第21章 二次函数与反比例函数 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(沪科版2012)

本章综合提升（答案P15) 本章知识归纳 二次函数 一般地.表达式如 (a,b,c是常数，且a≠0)的 的定义 函数叫做x的二次函数其中x是自变量 x>_ 时，y随x的增大而增大 a>0,开口向 时，y随x的增大而减小 二次函数的 顶点坐标： 图象和性质 时，y随x的增大而减小 a<0,开口向 x< 时，y随x的增大而增大 般式： 二次函数表 顶点式： 达式的确定 交点式： 二次 函数 化为顶点式，左右平移改变自变量x的值，上下平移改变函数的值 二次函数图 象的平移 规律： 元二次方程ax2+bx+c=0的解←→二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的 二次函数与一元二次 当b2-4ac>0时，y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有_个交点 方程 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的交点个数 当b2-4ac=0时，y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有__个交点 当b2-4ac<0时，y=a2+bx+c(a≠0)与x轴交点 二次函数的 实际应用 概念：形如 (是常数，且k≠0)的函数，其中横、纵坐标的乘积等于 反比例函数表达式的确定：待定系数法 反比例函数)=冬k≠0)的图象与性质 反比例函数，=k≠0的图象是双曲线：每个图象有两个分支，这两个分支分别 在两个象限，每个分支都无限接近坐标轴，但却永远不会和坐标轴相交，这是 反 因为)=k≠0中，和都不能等于0：每个图象的两个分支关于原点中心对称 比 反比例函数的 图 k>0 k<0 函 图象与性质 象 图象在第 象限 图象在第 象限 性质 在每个象限内，y随x的增大而 在每个象限内，y随x的增大而 反比例函数的实际应用 一九年级上册数学 2 思想方法阴纳 >>>>>>>>>>>>>>>> 链接本章…… (1)二次函数的表达式与图象的转化； 1.数形结合思想 (2)二次函数与一元二次方程的转化；(3)代 “数”与“形”是数学中的两个最基本的概念， 数问题与几何问题的转化；(4)实际问题与 数形结合就是把数量关系与图形变换结合起来 数学问题的转化. 分析与探究，以实现“以形助数”“以数辅形”的 【例2】如图所示，抛物线y=a.x2+bx一3 功能. 与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点，OB= “链接亦章 OC=3OA,则该抛物线的表达式是 (1)从试题的层面来说，二次函数反映 了数量与图形之间的对应关系，数与形互相 转化，互为支撑；(2)从解题的角度来说，要 有观察图象、联想图象的意识，并形成由数 【变式训练2】已知二次函数的图象如图所 联想形、由形联想数的思考习惯. 示，则该二次函数的表达式可能是() 【例1】(2023·合肥模拟)一次函数y= ax十b与二次函数y=ax2十bx在同一平面直角 平面直角坐标系中的图象可能是( A.y=-4(x-m)2-m2-2 大行 B.y=-(x+a)(x-a+1) cy=-2-a+3x+(←） D.y=ax2-bx+b-a 【变式训练1】(2023·合肥庐阳区三模)反比 3.建模思想 例函数y=一 与一次函数y=x一3在同一平 建模思想是求解实际问题的常用方法之一 对于没明确函数形式的问题，需要根据所给的相 面直角坐标系中的大致图象可能是() 关信息分析数量关系，从中抽象出函数模型，借 助函数的性质来解决实际应用的问题. 百链接本章一 二次函数、反比例函数的实际应用题. 2.转化思想 【例3】某种商品上市之初采用了大量的广 转化思想就是化未知为已知、化繁为简、化 告宣传，其销售量y(单位：万件)与上市的天数x 难为易，这是数学解题中最常见的一种思想方 (单位：天)之间的函数关系式为y=4x.当广告 法，转化思想能使一些抽象的数学问题变得更加 停止后，销售量y(单位：万件)与上市的天数x (单位：天)之间成反比例关系（如图所示），现已 直观 53 优计学案·课时通 知上市30天时，当日销售量为120万件， 4.分类讨论思想 (1)当x≥30时，求该商品上市以后销售量 分类讨论思想就是在研究与解决数学问题 y(单位：万件)与上市的天数x(单位：天)之间的 时，如果问题不能以同一种形式表述、概括，可根 函数关系式. 据数学对象的本质属性的相同点和不同点，按照 (2)广告合同约定，当销售量不低于100万 某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象 件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就 划分为既有联系又有区别的若干部分，然后进行 可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设 讨论，再把这几类结论汇总，从而得出问题的 计师能否拿到“特殊贡献奖”？请说明理由， 答案 ↑y万件 :台链接本章 120 (1)对二次项系数中含有的字母进行分 类讨论；(2)利用一元二次方程根的判别式 0 30 判断二次函数的图象与x轴的交点个数； (3)与二次函数有关的动点问题、存在性问 题等 、- 【例4】在平面直角坐标系xOy中，若函数 y=kx2+2x十1的图象与x轴只有一个交点，则 x2+3(x≤2)， 【变式训练4】若函数y= 则 3x(x>2), 【变式训练3】公元前3世纪，古希腊科学家 当函数值y=9时，自变量x的值是( 阿基米德发现了著名的“杠杆定律”，小明想根据 A.士√6 B.3 此定律，用一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力 和阻力臂不变，分别为1200N和0.5m. C.3或±√6 D.3或-√6 (1)动力F与动力臂1有怎样的函数关系？ 通模拟> >>>>>>>>>>>>>>>>>>y3>>>>>>>>> 当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大 1.(毫州涡阳一模)已知函数：①y=2x一1；②y= 的力？ -2x2-1;③y=3x3-2x2;④y=2x2-x-1; (2)若想使动力F不超过(1)中所用力的一 半，则动力臂至少要加长多少？ ⑤y=ax2十bx+c.其中二次函数的个数 为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(毫州蒙城月考)若关于x的函数y=(2一 a)x2一2x十1是二次函数，则a的取值范围 是() A.a≠0 B.a≠2 C.a<2 D.a>2 一九年级·上册·数学 54 3.(2023·合肥庐阳区一模)已知抛物线y= x的函数表达式为( ) ax2+bx十a一2如图所示，其对称轴为直线 A.y=(x-40)(500-10x) x=2,那么一次函数)=ax十6的图象大致 B.y=(x-40)(10x-500) C.y=(x-40)[500-10(x-50)] 为() D.y=(x-40)[500-10(50-x)] 7.(2023·安庆模拟)某闭合并联电路中，各支路 电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)成反比例， 如图所示表示该电路电流I与电阻R的函数 关系图象，若该电路中某导体电阻为4Ω，则导 体内通过的电流为( ) A.2A B.2.5AC.5A D.10A 2 4.(宣城宣州区期中)对于反比例函数y=一 下列结论：①图象分布在第二、四象限；②当 R/O x>0时，y随x的增大而增大；③图象经过点 第7题图 第8题图 (1,-2);④若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图 8.(2023·滁州全椒三模)如图所示，在平面直角 象上，且x1<x2,则y1<y2·其中正确的 坐标系xOy中，点A(0,4),B（3,4),将 是() △ABO向右平移到△CDE的位置，A的对应 A.①②③ B.②③④ 点是C,O的对应点是E,函数y三(k≠0)的 C.①③④ D.①②④ 图象经过点C和DE的中点F,则k的值 5.(芜湖模拟)如图所示，在 是 平面直角坐标系中，平行 9.(合肥肥东二模)如图所示，一座悬索桥的桥面 四边形OABC的顶点A OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主 在反比例函数y=上的图 悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM 与AN相等，小强骑自行车从桥的一端O沿直 4 象上，顶点B在反比例函数y=二的图象上， 线匀速穿过桥面到达另一端A,当他行驶18秒 时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相 点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC 同，那么他通过整个桥面OA共需 的面积是() 秒！ C.3 D.5 6.（马鞍山二模)某农产品市场经销一种销售成 本为40元的水产品.据市场分析，若按每千克 10.(2023·六安霍邱一模)点A(a,b)是一次函 50元销售，一个月能售出500千克.销售单价 每涨1元，月销售量就减少10千克.设销售单 数y=2x-3与反比例函数y=的图象的 价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与 交点，则2a2b-ab2= 优计学案·课时通 11.(2023·合肥肥东模拟)某水果店去年2月份 12.(2023·滁州来安二模)如图①所示，一块钢 至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种 板截面的一边为线段AB,另一边曲线ACB 水果每月售价y1与月份x之间存在的反比 为抛物线的一部分，现沿线段BC将这块钢 例函数关系如表所示. 板分成①、②两部分，以AB边所在直线为x 时间x/月份 2 3 5 轴，经过点C且与AB垂直的直线为y轴，建 售价y1/(元/千克) 12 6 6 4.8 立平面直角坐标系xOy,规定1个单位长度 代表1米.已知：OA=2米，OB=8米，OC= 甲种水果进价为3元/千克，销售量P(单位： 6米 千克)与x之间满足关系式P=20x;乙种水 (1)求曲线ACB所在抛物线的函数表达式 果每月售价y2与月份x之间满足y2=ax2 (不用写出自变量的取值范围)， 十bx十4，对应的图象如图所示.乙种水果进 (2)如图②所示，在该钢板第①部分中截取一 价为3.5元/千克，平均每月销售160千克. 个矩形DEFG,其中D为BC的中点，E,F (1)求y1与x之间的函数关系式. 均在线段AB上，G在曲线AC上，求EF (2)求y2与x之间的函数关系式 的长 (3)若水果店销售水果时需要缴纳0.2元/千克 (3)如图③所示，在该钢板第②部分中截取一 的税费，问该水果店哪个月销售甲、乙两种水 个△PBC,其中点P在曲线BC上，记△PBC 果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 的面积为S,求S的最大值. y元/千克) h 5x月份 一九年级上册数学 56 通中考> (2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标 >>》>>>>>>>>>>>》>》>>>>>> 为t,点C的横坐标为t+1.过点B作x轴的 13.(2023·安徽中考)下列函数中，y的值随x 垂线交直线OA于点D,过点C作x轴的垂 值的增大而减小的是( ) 线交直线OA于点E A.y=x2+1 B.y=-x2+1 (ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面 C.y=2x+1 D.y=-2x+1 积之和； 14.(2023·安徽中考)已知反比例函数y=(k (ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B,使 x 得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为 ≠0)在第一象限内的图象与一次函数 3 y=一x十b的图象如图所示，则函数y= ？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若 x2-bx+k一1的图象可能为() 不存在，请说明理由. Y= y=-x+b 15.(2023·安徽中考)如图所示，O是坐标原点， Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上， AB=2,∠AOB=30°，反比例函数y= (>0)的图象经过斜边OB的中点C. x (1)k= (2)D为该反比例函数图象上的一点，若 DB∥AC,则OB2-BD2的值为 16.(2023·安徽中考)在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，抛物线y=ax2十bx(a≠0)经 过点A(3,3),对称轴为直线x=2. (1)求a,b的值. 57 优计学案·课时通由题意可得=号：+4-【-6)+ 2 本章综合提升 【本章知识归纳】 9+12=u-6+号 12-10, 3 y ax2+bx +c 上 b b 2a 2a ∴.抛物线的对称轴为直线x=5. .|8-5|>|3-51, 下 b 2a y=ax2+bx+ 六当x=8时，w有最大值，最大值为号×(8-5)+ cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)上加 11_20 3-3 下减，左加右减横坐标两一没有y=冬 从3月份到8月份，8月商品的单件利润最大，最 一、三二、四减小增大 大利狗是元 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：由选项中图象可判断a,b的符号，分 5.解：(1)当30≤x≤60时，w=(x-20)·（-0.1x+ 8)-50=-0.1x2+10x-210. 类讨论求解！ 120 B 当60<x≤80时，w=（x-20)· -50= 【变式训练1】C 2400 +70. 【例2】思路分析：根据抛物线与y轴交于点C易得点 C的坐标为C(0,一3)，根据OB=OC=3OA,可得 1-0.1x2+10x-210(30x60), 点A,B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函 故w= 2400 +70(60<x≤80). 数的表达式 (2)当30≤x≤60时，0=-0.1x2+10x-210= y=x2-2x-3 -0.1(x-50)2+40, 【变式训练2】C ∴.当x=50时，0取得最大值40，即4000元. 【例3】思路分析：(1)将已知点的坐标代入反比例函数 当60<x≤80时，0= 2400+70. 中利用待定系数法确定其表达式即可.(2)分别求得 销量不低于100万件的天数，相加后大于等于12天 ,一2400<0，.当60<x≤80时，w随x的增大而 即可拿到“特殊贡献奖”，否则不能 增大，当x=80时，w最大=4000元. 答：销售价格定为50元/件或80元/件时，获得的利 解：1D当c≥30时，设)y=多， 润最大，最大利润是4000元. .C 6.解：(1)由题意可得y1=[50×(50-x)十3000]· 把(30,120)代人得及=360，y-360 (x≥30). x-200x=-50x2+5300x, 而y2=3500x-1850, (2)当0<x≤30时，由4x≥100得，x≥25，即25≤ 两公司的月利润相等时，一50x2+5300x= x≤30，有6天； 3500x-1850,解得x1=37,x1=-1(舍去)， ∴.当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利 当x>30时，由3600≥100，解得x≤36，即30< x 润相等. x≤36，有6天， (2)设月利润差为y, 共有6十6=12（天），因此设计师可以拿到“特殊贡 y=y1-y2=-50x2+5300x-(3500x-1850)= -50x2+1800x+1850, 献奖”. 1800 【变式训练3】解：(1)Fl=1200×0.5=600, 当x=一2×(-50) =18时，利润差最大，且为 则F=600 .动力F与动力臂1成反比例关系. 18050元. 甲公司最多比乙公司利润多18050元. .5=400(N0. 600 当l=1.5m时，F= (3),捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月 利润， 则利润差为y=-50x2十1800x+1850一ax= (2)由题意，得F三0≤4，三200，解得≥3m, -50x2+(1800-a)x+1850, 3-1.5=1.5(m),故动力臂至少要加长1.5m. 对称轴为直线x=1800一Q 【例4】思路分析：根据题意，对飞进行分类讨论，①k 100 0,符合题意；②k≠0，根据二次函数的图象与性质， ,x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆 时，月利润之差最大， 由△=0进行计算可以得解. 15.5<1800-a<16.5,解得150<4<250. 0或1 100 【变式训练4】D 15 【通模拟】 x轴， 1.B2.B3.D4.A5.C6.C7.B8.69.46 ∴.点F的坐标为(3一√I7,0),.EF=4-(3 10.27 /17)=/17+1. 11.解：(1)设y1与x之间的函数关系式为y1= k (3)设直线BC的表达式为y=kx十c(k≠O). (8k十c=0, 把(2,12)代人，得12=令解得k=24, 把(8,0)，(0,6)代人，得 c=6, 3 与x之间的医数关系式为y-4(2区：≤5， k=- 解得 4 且x为整数)， c=6, (2)把(2,6)，(4,4)代入y2=a.x2+bx+4,得 直线BC的表达武为y=子十6， 1 4红+26十4=6：解得a=一2， 点P在抛物线上，设点P的坐标为 16a+4b+4=4, b=2, (m,-名m2+m+6）0<m<8, y2与x之间的函数关系式为y2=一 2x2 如图所示，过点P作PH⊥x轴于H,交BC于点 2x十4(2≤x≤5，且x为整数)， Q,则点Q的坐标为m,-m十6， (3)设甲、乙两种水果获得的总利润为w, 则0=0甲+z=(y1一3一0.2)·P+(y2一3.5- 0.2)×160 =(-322+(+2x+4-85-× 160 =-64x+480-80x2+320x+48 .'.QP=- m+6-（-m+6) =-80x2+256x+528, 3 对称轴为直线x=一 256 8m2+3m, X80-1.6. 1 :一80<0，.当x>1.6时，w随x的增大而减小 .S=SACPQ+S△BPQ= PQ·m+PQ·(8- ,x为整数， m)= P阳8=4x(m+m）= ∴.当x=2时，w有最大值，最大值为一80×4+ 2m2+ 256×2+528=720(元). 答：水果店2月份销售甲、乙两种水果获得的总利 12m=-2(m-4)2+24, 3 润最大，最大利润是720元. ∴.当m=4时，S最大，S的最大值为24. 12.解：(1)，OC=6米，可设ACB所在抛物线的函数 【通中考】 表达式为y=ax2十bx十6. 13.D14.A15.(1)3(2)4 OA=2米，OB=8米，.A(-2,0),B(8,0), 16.解：(1)：抛物线y=a.x2+bx(a≠0)经过点A(3, 3),对称轴为直线x=2, 1a·(-2)2-2b+6=0, ra=一 8 (9a+3b=3, 解得 aa=-1, (a·82+8b+6=0, 9 6= 4, :b=2 2a 得b=4 ∴.曲线ACB所在抛物线的函数表达式为y= (2)由(1)，得y=-x2+4x, 分4+是+6 ∴.当x=t时，y=-t2+4t, 当x=t+1时，y=-(t+1)2+4(t+1),即y= (2)D为BC的中点，∴.点D的坐标为(4,3)， -t2+2t+3, 点E的坐标为(4,0). .B(t,-t2+4t),C(t+1,-t2+2t+3) 当)=3时，-+号+6=3，懈得x=3十 3 设直线OA的表达式为y=x,将(3,3)代入，得 3=3k,.k=1,.直线OA的表达式为y=x, √17，x2=3-√17，则G点横坐标为3-√17. ∴.D(t,t),E(t+1,t+1). 四边形DEFG是矩形，∴.DE⊥x轴，GF⊥ (i)如图①所示，设BD与x轴交于点M,过点A作 16 ANLCE,M(t,0),N (t+1,3), 3t+t2-t-2)X1, 解得，=+1（舍去），。= 2 4+1(舍去). 2 综上所述：的值为子 第22章相似形 'E 22.1比例线段 第1课时相似多边形 -3-2-1升M1123 1.C2.D 3.解：相似的图形有：①与③，②与⑨，④与⑦，⑤与⑥. 4.B5.259 6.解：，四边形ABCD与四边形A'BCD相似， ① AD AB Saaw+Sas=号BD·OM+日AN·CE= ∠A=∠A'=65,AD=AB AD=BC,DC∥AB,.∠B=∠A=65°. -+-0+ 2(-2+2+3-1-1): .∠C=∠D=115°， .四边形ABCD各角的度数分别为65°，65°，115°， 1 1 115°.，A'B′=6cm,AB=8cm,AD=5cm, (3-t-1)=2(-t3+3t2)+2(3-302+4)= 2-+2-+2=-2 Bc'A'D'-em. 7.2:38.D9.2110.√2 (ii)①当2<t<3时，过点D作DH⊥CE于点H, 11.解：(1)，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1, 如图②所示， 矩形的四个角都是直角，即相等 5 8名8-号日号 142 4 矩形ABCD和矩形A1B1C1D1不相似， 3 D H (2)是相似图形.理由：，多边形ABCDEF和多边 2 形A1B1C1DE1F1都是各边相等，各角相等的六 1/ 边形， .它们各角相等，且各边成比例，是相似图形. -3-2-1 121314 12.解：(1)W2:1 (2)A4纸与A5纸是相似图形.理由： ,A4纸较长边与较短边的比为√2：1， 3 .设A4纸较短边的长为a,则较长边的长为√2a. ② 则H(t+1,t),BD=-t2+4t-t=-t2+3t, ,由图②可知，A5纸的长边与A4纸的短边重合， CE=t+1-(-t2+2t+3)=t2-t-2, 短边等于A4纸的长边的一半， DH=t+1-t=1, A5纸的长边为a,短边为？0 六Sa造形ca=2(BD+CE)·DH, .A4纸的长边与A5纸的长边的比等于A4纸的短 即-号（-+8+-4-2)×1，解得4-8： 边与A5纸的短边的比，即2a=a=2. a√2a ②当t>3时，如图③所示，过点D作DH⊥CE于H, 2 又，A4纸与A5纸的四个角均为直角，∴.A4纸与 A5纸是相似图形. 13.解：(1)①20②0 (2)设矩形的宽和长分别为m,n(m≤n),如矩形的 “接近度”的定义为品那么册越接近1，矩形越接 近正方形；”越大，矩形与正方形的形状差异越大； 2 当”=1时，矩形就变成了正方形。 m 第2课时比例线段 3) 1.A2.D3.1:55:4 则BD=t-(-t2+4t)=t2-3t,CE=t2-t-2, .S四边形DBCE= (BD+cE)·D1,即g-c-解：AB=06m=0m:Ag-20-2 4.15.D6.C7.24cm8.B AB=50=5 -17