2025·山西省晋城市·模拟)若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】由，得在上恒成立， 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，所以， 则，所以在上恒成立． 当时，恒成立，则； 当时，由，得； 当时，由，得． 设，则， 当或时，，在和上单调递减； 当时，，在上单调递增， 则在上的最大值为， 在上的最小值为． 综上可知，实数的取值范围为． 故答案为：．  二、跟踪练习 1.(2025·陕西省咸阳市·模拟)若对任意正数恒成立，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】因为，且， 可得，整理可得， 构建， 又因为在上单调递增，可得在上单调递增， 可得，且，整理可得， 令，可得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，则上单调递减，则， 可得，即，所以实数的取值范围为． 故答案为． 2.(2025·江西省南昌市·模拟)“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧已知函数，，若，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】由，得， 即，， 而当时，，则在上恒成立， 函数在上单调递增， 由，可得，， 令，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则，即的最大值为． 故答案为：． 3.(2025·吉林省长春市·模拟)已知函数． 当时，求在处的切线方程； 当时，恒成立，求的取值范围 【答案】（1）；（2） 【解析】略． 当时，， 当时，因为恒成立，所以； 当时，由恒成立，得， 令． 再令 ， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增，所以． 所以． 即的取值范围为：． 4.(2025·湖北省·模拟)已知函数． 已知在处取得极小值，求的值 对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】略； 因为对恒成立， 所以令，， ， ，即时，恒成立，在上单调递增， 所以，满足题意； ，即时，，得， ， 单调递减 极小值 单调递增 所以，与题意不符，舍去， 综上所述，的取值范围为  5.(2025·吉林省松原市·模拟)已知函数． 当时，求函数在处的切线方程； 恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】略； 因为的定义域为，若， 可得，整理可得， 构建，则， 可知在内单调递增，则， 令，则对任意恒成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得， 所以的取值范围为． 6.(2025·广西·模拟)已知函数． 当时，求函数的单调区间； 对任意的，当时，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，函数的增区间为，减区间为 （2） 【解析】略． 由，化简为，即． 令， 因为，则， 所以函数在上单调递增， 故在上恒成立，即在上恒成立， 设，， 在单调递增， 所以． 综上所述，实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $