6.4一次函数的应用（第1课时）（教学课件）数学鲁教版2024七年级上册

6.4一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式 第六章 一次函数 鲁教版2024（五四制）·七年级上册 6.4.1学 习 目 标 1 2 掌握用待定系数法求一次函数的解析式，发展运算能力和推理应用意识，培养举一反三的发散性思维。 在运用一次函数解析式解决问题时，能从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件，发展数感和观察能力。 新课引入 1.正比例函数y＝kx的图象是什么形状？正比例函数有什么性质呢？ 2. 一次函数y＝kx＋b的图象是什么形状？一次函数有什么性质呢？ 是过原点的一条直线.性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小 是过点（0，b）和点 的一条直线.性质：当k>0时， y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小 新课引入 前面我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出一个具体的一次函数表达式吗？如何画出它的图象？ 两点法——两点确定一条直线 y = x - 3 反过来，如果知道一条直线经过两个已知点，能否确定这条直线的表达式呢? 探究新知 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (m/s) 与其下滑时间 t (s) 的关系如图所示． (1) 请写出 v 与 t 的关系式； 问题：从图象中你能得到什么条件？ 过原点的射线 正比例函数的表达式 v = kt 过 (2，5) 从形到数 探究新知 (1) 请写出 v 与 t 的关系式； (2) 下滑第 3 s 末物体的速度是多少？ 解：(1) 设 v＝kt，点(2，5)在函数图象上， 当 t＝2 时，v＝5，即 2k＝5， 解得 k＝2.5； 所以 v 与 t 的关系式为 v＝2.5t. (2) 当 t＝3 时，v＝2.5×3＝7.5 (m/s). 确定正比例函数的关系式需要几个条件？ 一个 探究新知 思考·交流 确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？与同伴进行交流。 只需知道一个异于原点的点就可以求出正比例函数的表达式，即只需一个条件即可。 确定一次函数的表达式需要两个条件。 探究新知 例1 在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）是所挂物体质量x（单位：kg）的一次函数。某弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16 cm。写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度。 解：设 y=kx+b，根据题意，得 14.5=b， ① 16=3k+b。 ② 将①代入②，得 k=0.5。 所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5。 当 x=4时，y=0.5×4＋14.5=16.5。 因此，当所挂物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm。 探究新知 尝试·思考 某根蜡烛燃烧前长30 cm;燃烧时，剩下的长度y（单位：cm）是燃烧时间x（单位：h）的一次函数。当这根蜡烛燃烧2 h时，剩下的长度为18 cm。 （1）写出y与x之间的关系式； （2）这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ 解：(1) 设 y＝kx＋b，根据题意，得 30＝b， ① 12＝2k＋b， ② 将①代入②，得 k＝－9， 所以y＝－9x＋30。 所以这根蜡烛最多能燃烧 h。 (2) 当 y＝0 时，即 0＝－9x＋30，解得x＝ ， 探究新知 观察前面两个问题解决的过程，有哪些步骤是相同的？你能否归纳出确定一次函数表达式的一般步骤？ 求一次函数 表达式的步骤 （1）设函数表达式 （2）根据已知条件列出有关k，b的方程 （3）解方程，求k，b （4）将k，b代回表达式中，写出表达式 探究新知 尝试·思考 一个 (求出 k 的值) 两个 (求出 k 和 b 的值) 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 确定一次函数的表达式呢？ 探究新知 数学的基本思想方法：数形结合 一次函数解析式_________ 满足条件的两定点 (x1，y1)与(x2，y2) 一次函数的图象 _____________法 代入解出 选取 待定系数 y = kx + b 尝试·思考 课堂小结 1.确定一次函数的表达式 确定正比例函数y=kx(k≠0)的表达式,只需要　 　个关于k的条件;确定一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式,需要　 　个独立的关于k,b的条件. 2.确定一次函数表达式并解决实际问题 根据实际问题确定一次函数表达式的基本思路是先设出函数表达式 y=kx+b,再将已知条件代入求k,b,进而得到函数表达式,最后 借助函数表达式求解相关的问题. 一 两 随堂练习 1.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,-2),则正比例函数的表达式为( ) B 2. 若一次函数y＝ax－3的图象经过点A(2，3)，则下列各点在该函数 图象上的为(　B　) A. (1，－1) B. (－1，－6) C. (3，5) D. (－2，－12) B 随堂练习 3.次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象如图，则下列结论正确的是 ( ) A．k = 2　　 B．k = 3　　　 C．b = 2　 D．b = 3 D y x O 2 3 随堂练习 4. 如图，直线 l 是某正比例函数的图象，点 A(-4, 12), B(3, -9)是否在该函数的图象上？ l 解：设直线 l 对应的正比例函数的关系式为 因为直线 l 经过点(-1,3) 所以 即 所以正比例函数的关系式为 当 时，, 则点A(-4, 12)在该函数的图象上； 当 时，,则点B(3, -9)也在该函数的图象上. 随堂练习 5.如图所示,杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器,其秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间满足一次函数关系.若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为2.5 cm,挂1 kg物体时秤砣到秤纽的水平距离为8 cm.求当秤砣到秤纽的水平距离为30 cm时,秤钩所挂物体质量. 随堂练习 解:因为秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间满足一次函数关系,且不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为2.5 cm, 所以设一次函数表达式为y=kx+2.5(k≠0). 因为当x=1时,y=8, 所以8=k+2.5,解得k=5.5. 即y与x之间的函数表达式为y=5.5x+2.5. 当y=30时,30=5.5x+2.5,解得x=5. 即当秤砣到秤纽的水平距离为30 cm时,秤钩所挂物体质量是5 kg. 随堂练习 6. 已知一次函数的图象经过A(2，4)，B(0，2)两点，求： (1)一次函数的表达式； 解：(1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b. ∵图象经过A(2，4)，B(0，2)两点， ∴2k＋b＝4，b＝2.解得k＝1. ∴一次函数的表达式为y＝x＋2. 解：(1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b. ∵图象经过A(2，4)，B(0，2)两点， ∴2k＋b＝4，b＝2.解得k＝1. ∴一次函数的表达式为y＝x＋2. (2)此函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积S. 解：(2)∵一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴的 交点坐标分别为(－2，0)和(0，2)， ∴S＝ ×2×2＝2. 解：(2)∵一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴的 交点坐标分别为(－2，0)和(0，2)， ∴S＝ ×2×2＝2. 随堂练习 7.已知y与x成正比例,且当x=3时,y=4. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=-1时,求y的值. 随堂练习 8.如图所示,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b). (1)求b,m的值; 解:(1)把P(1,b)代入y=2x+1,得b=2+1=3,即P(1,3). 再把P(1,3)代入y=mx+4,得m+4=3,所以m=-1. 随堂练习 (2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D,若线段CD长为2,求a的值. 布置作业 1. 基础作业：教材“习题6.4.1”第1题，第2题 2. 拓展作业：教材“习题6.4.1”第3题 感谢聆听! A.y=2x B.y=-2x C.y=x D.y=-x (2)把x=-1代入y=x,得y=-. 解:(1)因为y与x成正比例,所以设y=kx. 因为当x=3时,y=4, 所以4=3k,解得k=. 所以y与x之间的函数表达式为y=x. 解:(2)直线x=a与直线l1的交点C为(a,2a+1),与直线l2的交点D为(a,-a+4). 因为CD=2,所以|2a+1-(-a+4)|=2, 即|3a-3|=2, 所以3a-3=2或3a-3=-2, 所以a=或. $