精品解析：福建省福州市长乐区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025－2026学年第一学期八年级数学期中阶段反馈练习 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（ ） A. 三条高线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 7. 若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 8. 下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，， C. ，， D. 1，， 9. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 全等三角形的对应边相等 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 等边三角形是等腰三角形 D. 直角三角形的两个锐角互余 10. 如图，已知，要使该图形成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分） 11. 在建筑设计时，房屋的顶梁、大桥的钢架、索道的支架都采用了三角形结构，其中所运用的几何原理是______． 12. 若等腰三角形的底角为，则它的顶角为______． 13. 如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的长为______. 14. 如图，已知，，点A，E，B，D在一条直线上，若添加一个条件使，则添加的条件是______． 15. 如图是一台起重机的工作简图，吊杆前后两次位置，与线绳的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角______． 16. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，作出关于轴对称的，并写出点的坐标. 18. 如图，，点E在上，．求的长． 19. 如图，在中，，分别是的高和角平分线．求的度数． 20. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 21. 求证：全等三角形对应边上的高相等． 已知： 求证： 证明： 22. 如图，公园游乐场中有一个两层型滑梯，两层的高度相同（），都为2.5米，小明想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为4米的卷尺 测量步骤 在地面上测量出两滑梯底部到主体房的距离 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想左右两个滑梯和所在直线是否互相垂直？并加以证明． 23. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点E，交于点D，于点F，连接，交于点H． （1）求的度数； （2）求证：垂直平分． 24. 如图，是等边三角形．，是边上的高，点E在边上，连接，以为边在其下方作等边，连接． （1）求证； （2）当是等腰三角形时，求的度数； （3）直接写出的最小值． 25. 如图，过等边三角形的顶点C作直线，点A关于直线的对称点为点D，交直线于点E，连接，． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期八年级数学期中阶段反馈练习 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了轴对称图形． 根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解． 【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，故本选项符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标规律，牢记性质是解决本题的关键． 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数的性质求解即可． 【详解】解：∵点与点B关于x轴对称， ∴点B的横坐标与A相同，为1；纵坐标与A的纵坐标互为相反数，为2． ∴点B的坐标为． 故选A． 3. 如图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据题意可得，由可根据定理可证明，即可解答． 【详解】解：∵， ， 在和中，， ， 则的依据是． 故选：D． 4. 如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积计算，正确的识别图形是解题的关键. 根据三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】解：由题意可得： 是的中点，   故选： A． 5. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴（米）， 即这棵树在折断前的高度是9米． 故选：B． 6. 把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（ ） A. 三条高线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念．三角形的重心是三角形的三条中线的交点． 【详解】解：∵质地均匀的三角形木板的重心是其几何中心，即三条中线的交点； ∴悬挂在重心时，木板才能保持水平； ∵选项C为三条中线的交点； ∴挂钩应设在C处． 故选：C． 7. 若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出最大的内角的度数，再判断选项即可． 【详解】解：∵三角形三个内角的度数之比为1：2：3， ∴此三角形的最大内角的度数是×180°=90°， ∴此三角形为直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大内角的度数是解此题的关键． 8. 下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，， C. ，， D. 1，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、由于，等于第三边，则不能组成三角形； 对于选项B、由于，则不能组成三角形； 对于选项C、由于，等于第三边，则不能组成三角形； 对于选项D、由于，，，则能组成三角形； 故选：D． 9. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 全等三角形的对应边相等 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 等边三角形是等腰三角形 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题的真假，等腰三角形和等边三角形的性质和判定，熟练掌握各类命题的定义是解题的关键． 通过写出每个命题的逆命题并判断其正确性，逆命题是将原命题的条件和结论互换，据此逐项判断逆命题是否成立即可． 【详解】解：选项A、原命题：全等三角形的对应边相等， 其逆命题为：对应边相等的三角形全等，通过判定方法证得三角形全等，逆命题成立； 选项B、原命题：等腰三角形的两个底角相等， 其逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，通过等角对等边的性质，逆命题成立； 选项C、原命题：等边三角形是等腰三角形， 其逆命题为：等腰三角形是等边三角形，逆命题不成立，反例：两腰相等但第三边不等的等腰三角形，不是等边三角形； 选项D、原命题直角三角形的两个锐角互余， 其逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形，通过三角形内角和的性质，逆命题成立； 故选：C． 10. 如图，已知，要使该图形成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称图形的定义，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，，， A、若，利用可判定，则能使该图形成为一个轴对称图形，不符合题意； B、若，则，利用可判定，则能使该图形成为一个轴对称图形，不符合题意； C、若，利用可判定，则能使该图形成为一个轴对称图形，不符合题意； D、若，不能判定或，则不能使该图形成为一个轴对称图形，符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分） 11. 在建筑设计时，房屋的顶梁、大桥的钢架、索道的支架都采用了三角形结构，其中所运用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形具有稳定性这一基本性质，理解题意是解决本题的关键． 三角形结构具有稳定性，使其在工程设计中能够保持形状不变，从而增强结构的坚固性，据此判断即可． 【详解】解：在几何中，三角形是最基本的稳定图形， ∵其三边长度确定后，形状唯一，不会发生形变， ∴房屋顶梁、大桥钢架等采用三角形结构，是利用了三角形的稳定性来确保结构安全． 故答案为：三角形的稳定性． 12. 若等腰三角形的底角为，则它的顶角为______． 【答案】120 【解析】 【分析】根据已知可得到另一底角度数，根据三角形内角和定理即可求得顶角的度数． 【详解】解：因为等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角是， 所以它的顶角是． 故答案为：120． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用．本题给出了底角是，问题就变得比较简单，属于基础题． 13. 如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的长为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 14. 如图，已知，，点A，E，B，D在一条直线上，若添加一个条件使，则添加的条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．要判定，已知，，具备了两组边对应相等，故可以添加，利用可证全等．（也可添加其它条件）． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加， ∴， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 15. 如图是一台起重机的工作简图，吊杆前后两次位置，与线绳的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质及三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及三角形的外角性质，根据平行线的性质可得，再依据三角形的外角的性质可得，即可解出答案． 【详解】解：如图： 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，     是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，作出关于轴对称的，并写出点的坐标. 【答案】 如图，为所作， 点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图轴对称变换．作三个顶点关于轴对称的点、、，再顺次连接得到所求作的三角形，再写出坐标即可． 【详解】略 18. 如图，，点E在上，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据，可得，由即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 19. 如图，在中，，分别是的高和角平分线．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的高，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．在△中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由是△的高，可得出，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合，即可求出的度数． 【详解】解：在△中，，， ， 平分， ． 是△的高， ， ， ， ． 20. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角； 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和线段的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再由等边对等角可得，据此可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 求证：全等三角形对应边上的高相等． 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：如图，，是边上的高，是边上的高． 求证：． 证明：∵， ∴，， ∵是边上的高，是边上的高， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴全等三角形对应边上的高相等． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等的性质和（）综合（），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先写出已知、求证，画出图形，再作高线和，然后根据可证明全等，即可得出结论． 【详解】略 22. 如图，公园游乐场中有一个两层型滑梯，两层的高度相同（），都为2.5米，小明想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为4米的卷尺 测量步骤 在地面上测量出两滑梯底部到主体房的距离 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想左右两个滑梯和所在直线是否互相垂直？并加以证明． 【答案】（1） 解：． 理由：∵米，米， ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即和的长相等； （2） 解：． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定以及性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点E，交于点D，于点F，连接，交于点H． （1）求的度数； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定与性质，三角形全等判定与性质，综合运用以上知识点是解题的关键． （1）根据，求得，再根据是的垂直平分线，可得，推出，由即可求解； （2）由（1）知，得到平分，再根据，易证，易证，推出，结合，证明，推出，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 24. 如图，是等边三角形．，是边上的高，点E在边上，连接，以为边在其下方作等边，连接． （1）求证； （2）当是等腰三角形时，求的度数； （3）直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． （2）的度数为或或． （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质得，，，得． （2）根据是等腰三角形，其中，若， 则，得； 若，则，得；若，则，得； （3）根据等边三角形性质得到，，根据，得，，根据全等三角形性质得，得当时，最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 当是等腰三角形时， 若， ∵， ∴． ∴． 若， 则． ∴． 若， 则． ∴． 故的度数为或或． 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴当时，最小． 最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论，是解决问题的关键． 25. 如图，过等边三角形的顶点C作直线，点A关于直线的对称点为点D，交直线于点E，连接，． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 依题意补全图形如下： （2） （3） 解：．理由如下： 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，列代数式，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． （1）根据题意画出图形即可； （2）在上取点F，使，连接，设与交于点H，根据已知条件证明（），可得，得是等边三角形，进而可得的度数； （3）根据，可得，根据是等边三角形，进而可得线段，，之间的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，在上取点F，使，连接，设与交于点H， ∵是等边三角形， ∴，． ∴， ∴， ∵点A和点D关于射线的对称， ∴是的垂直平分线， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $