精品解析：广东省汕头市潮阳某校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 4. 圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 若，其中m，n均为实数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 已知集合，若，则m的值为 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列判断正确的是（ ） A. 有一条切线方程为 B. 有一条切线方程为 C. D. 四边形的面积为2 11. 第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束，根据规划，国家体育馆成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆，国家体育馆内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列正确的是（ ） A. B. C. 如果两个椭圆，分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，则 D. 由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线垂直，则a=______. 13. 已知，则__________. 14. 定义域为的函数满足，当时，，若在上有9个零点，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角： （2）若的面积为，求的周长. 16. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 17. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 18. 如图，四边形与均为菱形，，，. （1）求证：平面； （2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； （3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 19. 已知椭圆的左右顶点分别为为上一点，离心率为为上异于的点. （1）求的方程； （2）为椭圆上异于的另一点（不与重合），直线不与坐标轴平行，点关于原点对称的点为.若直线与相交于点，直线与直线相交于点.证明：在上存在定点，使得的面积为定值，并求出该定值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则化简所求复数. 【详解】因为，则. 故选：C 2. 已知全集，集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的运算法则可得答案. 【详解】由及， 可得：， 又因为， 所以. 故选：B 3. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 4. 圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程求解参数即可. 【详解】设该圆的标准方程为， 将代入方程，可得，解得， 得到圆的标准方程为，故C正确. 故选：C 5. 已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等体积法，由求解. 【详解】， ， 则，设点C到平面的距离为h， 则， 又因为， 所以， 故选：A 6. 设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的性质，结合双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】如图所示： 由得，所以， 故选：A 7. 若，其中m，n均为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，可得函数为增函数，借助单调性即可得出结果. 【详解】由变形，可得：， 设函数， 因为指数函数在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数. 由可得，即. 故选：C 8. 已知，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同，通过，，三种情况讨论求解即可 【详解】，任意实数均有. 当时，任意实数均有，且， 时，符合题意； 任意实数均有，即， ， 只能任意实数均有，则， 当时，，则， ，符合题意； 当时，. 所以，， 又，符合题意. 综上所述，满足条件的有序实数对有，，共3个. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 已知集合，若，则m的值为 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据命题的否定即可求解A，根据基本不等式即可求解B，根据元素与集合的关系即可求解C，根据充分必要条件的定义即可求解D. 【详解】对于A, “，使得”的否定是“，都有”,A正确， 对于B,当时，，则，当且仅当，即时取到等号，故B正确， 对于C,若，解得，则集合，符合题意，若，此时无解，因此若，则m的值为，故C正确， 对于D, 由可得到，当时，或，故“”是“”的充分不必要条件，D错误， 故选：ABC 10. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列判断正确的是（ ） A. 有一条切线方程为 B. 有一条切线方程为 C. D. 四边形的面积为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由待定系数法求切线方程，判断A、B；分别求出直线的斜率，判断C；将四边形的面积表示为计算求值，判断D. 【详解】圆，圆心，半径为1， 对于A、B：若切线的斜率存在，设切线为即， 由，解得或，所以切线方程为或，故A正确，B错误； 对于C：由题意可知，切点在以为直径的圆上，的中点为，半径为， 圆方程为，即， 又切点在圆上，如图，设、分别为切线和和圆的公共点，可得直线，， 又 ，，故C正确； 对于D，如图，，则 ，，故D正确． 故选：ACD． 11. 第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束，根据规划，国家体育馆成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆，国家体育馆内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列正确的是（ ） A. B. C. 如果两个椭圆，分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，则 D. 由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由离心率相同及已知得到、即可判断A、B；由在椭圆上得到，进而判断C；根据对称性确定的坐标，结合斜率两点式得，进而判断D. 【详解】选项A：因为离心率相同，所以，即，且， 所以，所以，故A错误； 选项B： 因为，所以， 由选项A解析 ，可得，即， 所以，故B正确； 选项C：由题意可得满足椭圆方程， 又因为，所以，所以，所以，故C正确； 选项D：因为，所以，. 设，由椭圆对称性知关于x轴对称，所以, 所以直线斜率，直线斜率， 所以， 所以，故D正确． 故选：BCD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线垂直，则a=______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线互相垂直的充要条件得到方程，解出即可. 【详解】由题意得：，解得：. 故答案为：2. 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 14. 定义域为的函数满足，当时，，若在上有9个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件及分段函数解析式作出函数的大致图象，利用数形结合思想及直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】因为定义域为的函数满足， 且当时，， 所以的图象（部分）如下所示： 则当时，， 所以，又， 令，即， 依题意与有且仅有9个交点， 显然，由图可知与有两个交点，且在时， 令，则， 即表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及轴上方部分）， 所以，解得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角： （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式进行化简即可求解； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得. 因为， 所以，即. 又，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 由余弦定理得，即， 即，可得， 所以的周长为. 16. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出的值，再根据平均数计算公式计算即可； （2）先计算出内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，，解得，； 这50名学生的物理成绩的平均数为：； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，成绩在内的学生有人， 其中内有2人，设为，内有3人，设为， “从成绩在内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为： ，而事件 “2人成绩都在内”=， 由古典概型概率公式可得，. 即这2人成绩都在内的概率为. 17. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点、，根据中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. 【小问1详解】 设点、， 因为点是线段的中点，则，所以， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18. 如图，四边形与均为菱形，，，. （1）求证：平面； （2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； （3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 【答案】（1）证明：因为四边形为菱形，则， 设，连接，则为的中点， 因为，则， 因为，、平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的几何性质可得出，设，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）连接，推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得与平面所成角正弦值的最大值； （3）设点，根据可得出点的轨迹方程，明确点的轨迹形状，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 因为为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 同理可得， 所以，、、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为为上的动点，设，其中， 且，， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则 ， 当时，取最大值，且最大值为， 因此，与平面所成角正弦值的最大值为. 【小问3详解】 因为为的中点，则， 设点，则，， 因为，即，即， 化简可得， 故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分， 即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为. 19. 已知椭圆的左右顶点分别为为上一点，离心率为为上异于的点. （1）求的方程； （2）为椭圆上异于的另一点（不与重合），直线不与坐标轴平行，点关于原点对称的点为.若直线与相交于点，直线与直线相交于点.证明：在上存在定点，使得的面积为定值，并求出该定值； 【答案】（1） （2） 设，则， 设直线的方程：代入的方程得： ， ， 由共线得，； 由共线得； 两式相加得 ， ，故的方程为， 联立与的方程解得，， 则在定直线上， 则使得的面积为定值的点一定为：过点且与直线平行的直线与的交点， 此时. 【解析】 【分析】（1）根据已知离心率及点在椭圆上列式计算求解； （2）设直线联立方程组得出韦达定理，再应用三点共线列式及，再化简得出的方程，最后应用面积得出定值. 【小问1详解】 由题知，解得， 故的方程为：； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $