27.2.1相似三角形的判定第三课时教学设计2025-2026学年人教版数学九年级下册

27.2.1相似三角形的判定第三课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学九年级（下册）第27章“相似”的第二节。内容包括：两角分别相等的两个三角形相似（AA相似判定定理），定理的推导证明、文字与符号表达，以及利用AA判定定理解决简单的三角形相似判定问题。 （二）教学内容解析 AA相似判定定理是相似三角形判定的核心定理，承接前两课时SSS、SAS相似判定，同时是后续推导直角三角形相似判定、解决复杂几何证明与计算（如线段比例、角度求解）的基础。从逻辑上，其推导依托三角形内角和定理，可由ASA全等判定类比迁移而来，既体现几何知识的关联性，又能培养学生的逻辑推理与类比思维，是连接相似判定基础定理与实际应用的关键内容。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】AA相似判定定理的理解与应用，能熟练用定理判定两个三角形相似。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.理解两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，能准确用文字、符号表述定理。 2. 掌握AA相似判定定理的推导过程，具备基础几何逻辑推理能力。 3. 能运用AA相似判定定理解决简单的三角形相似判定问题，提升几何应用能力。 （二）教学目标解析 1. 达成目标1：学生能独立说出AA相似判定定理的文字内容，面对两个三角形时，可通过标注相等角，用符号规范书写“两角分别相等→两三角形相似”的判定过程。 2. 达成目标2：学生能结合三角形内角和定理，推导“两角分别相等则第三个角也相等”，再关联已学相似三角形定义或预备定理，完成AA定理的证明，清晰梳理推导逻辑链。 3. 达成目标3：学生能识别题目中隐含或直接给出的相等角（如对顶角、同位角、直角等），运用AA定理快速判定三角形相似，解决单条件、双条件下的基础判定题型。 三、学生学情分析 九年级学生已掌握三角形内角和定理、全等三角形ASA判定定理，前两课时也学习了相似三角形定义及SSS、SAS相似判定，具备基础的几何图形分析、逻辑推理能力，且能通过类比旧知探索新知。但学生对“从已知定理推导新定理”的逻辑链梳理能力较弱，易忽略定理应用中“两角分别相等”的完整条件（仅找一个角相等即判定相似），同时在符号规范书写上可能存在不严谨问题，需针对性引导纠错。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】AA相似判定定理的推导证明，尤其是结合三角形内角和定理与已有知识的逻辑衔接。 四、教学策略分析 1. 旧知迁移策略：先回顾全等三角形ASA判定、三角形内角和定理及前两课时相似判定方法，搭建新知推导的认知基础，降低定理推导难度，体现几何知识的连贯性。 2. 自主探究策略：给出“两个三角形有两角分别相等”的前提，引导学生自主思考“第三个角的关系”，再关联相似三角形预备定理推导结论，培养学生自主推理能力。 3. 分层练习策略：设计基础题（直接找相等角判定相似）、中档题（结合对顶角/同位角/直角找相等角），逐步提升练习难度，兼顾不同学情学生，确保全体学生掌握定理核心应用。 4. 规范引导策略：定理推导后明确文字、符号双重表达，例题讲解中示范规范书写格式，练习后针对性纠错，强化学生几何表达的严谨性。 五、教学过程分析 （一）复习引入 提问回顾：①全等三角形ASA判定定理内容是什么？②三角形内角和定理的结论的是？③前两课时学过的相似三角形判定方法有哪些？ 导入新知：全等可通过“两角及夹边相等”判定，相似只需形状相同，若两个三角形仅满足“两角分别相等”，是否能判定相似？引出本节课核心内容——AA相似三角形判定。设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 知识点一　两角分别相等的两个三角形相似 探究：观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与 60°，或 45°与 45°）的两个三角尺大小可能不同，它们相似吗？ （1） 这两对三角形的三个内角的大小有什么关系？ （2） 三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？ （3）有一个内角对应相等的两个三角形相似吗？动手画一画. （4）有两个内角对应相等的两个三角形相似吗？ 猜想：两角分别相等的两个三角形相似．你能证明这个猜想吗？ 如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．求证△ABC∽△A′B′C′． 【证明】在线段 A′B′（或它的延长线）上截取 A′D＝AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E． ∵DE∥B′C′， 　∴∠A′DE＝∠B′，△A′DE∽△A′B′C′． 　又∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， 　∴∠B＝∠A′DE． 　∵AB＝A′D， 　∴△ABC≌△A′DE， 　∴△ABC∽△A′B′C′． 归纳：一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 例1．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAD+∠ADB＝120° ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠EDC＝120°， ∴∠DAB＝∠EDC， 又∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE； （2）解：∵△ABD∽△DCE， ∴， ∵BD＝3，CE＝2， ∴； 解得AB＝9． 知识点二 直角三角形相似的判定方法 思考：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就相似了？ 思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝90°，∠C′＝90°，＝．求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′． 【证明】设＝k，则 AB＝kA′B′，AC＝kA′C′． 　　由勾股定理，得 BC＝，B′C′＝． 　　∴＝＝k， 　　∴， 　　∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′． 归纳：我们得到利用斜边和一条直角边判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 符号语言： 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′， ∵， ∴△ABC∽△A′B′C′. 例2．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，且ED＝3AE．判断△ABC与△EAB是否相似，并说明理由． 【解答】解：结论：△ABC∽△EAB． 理由：∵AB：BC＝1：2，设AB＝k，BC＝2k， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝k，BC＝AD＝2k，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵ED＝3AE， ∴AEk，EDk， ∵2，2， ∴， ∵∠ABC＝∠BAE＝90°， ∴△ABC∽△EAB． （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．如图，已知∠EAC＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D． 2．如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，DE∥AB，∠1＝∠3，则图中相似三角形共有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 4．下列语句叙述正确的是（　　） A．有一个角是30°的等腰三角形都相似 B．有一个角是30°的直角三角形都相似 C．有一个角是30°的锐角三角形都相似 D．有一个角是30°的钝角三角形都相似 5．如图，已知∠ACB＝∠D＝90°，下列条件中不能判断△ABC和△BCD相似的是（　　） A．AB∥CD B．BC平分∠ABD C．∠ABC+∠DBC＝90° D．AB：BC＝BD：CD 6．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（　　） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 7．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是 　　　　　　 .（只要写一个条件） 8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，点E、F分别在边AC、BC上．求证：△ADE∽△DBF． 9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线．求证：△ABC∽△BDC． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $