精品解析：山东省青岛市莱西市（五四学制）2025-2026学年八年级上学期期中检测数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质量检测初三数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第1卷和第II卷两部分，共23题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题和解答题，共15小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 若分式的值为零，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式等于零的条件，掌握分式的值为零，则分子为零且分母不等于零，是解题的关键；分式的值为零需满足分子为零且分母不为零． 【详解】解：∵ 分式 的值为零， ∴ 分子 ，解得 ， 又 ∵ 当 时，分母 ， ∴ 符合条件． 故选：D． 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的正确性，需逐一验证每个选项是否符合因式分解公式或法则，包括提取公因式、平方差公式、完全平方公式和十字相乘法等． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，符合完全平方公式，故C正确，符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选：C． 3. 下列四个分式的化简运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简运算，需根据分式的加减乘除法则和平方差公式逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、∵ ，∴ A错误，不符合题意； B、∵ ，∴ B错误，不符合题意； C、∵，∴ C正确，符合题意； D、∵ 与无必然相等关系，例如取，则 ，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可． 【详解】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意； 15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意； 把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意； 这组数据的平均数为：，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键. 5. 当n为自然数时，一定能（ ） A. 被5整除 B. 被6整除 C. 被7整除 D. 被8整除 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解题的关键．先把分解因式可得结果为：，从而可得答案． 【详解】解： 为自然数 所以一定能被8整除， 故选D 6. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；通过合并同分母分式，并利用平方差公式简化表达式． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ （其中 ） 因此，结果为， 故项：C. 7. 某校学生进行了一次心理健康知识竞赛，现随机抽取10名学生的竞赛成绩，分成四组，绘制出如图所示的频数分布直方图，已知这一组中的4个数据为：83，84，86，88，则抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数为（ ） A. 83.5 B. 84 C. 85 D. 86 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数定义，频数直方图的理解等相关问题，解题关键在于熟悉中位数定义． 根据数据找出排名第5位，第6位的成绩，再结合中位数定义求解，即可解题． 【详解】解：∵10名学生的竞赛成绩的中位数为第5位，第6位 根据频数分布直方图可知，排名第5位，第6位在这一组中， ∵80~90这一组中的4个数据为：83，84，86，88， ∴10名学生的竞赛成绩的中位数为 故选：A． 8. 已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简及解分式方程，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而求出，列出分式方程解出得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 三个数一个循环， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 第II卷 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用完全平方公式因式分解，熟练掌握用完全平方公式因式分解是解题的关键．先去括号，再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3斤．设该种水果打折前的单价为x元，根据题意可列方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据：60元打折前买的斤数比打折后买的斤数少3斤，然后即可列出方程． 【详解】解：依题意得： 故答案为： 点睛：本题考查列分式方程，由：60元打折前买的斤数比打折后买的斤数少3斤可以列出方程． 11. 为准备参加中小学生机器人竞赛，学校对甲、乙两支机器人制作小队所创作的机器人分别从创意、设计、编程与制作三方面进行量化，各项量化满分10分，根据量化结果择优推荐．两支小队所创作的机器人三项量化得分（单位：分）如下表所示： 量化项目 量化得分 甲队 乙队 创意 9 7 设计 8 9 编程与制作 7 9 根据本次中小学生机器人竞赛的主题要求，将创意、设计、编程与制作三项量化得分按5：3：2的比例确定每队的平均分，并根据平均分择优推荐，___________队将被推荐参赛． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数的求法，掌握其计算公式是解题的关键；根据加权平均数的计算方法，分别求出甲、乙两队的平均分，比较后得分高的队被推荐. 【详解】甲队的加权平均分为： ； 乙队的加权平均分为： ； ∵， ∴甲队将被推荐参赛. 12. 为增强身体素质，小明妈妈报名参加了社区组织的健步走活动．小明记录了妈妈6月1日-14日连续两个星期健步走的步数并绘制成如图所示的统计图，若设6月1日-7日健步走步数的方差记作月8日-14日健步走步数的方差记作，则___________（填“>”是”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查是折线统计图和方差的综合运用，读懂统计图是解题关键， 根据折线统计图得到第一周步数和第二周步数的数据，再根据其波动程度进行比较即可． 【详解】解：根据折线统计图看出小明妈妈第一周步数在之间，第二周步数在之间， ∴小明妈妈第一周步数数值波动大于第二周步数数值波动， ． 故答案为：>． 13. 当时，分式的值为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解可化为一元二次方程的分式方程，关键是掌握解分式方程的方法． 将已知条件代入分式，建立方程，通过交叉相乘化简为一元二次方程，求解后检验分母是否为零，排除无效解． 【详解】解：当 时，分式 ，其值为， 即， 交叉相乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 整理为， ， 解得：或． 检验：当 时，，分母为零，分式无意义，舍去； 当 时，，符合要求． 故答案为：． 14. 定义一种新运算：对于任意的非零实数下，．若，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了求分式的值；根据新运算的定义，将已知条件代入，求出关系式，然后代入所求表达式进行计算. 【详解】解：由定义， 则 故答案为：6. 三、解答题（本题满分78分，共9小题） 15. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （3）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （4）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解：原式= = 【小问2详解】 解：原式= = 【小问3详解】 解：原式= = = 【小问4详解】 解：原式= = =. 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法，分式的减法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先乘方，将除法变为乘法约分计算即可； （2）先通分，再计算即可． 【小问1详解】 解：原式= =． 【小问2详解】 解：原式= = =． 17. 解分式方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边同时乘，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边同时乘，求出方程的解，再进行检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘，得 ， ∴ 检验：当时，， 所以原方程的解为x=2． 【小问2详解】 解：方程两边同乘，得 ， ∴ 检验：当时，， 所以原方程无解. 18. 化简求值： （1）先化简，再求值：，其中； （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1）； （2）；时，原式值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算、因式分解及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式运算规则，正确进行因式分解，注意代入求值时需保证分母不为零． （1）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再通分计算减法，最后代入求值； （2）先化简括号内的分式加法（通分后合并），再将除法转化为乘法，因式分解约分，根据分式有意义条件排除使分母为零的数（，，），选取代入求值． 【小问1详解】 解： 当时，原式． 【小问2详解】 解： 由分式有意义的条件得，，选取，原式． 19. 列方程解应用题 高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式．某地去北京原来只有动车，动车路程为610公里．高铁开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 【答案】204公里/小时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 【详解】设高铁的平均速度为x公里/小时， 解：， 检验：当时，． 所以 是原方程的解，且符合题意， 答：高铁的平均速度为204公里/小时． 20. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查，分别从两个年级随机抽取了50名学生，统计每人在本学期投稿的篇数，并制作了下列统计图．请根据统计图解答下列问题： （1）七、八年级抽取的学生每人投稿篇数的中位数分别为___________，___________； （2）求两个年级抽取的学生每人投稿篇数的平均数； （3）用中位数、平均数两个统计量，对七、八年级学生投稿情况进行比较，并做出评价． 【答案】（1）3，3 （2）七年级：3；八年级：3.28 （3）七、八年级中位数相等，而八年级平均数大，所以八年级投稿情况好 【解析】 【分析】本题考查条形图与扇形统计图的综合应用，求中位数，众数和平均数．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据将数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数为中位数，进行求解即可； （2）利用平均数的计算方法进行计算即可； （3）利用中位数、平均数做决策即可． 【小问1详解】 解：∵，，故七年级中位数是3； ∵将数据排序后第25，26个数据分别为3，故八年级中位数是3； 故答案为：3，3； 【小问2详解】 七年级：； 八年级：． ∴七年级平均数为：3；八年级平均数为：3.28 【小问3详解】 七八年级中位数相等，而八年级平均数大，所以八年级投稿情况好． 21. 近年来网约车十分流行，某校八年级学生对“滴滴”和“哈啰”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示．根据以上信息，整理分析数据如下： 根据以上信息，整理分析数据如表： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 滴滴 6 6 哈啰 6 c 6.4 （1）直接写出表格中的值； （2）求表格中“滴滴”网约车司机月收入的方差； （3）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 【答案】（1） （2）1.2 （3） 选择滴滴，理由如下： 因为两家公司的月收入平均数相同，而滴滴的中位数及众数均大于哈啰，方差小于哈啰 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数、方差等知识点，掌握中位数、众数、方差的定义和意义是解题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据方差的定义求解即可； （3）根据中位数与众数及方差的意义进行分析即可解答． 【小问1详解】 解： ∴ 【小问2详解】 “滴滴”网约车司机月收入的方差 【小问3详解】 略 22. 【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是___________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数___________． 【答案】（1）①③；（2）；（3）2,4 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据真分式的定义即可求解； （2）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值． 【详解】（1）根据定义得：①③ 故答案为：①③ （2）． （3） ∵分式的值为整数， ∴ ∴ 故答案为：. 23. 【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．用不同方式表示几何图形的面积可以得到一些等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． 【类比探究】 探究一、如图2，借助边长为的正方形探索平方差公式： （1）从一个边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的正方形，剩下的部分（阴影部分）的面积为； （2）若将阴影部分沿虚线剪开，分成①，②两个长方形，则长方形①的面积，长方形②的面积； （3）由，可以得到等式，将其右边提公因式，得用来分解因式的平方差公式：． 探究二：如图3，类比探究一，借助一个棱长为的大正方体完成以下探究： （1）在棱长为的大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，剩下的几何体的体积___________； （2）将剩下的几何体分割成①，②，③三个长方体，则长方体①的体积；长方体②的体积___________；长方体③的体积___________； （3）由可以得到将一个多项式进行因式分解的等式为___________． 【拓展应用】 利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 【答案】探究二：（1）；（2）；；（3）；【拓展应用】252 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． （1）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案； （2）根据长方体的体积公式即可得； （3）根据（1）和（2）的结论，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案； （4）先利用完全平方公式求出，再根据（3）的结论即可得． 【详解】探究二：（1）； （2）；； （3） 故答案为：（1）；（2）；；（3）； 【拓展应用】∵，，， ∴， ∴． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量检测初三数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第1卷和第II卷两部分，共23题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题和解答题，共15小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 若分式的值为零，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个分式的化简运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 5. 当n为自然数时，一定能（ ） A. 被5整除 B. 被6整除 C. 被7整除 D. 被8整除 6. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 某校学生进行了一次心理健康知识竞赛，现随机抽取10名学生的竞赛成绩，分成四组，绘制出如图所示的频数分布直方图，已知这一组中的4个数据为：83，84，86，88，则抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数为（ ） A. 83.5 B. 84 C. 85 D. 86 8. 已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 9. 因式分解：________． 10. 某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3斤．设该种水果打折前的单价为x元，根据题意可列方程为________________． 11. 为准备参加中小学生机器人竞赛，学校对甲、乙两支机器人制作小队所创作的机器人分别从创意、设计、编程与制作三方面进行量化，各项量化满分10分，根据量化结果择优推荐．两支小队所创作的机器人三项量化得分（单位：分）如下表所示： 量化项目 量化得分 甲队 乙队 创意 9 7 设计 8 9 编程与制作 7 9 根据本次中小学生机器人竞赛的主题要求，将创意、设计、编程与制作三项量化得分按5：3：2的比例确定每队的平均分，并根据平均分择优推荐，___________队将被推荐参赛． 12. 为增强身体素质，小明妈妈报名参加了社区组织的健步走活动．小明记录了妈妈6月1日-14日连续两个星期健步走的步数并绘制成如图所示的统计图，若设6月1日-7日健步走步数的方差记作月8日-14日健步走步数的方差记作，则___________（填“>”是”或“<”）． 13. 当时，分式的值为，则的值为___________． 14. 定义一种新运算：对于任意的非零实数下，．若，则的值为___________． 三、解答题（本题满分78分，共9小题） 15. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解分式方程： （1） （2）． 18. 化简求值： （1）先化简，再求值：，其中； （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 19. 列方程解应用题 高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式．某地去北京原来只有动车，动车路程为610公里．高铁开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 20. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查，分别从两个年级随机抽取了50名学生，统计每人在本学期投稿的篇数，并制作了下列统计图．请根据统计图解答下列问题： （1）七、八年级抽取的学生每人投稿篇数的中位数分别为___________，___________； （2）求两个年级抽取的学生每人投稿篇数的平均数； （3）用中位数、平均数两个统计量，对七、八年级学生投稿情况进行比较，并做出评价． 21. 近年来网约车十分流行，某校八年级学生对“滴滴”和“哈啰”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示．根据以上信息，整理分析数据如下： 根据以上信息，整理分析数据如表： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 滴滴 6 6 哈啰 6 c 6.4 （1）直接写出表格中的值； （2）求表格中“滴滴”网约车司机月收入的方差； （3）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 22. 【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是___________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数___________． 23. 【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．用不同方式表示几何图形的面积可以得到一些等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． 【类比探究】 探究一、如图2，借助边长为的正方形探索平方差公式： （1）从一个边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的正方形，剩下的部分（阴影部分）的面积为； （2）若将阴影部分沿虚线剪开，分成①，②两个长方形，则长方形①的面积，长方形②的面积； （3）由，可以得到等式，将其右边提公因式，得用来分解因式的平方差公式：． 探究二：如图3，类比探究一，借助一个棱长为的大正方体完成以下探究： （1）在棱长为的大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，剩下的几何体的体积___________； （2）将剩下的几何体分割成①，②，③三个长方体，则长方体①的体积；长方体②的体积___________；长方体③的体积___________； （3）由可以得到将一个多项式进行因式分解的等式为___________． 【拓展应用】 利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $