第21—22章 阶段性综合练习题 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

2025-2026学年沪科版九年级数学上册《第21—22章》阶段性综合练习题（附答案） 一、选择题（本大题共30分） 1．若，则等于（　　） A． B． C． D． 2．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（　　） A．cm B．2（1）cm C．4（1）cm D．6（1）cm 3．将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为（　　） A．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣2 C．y＝﹣5（x+1）2﹣1 D．y＝﹣5（x+1）2+3 4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 5．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB 6．已知二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0 7．已知y关于x的函数关系式是y＝mx2﹣2x﹣m，下列结论正确的是（　　） A．若m＝1，函数的最小值为﹣1 B．若m＝﹣1，当x≤一1时，y随x的增大而减小 C．不论m为何值时，函数图象与x轴都有两个交点 D．不论m为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣2）和（﹣1，2） 8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　） A．5 B． C． D． 9．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的两点，下列命题正确的是（　　） A．若x1＞x2＞1，则y1＞y2 B．若x1＜x2＜1，则y1＜y2 C．若y1＝y2，则x1＝x2 D．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 10．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是（　　） A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12 二、填空题（本大题共12分） 11．二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为　 　． 12．如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝　 　． 13．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝　 　． 14．在平面直角坐标系中，关于x的函数y＝﹣x+3a+2和y＝x2﹣ax的图象相交于点P、Q． （1）若点P的横坐标为1，则a＝　 　． （2）若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是 　 　． 三、解答题（本大题共78分） 15．已知三条线段a，b，c满足，且a+b+c＝17，求a的值． 16．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF＝6cm，求EF和FC的长． 17．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y＝ax2+bx来表示，已知OA＝8米，距离O点2米处的棚高BC为米． （1）求该抛物线的解析式； （2）若借助横梁DE（DE∥OA）建一个门，要求门的高度为1.5米，求横梁DE的长度是多少米？ 18．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9． （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 19．已知，如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4），点B（m，﹣1）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△OAB的面积； （3）直接写出不等式ax+b的解集是　 　． 20．如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）． （1）求a的值和图象的顶点坐标． （2）点Q（m，n）在该二次函数图象上． ①当m＝2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围． 21．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 22．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上）． （1）若△CEF与△ABC相似，①当AC＝BC＝2时，AD的长为　 　．②AC＝3，BC＝4时，AD的长为　 　． （2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由． 23．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值； （3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值． 参考答案 一、选择题（本大题共30分） 1．解：∵， ∴． 故选：B． 2．解：根据黄金分割点的概念得：ACAB＝4（1）cm． 故选：C． 3．解：将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为：y＝﹣5（x+1）2+1﹣2，即y＝﹣5（x+1）2﹣1． 故选：C． 4．解：∵反比例函数y（k＜0）的图象分布在第二、四象限， 在每一象限y随x的增大而增大， 而x1＜x2＜0＜x3， ∴y3＜0＜y1＜y2． 即y2＞y1＞y3． 故选：A． 5．解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意； B、由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意； C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意； D、由AC2＝AD•AB，即，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意； 故选：B． 6．解：∵原函数是二次函数， ∴m≠0． ∵二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则 Δ＝b2﹣4ac＞0， △＝12﹣4m×（﹣1）＞0， ∴m． 综上所述，m的取值范围是：m且m≠0， 故选：C． 7．解：∵y＝mx2﹣2x﹣m， ∴当m＝1时，y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴当x＝1时，函数取得最小值﹣2， 故选项A错误； 当m＝﹣1时，该函数图象开口向下，对称轴是直线x1， ∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大， 故选项B错误； ∵当m＝0时，函数关系式是y＝mx2﹣2x﹣m＝﹣2x， 它与x轴只有一个交点， 故选项C错误； ∵y＝mx2﹣2x﹣m＝m（x2﹣1）﹣2x， ∴当x2﹣1＝0时，即x＝1或﹣1时，则y分别为﹣2或2， 即无论m为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣2）或（﹣1，2）， 故选项D正确； 故选D． 8．解：∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10（勾股定理）； ∴AOAC＝5， ∵EO⊥AC， ∴∠AOE＝∠ADC＝90°， 又∵∠EAO＝∠CAD， ∴△AEO∽△ACD， ∴， 即， 解得，AE； ∴DE＝8， 故选：C． 9．解：∵y＝ax2﹣2ax， ∴抛物线对称轴为直线x1， 当a＜0，x＞1时，y随x增大而减小， ∴选项A错误，不符合题意． 当a＞0，x＜1时，y随x增大而减小， ∴选项B错误，不符合题意． 当y1＝y2，P1（x1，y1），P2（x2，y2）关于抛物线对称轴对称或重合， ∴选项C错误，不符合题意． 若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，P1（x1，y1），P2（x2，y2）到对称轴距离相等， ∴y1＝y2.选项D正确，符合题意． 故选：D． 10．解：翻折后的抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2﹣4＝x2﹣8x+12， ∵设x1，x2，x3均为正数， ∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限， 根据对称性可知：x1+x2＝8， ∵2≤x3≤4， ∴10≤x1+x2+x3≤12即10＜t≤12， 故选：D． 二、填空题（本大题共12分） 11．解：∵二次函数y＝2x2﹣+bx+3的对称轴是直线x＝1， ∴x1， ∴b＝﹣4． 则b的值为﹣4． 故答案为：﹣4． 12．解：∵M，N分别是边AC，BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN∥AB，且MNAB， ∴△CMN∽△CAB， ∴（）2， ∴， ∴S四边形ABNM＝3S△CMN＝3×1＝3． 故答案为：3． 13．解：连接OA，如图所示： ∵AB⊥y轴， ∴AB∥OC， ∵D是AB的中点， ∴S△ABC＝2S△ADO， ∵S△ADO，△ABC的面积为4， ∴|k|＝4， 根据图象可知，k＞0， ∴k＝4． 故答案为：4． 14．解：（1）令﹣x+3a+2＝x2﹣ax，把x＝1代入﹣x+3a+2＝x2﹣ax，得﹣1+3a+2＝1﹣a，解得a＝0． （2）函数y＝x2﹣ax的图象是抛物线，抛物线开口向上，与x轴的交点为（0，0）和（a，0）． ①当a＞0时，若P、Q两点都在x轴的上方， 此时当x＝a时，y＝﹣x+3a+2＝﹣a+3a+2＝2a+2＞0， ∴a＞﹣1， ∵ ∴a＞0． ②当a＜0时，若P、Q两点都在x轴的上方，如图2：此时当x＝0时，y＝﹣x+3a+2＝3a+2＞0，解得a， 故a＜0， 综上所述，实数a的取值范围是a＞0或a＜0． 故答案为a＞0或a＜0． 三、解答题（本大题共78分） 15．解：设， 则a＝3k，b＝2k，c＝4k﹣1， 由a+b+c＝17可得，3k+2k+4k﹣1＝17， 解得k＝2， 则a＝6． 16．解：∵AE∥DF， ∴，即， ∴EF＝4， ∴BE＝BF+EF＝6+4＝10， ∵DE∥AC， ∴，即， ∴CE， ∴CF＝CE+EF． 17．解：（1）由题意可得，抛物线经过（2，），（8，0）， 故， 解得：， 故抛物线解析式为：yx2x； （2）由题意可得：当y＝1.5时， 1.5x2x， 解得：x1＝4+2，x2＝4﹣2， 故DE＝x1﹣x2＝4+2（4﹣2） ＝4． 18．（1）解：∵AE＝4，AC＝9 ∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5； ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE； ∴， ∴CD， （2）证明：∵， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB； 19．解：（1）∵y函数的图象过点A（1，4）， ∴k＝4，即y， 又∵点B（m，﹣1）在y上， ∴m＝﹣4， ∴B（﹣4，﹣1）， 又∵一次函数y＝ax+b过A、B两点， 即， 解得：， ∴y＝x+3； （2）由y＝x+3可知C（﹣3，0）， ∴S△OAB＝S△OAC+S△OBC3×43×1． （3）根据图象可得：不等式ax+b的解为：﹣4≤x＜0或x≥1． 故答案为：﹣4≤x＜0或x≥1． 20．解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中， ∴a＝2， ∴y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2， ∴顶点坐标为（﹣1，2）； （2）①当m＝2时，n＝11， ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴﹣2＜m＜2， ∴2≤n＜11； 21．解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b， 将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：， 解得：， 故函数的表达式为：y＝﹣2x+160； （2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50， ∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200， 故销售单价定为50元时，该商店每天的利润最大，最大利润1200元； （3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800， 解得：40≤x≤70， 又∵y＝﹣2x+160≥20， 则y的最小值为﹣2×70+160＝20， 每天的销售量最少应为20件． 22．解：（1）若△CEF与△ABC相似． 当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形，如图1所示． 此时D为AB边中点，ADAC； 故答案为：； ②若△CEF与△ABC相似，分两种情况： ①若CE：CF＝3：4，如图1所示． ∵CE：CF＝AC：BC， ∴EF∥AB． 由折叠性质可知，CD⊥EF， ∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高． 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴cosA， ∴AD＝AC•cosA＝31.8； ②若CF：CE＝3：4，如图2所示． ∵△CEF∽△CBA， ∴∠CEF＝∠B． 由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°， 又∵∠A+∠B＝90°， ∴∠A＝∠ECD， ∴AD＝CD． 同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD， ∴D点为AB的中点， ∴ADAB5＝2.5． 综上所述，AD的长为1.8或2.5． 故答案为：1.8或2.5． （2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似．理由如下： 如答图2所示，连接CD，与EF交于点Q． ∵CD是Rt△ABC的中线 ∴CD＝DBAB， ∴∠DCB＝∠B． 由折叠性质可知，∠CQF＝∠DQF＝90°， ∴∠DCB+∠CFE＝90°， ∵∠B+∠A＝90°， ∴∠CFE＝∠A， 又∵∠ACB＝∠ACB， ∴△CEF∽△CBA． 23．解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得 ， 解得， 这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3； （2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3）， 设BC的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得 ， 解这个方程组，得． 故直线BC的解析是为y＝﹣x+3， 过点P作PE∥y轴， 交直线BC于点E（t，﹣t+3）， PE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t， ∴S△BCP＝S△BPE+S△CPE（﹣t2+3t）×3（t）2， ∵0， ∴当t时，S△BCP最大 （3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3） MN＝|m2﹣3m|，BM|m﹣3|， 当MN＝BM时，①m2﹣3m（m﹣3），解得m， ②m2﹣3m（m﹣3），解得m 当BN＝MN时，∠NBM＝∠BMN＝45°， m2﹣4m+3＝0，解得m＝1或m＝3（舍） 当BM＝BN时，∠BMN＝∠BNM＝45°， ﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m+3，解得m＝2或m＝3（舍）， 当△BMN是等腰三角形时，m的值为，，1，2． 学科网（北京）股份有限公司 $