专题01 比例性质与成比例线段（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题1 比例性质与成比例线段 目录 A题型建模・专项突破 题型一、成比例线段 1 题型二、比例性质 3 题型三、平行线分线段成比例 6 题型四、黄金分割 8 题型五、相似图形及性质 10 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、成比例线段 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列各组线段中，长度成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则 ． 3．（24-25九年级上·广东清远·期中）是成比例线段，其中，，，求线段 ． 4．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）已知线段a、b、c，其中c为a、b的比例中项，，，则 ． 5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知线段，，则它们的比例中项为 ． 6．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 7．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）在比例尺是 的地图上，通湖路的长度约为 ，则它的实际长度为 ． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）若x是a，b的比例中项，则下列式子中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二、比例性质 9．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）已知a，b，c满足且，试求a，b，c的值． 10．（24-25九年级上·广东清远·期中）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知，则 ． 12．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知，的值为 ． 13．（11-12九年级上·河北·期末）已知 ，则 ； 14．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）（1）已知，则_____． （2）已知，求的值． 15．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）（1）解方程：； （2）已知是的三边长，且，的周长为81，求三边的长． 16．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）已知，求： (1)； (2)若，求a，b，c的值． 题型三、平行线分线段成比例 17．（25-26九年级上·上海·阶段练习）中，点、分别在、上，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在三角形中，点D在边上，，G为中点，延长线交于点E，则 ． 20．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 21．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 22．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，直线，线段，分别交m于点B，E，若，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，，若，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C． D．1 24．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，，，，则的长为（    ） A．4 B．3 C． D．2 题型四、黄金分割 25．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 26．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 cm 27．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为 米．（结果保留根号） 28．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·广西桂林·阶段练习）已知是线段的黄金分割点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 32．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计为多高？（结果保留根号） 题型五、相似图形及性质 33．（12-13九年级上·河北·期末）下列语句描述的各组图形中，不一定是相似形的是（   ） A．两个半径不等的圆 B．两个边长不等的正方形 C．两个大小不等的正三角形 D．两个长、宽均不相等的矩形 34．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 35．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 36．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，四边形四边形，若，则 ． 37．（13-14九年级上·河北·期末）已知一个六边形的边长依次为2、3、5、3、4、6，另一个与它相似的六边形的周长为92，那么，这个六边形的最长边的边长为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 38．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度 39．（25-26九年级上·浙江金华·期中）华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 40．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立．这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当，即时，等号成立，从而有最小值为2． (1)填空：若，则的最小值为_______，此时_______； (2)现有一个面积为的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索： 设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 41．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，、、是三个全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，连接，分别交、、于点、、．则的长为（   ） A． B．3 C． D． 43．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 44．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如下图，已知与交于点O，则下列比例式中不成立的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．① B．② C．③ D．④ 45．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形四边形． (1)______． (2)求边，的长度． 46．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，且，和是关于的一元二次方程的两个实数根，点在线段上（不与点、重合），过点分别作、的垂线，垂足为、． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)若 求的值； 求点在何处时，矩形的面积为？ 47．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）角平分线定理指出：在三角形中，角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例． (1)【探索发现】如图1，在中，平分交于，求证： 解题思路：悦悦的想法是过C作交延长线于点E，将相关边转化解决了问题．请按此思路完成证明． (2)【类比迁移】桐桐根据上面的思路，在探究外角平分线时，也发现了相关线段长成比例． 如图2，在中，点和点分别是和延长线上的点，连接，若平分，求证：； (3)【综合运用】如图3，在中，平分交于点，过作交于点，过作于，求的长． 48．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）如图1，在梯形中，，且，，动点Q由点B沿向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿向点D移动 (1)若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度． (2)若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），与交于K，与交于N ①当动点Q到达中点时，过K作交于M，求的长；（如图2） ②在这运动过程中，是否会与平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 比例性质与成比例线段 目录 A题型建模・专项突破 题型一、成比例线段 1 题型二、比例性质 3 题型三、平行线分线段成比例 6 题型四、黄金分割 8 题型五、相似图形及性质 10 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、成比例线段 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列各组线段中，长度成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，解题关键是掌握比例线段并能运用求解． 根据成比例线段的意义，对四组数一一分析，将最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，再作出选择． 【详解】解：，故此组线段中，长度不成比例，故A不符合题意； ，故此组线段中，长度不成比例，故B不符合题意； ，故此组线段中，长度不成比例，故C不符合题意； ，故此组线段中，长度成比例，故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查比例中项及比例的基本性质，根据比例中项的定义及比例的基本性质得．解题的关键是掌握：如果比例线段的中项是两条相同的线段，即或，那么线段叫做线段、的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得：或， 又∵为线段的长度， ∴不符合题意，舍去， 即． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东清远·期中）是成比例线段，其中，，，求线段 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，对于四条线段，如果，那么这四条线段叫做成比例线段，据此解答即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）已知线段a、b、c，其中c为a、b的比例中项，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查比例中项的定义，掌握c为a、b的比例中项则有是解题的关键．根据比例中项的定义可求得c的值． 【详解】解：∵c是a、b的比例中项，，， ∴， ∴或（负数舍去）． 故答案为：3． 5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知线段，，则它们的比例中项为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的比，根据比例的性质列方程求解即可；设它们的比例中项为，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得的值，注意两条线段的比例中项为正数． 【详解】解：设它们的比例中项为， ∵是长度分别为的两条线段的比例中项， ∴， 即， ∴(负数舍去)， ∴它们的比例中项线段长为． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、四个数排序后为3、4、6、8，因为，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意； 故选：D． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）在比例尺是 的地图上，通湖路的长度约为 ，则它的实际长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例尺，熟练掌握图上距离与实际距离的比例关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ； 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）若x是a，b的比例中项，则下列式子中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵x是a，b的比例中项， ∴，，， ∵不知道x的符号，被开方数要为非负数， ∴不一定成立， 故选：D． 题型二、比例性质 9．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）已知a，b，c满足且，试求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，利用比例的性质设未知数是解题关键．设，得出，根据，求出，即可得到答案． 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 10．（24-25九年级上·广东清远·期中）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，先根据已知条件，把用表示，用表示，然后分别代入所求分式中进行化简即可． 【详解】解：， ，， ． 故选：A． 11．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例．根据比例的性质求解即可． 【详解】解：若，则， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可设， ∴； 故答案为． 13．（11-12九年级上·河北·期末）已知 ，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了比例的相关知识，灵活运用设比例系数法是解题的关键；设，那么，然后代入原式即可求得答案． 【详解】解：设， ， ， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）（1）已知，则_____． （2）已知，求的值． 【答案】（1）4；（2）2或 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． （1）先根据比例的性质可得，，，再得出，代入化简即可得； （2）先根据比例的性质可得，再分两种情况：①当时，则；②当时，则，代入即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴，且， ∴， ①当时，则； ②当时，则， ∴； 综上，的值为2或． 15．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）（1）解方程：； （2）已知是的三边长，且，的周长为81，求三边的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程和比例的性质，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法以及比例的性质． （1）利用配方法求解即可； （2）利用设参数法求解即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）∵设， ∴， ∵的周长为81， ∴， 解得， ∴． 16．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）已知，求： (1)； (2)若，求a，b，c的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查的是比例的性质； （1）设，得出，再代入计算即可； （2）根据（1）得到，代入求出k的值，再代入求出a，b，c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型三、平行线分线段成比例 17．（25-26九年级上·上海·阶段练习）中，点、分别在、上，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应线段是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理作答即可． 【详解】解：如图， 假设， ∴，，，选项C缺少角的条件 故选项C错误， 故选：C． 18．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误， 正确的个数2个， 故选：B． 19．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在三角形中，点D在边上，，G为中点，延长线交于点E，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 构造三角形中位线可以得出，然后按比例设参数，由平行线分线段成比例性质可得． 【详解】解：取中点，连接， ∵点、分别为、中点， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ， ， ∵， ∴． 故答案为：7． 20．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 21．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 22．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，直线，线段，分别交m于点B，E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 23．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，，若，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 24．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，，，，则的长为（    ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质可求出的长． 【详解】解：， ，即， ． 故选：B． 题型四、黄金分割 25．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 故答案为：． 26．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 cm 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割点， 根据黄金分割比的定义可得，再代入数值可得答案. 【详解】解：为的黄金分割点， . 故答案为: . 27．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，，为2米， ∴米， 故答案为：． 28．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的定义与性质，解题的关键是牢记“当点是线段的黄金分割点且时，”这一核心比例关系，并能据此推导相关等式． 先明确黄金分割点（）的核心关系：；由该比例交叉相乘可得，据此判断A、B选项正确；C选项比例式与核心关系矛盾，可初步判断其错误；通过，代入，可推导得，判断D选项正确． 【详解】解：已知是线段AB的黄金分割点且，根据黄金分割定义，核心关系为 A、由核心关系直接可知，此选项不符合题意；   B、由交叉相乘，得，此选项不符合题意；   C、由核心关系应为，变形为，而非，此选项符合题意；   D、∵，且，   ∴，此选项不符合题意．   故选：C． 29．（25-26九年级上·广西桂林·阶段练习）已知是线段的黄金分割点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键在于掌握黄金分割的性质：较长线段是较短线段与原线段的比例中项．根据黄金分割的定义可得，求出即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴，即， ∴， 故选：B． 30．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，即，然后计算即可解答． 【详解】解：由题意知，，即， 解得：，. 故选C． 31．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系．利用黄金分割点可得，进而得解． 【详解】解：由题意知：是的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 32．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计为多高？（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，掌握一元二次方程的应用是解题的关键．设雕像的下部高为，则上部长为，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】解∶设雕像的下部高为，则上部长为， 根据题意可得∶ 整理得∶， 解得∶， (舍去) 故答案为∶． 题33．（12-13九年级上·河北·期末）下列语句描述的各组图形中，不一定是相似形的是（   ） A．两个半径不等的圆 B．两个边长不等的正方形 C．两个大小不等的正三角形 D．两个长、宽均不相等的矩形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，对应角相等且对应边成比例的图形为相似图形，据此可得答案． 【详解】解：A、两个半径不等的圆一定相似，不符合题意； B、两个边长不等的正方形一定相似，不符合题意； C、两个大小不等的正三角形一定相似，不符合题意； D、两个长、宽均不相等的矩形不一定相似，符合题意； 故选：D． 34．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似形的定义：形状相同的图形称为相似形．根据相似图形的定义可知． 【详解】解：A、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个大小图形形状不同，不是相似图形，故此选项符合题意； 故选：D． 35．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 【答案】C 【分析】此题主要考查相似图形性质，关键要找出矩形相邻两边的比例．甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为，然后观察比较就可得出答案． 【详解】解：由于三个图形都为矩形，所以角都是，只看它们的边长比例即可， 甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为， ∴相似的是甲和丙， 故选：C． 36．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，四边形四边形，若，则 ． 【答案】130 【分析】本题考查四边形的内角和及相似的性质．根据四边形的内角和为求出的度数，再根据图形相似的性质即可求出． 【详解】解：在四边形中，， ∵四边形四边形， ∴， 故答案为：130． 37．（13-14九年级上·河北·期末）已知一个六边形的边长依次为2、3、5、3、4、6，另一个与它相似的六边形的周长为92，那么，这个六边形的最长边的边长为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，先算出小的六边形的周长为，再求出相似比，进行列式计算得出大的六边形的最长边的边长，即可作答． 【详解】解：一个六边形的边长依次为2、3、5、3、4、6， ∴ ∵另一个与它相似的六边形的周长为92， ∴相似比为 即， ∴这个六边形的最长边的边长为， 故选：D 38．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度 【答案】纵向木质边框的宽度为． 【分析】本题考查了相似图形的性质． 设纵向木质边框的宽度为，根据相似图形的性质列等式求解即可． 【详解】解：设纵向木质边框的宽度为， 边框的内外边缘所成的矩形相似， ， 解得， 答：纵向木质边框的宽度为． 39．（25-26九年级上·浙江金华·期中）华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 设，，然后表示出各边的长度，再利用矩形的相似列出比例式，解比例式即可． 【详解】解：设，，则 ∵折叠， ∴， 折叠前矩形为，其中， 折叠后矩形为，其中， ∵折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 40．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立．这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当，即时，等号成立，从而有最小值为2． (1)填空：若，则的最小值为_______，此时_______； (2)现有一个面积为的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索： 设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 【答案】(1)6，3 (2)①过程见解析；②当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为 【分析】本题考查定义新运算、平行线分线段成比例定理的应用、正方形的性质： （1）结合题干即可直接求解； （2）①设边上的高，则，根据三角形面积可得，根据可得，从而可得；②由得，根据，当且仅当时等号成立即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为6，此时， 故答案为：； （2）解：①设边上的高，则， ∵锐角三角形的面积为1.5， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴，当且仅当，即时，等号成立， 即当时，有最小值为， ∴当时，有最大值， ∴有最大值为， 即当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为． 题型五、相似图形及性质 41．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是黄金分割，二次根式的运算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．根据“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比”进行解答即可． 【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点且， ∴， ∴， 则， ∵点是线段的黄金分割点且， ∴ ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推，则线段的长度是． 故选：A． 42．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，、、是三个全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，连接，分别交、、于点、、．则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】过点 作 于点 ，如图，根据 是三个全等的等腰三角形，得出，，根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，，则，，证明，得出，根据，得出，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：过点 作 于点 ，如图， ∵ 是三个全等的等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得： ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】该题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识点，解题的关键是利用平行线分线段成比例解答． 43．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 44．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如下图，已知与交于点O，则下列比例式中不成立的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：， ，， ，， 故不成立的为：②， 故选：． 45．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形四边形． (1)______． (2)求边，的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）根据相似多边形的对应角相等可得，再根据四边形内角和即可求解； （）根据相似多边形的对应边成比例可得，解比例式即可求解； 此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ， ， 故答案为：； （2）解：∵四边形四边形， ∴， 解得，． 46．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，且，和是关于的一元二次方程的两个实数根，点在线段上（不与点、重合），过点分别作、的垂线，垂足为、． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)若 求的值； 求点在何处时，矩形的面积为？ 【答案】(1)； (2)； (3)；或． 【分析】解一元二次方程求出点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； 根据平行线分线段成比例定理求出点的横坐标，再把点的横坐标代入直线，求出点的纵坐标； 利用合比性质求出的值即可； 设点的坐标是，由可知，可得：，解方程求出的值，即为点的横坐标，再根据的值求出纵坐标即可． 【详解】（1）解：解方程， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，， ， ，， ，， 设直线l的函数表达式， 把，的坐标分别代入， 可得：， 解得：， 直线的函数表达式； （2）解：，轴轴； ， ， ， ， ， ， 把代入中，得：， 点的坐标是； （3）解：， ； 解：设点的坐标是， ，， 矩形的面积为，， 矩形的面积为， ； ， 即， 解得：，， 当时，， 点的坐标是， 当时，， 点的坐标是， ∴当点的坐标是或时矩形的面积为． 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质、一次函数的图象与性质、解一元二次方程，解决本题的关键是解一元二次方程求出点、的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式． 47．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）角平分线定理指出：在三角形中，角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例． (1)【探索发现】如图1，在中，平分交于，求证： 解题思路：悦悦的想法是过C作交延长线于点E，将相关边转化解决了问题．请按此思路完成证明． (2)【类比迁移】桐桐根据上面的思路，在探究外角平分线时，也发现了相关线段长成比例． 如图2，在中，点和点分别是和延长线上的点，连接，若平分，求证：； (3)【综合运用】如图3，在中，平分交于点，过作交于点，过作于，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3)的长为． 【分析】（1）过作，交延长线于点，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义，等量代换，可得，根据等角对等边，可得，即可证得结论； （2）过作交于点，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义，等量代换，可得，根据等角对等边，可得，即可证得结论； （3）设，则，，由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，从而可得，由三角形的内角和定理，结合三角形外角的性质，可得，从而可得，在延长线上取点，可得，由（2）所证结论可得，从而可得，设，则，，作于点，则为的中点，由勾股定理可得，由等面积法可得，结合已知，由勾股定理可得，从而可得，，，，根据勾股定理，可得，由（1）所证结论可得，从而可得的长． 【详解】（1）证明：过作，交延长线于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：过作交于点， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）证明：∵于， ∴， ∵平分交于点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在延长线上取点，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）所证结论可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 作于点，则为的中点， ∴， ∴， 又∵于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，平分交于点， 由（1）所证结论可得， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线分线段对应成比例，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余． 48．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）如图1，在梯形中，，且，，动点Q由点B沿向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿向点D移动 (1)若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度． (2)若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），与交于K，与交于N ①当动点Q到达中点时，过K作交于M，求的长；（如图2） ②在这运动过程中，是否会与平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3） 【答案】(1)动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒 (2) ；不会平行于，理由见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用和平行线的判定和性质，解题的关键是熟悉平行线对应线段成比例，利用动态的思想列出代数式． （1）设动点Q的速度为x厘米/秒，则动点P的速度为厘米/秒，根据题意列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，利用平行线的性质得到，即有和，即可求得； ②设点P点出发后t秒时，则，，利用平行线的性质得和，结合，即有，经过计算等式不成立，即不存在． 【详解】（1）解：设动点Q的速度为x厘米/秒， 根据题意得： ， 解得：，（不合题意舍去） 经检验是原方程根， ∴动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒． （2）解：①∵点Q到达中点， ∴， ∵动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒， ∴， ∵，， ∴， 则，， ∴； ②设点P点出发后t秒时，则，， ∵， ∴，， 若，则， ∴ 解得：此方程无解， ∴不会平行于． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $