4.2.2 一次函数与正比例函数 教学设计2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数与正比例函数的定义，以自驾游为生活情境，通过加油费用、油耗计算等子任务，结合表格分析与问题链引导，衔接函数概念前备知识，帮助学生从实际问题中抽象函数关系式。 特色在于情境贴近生活且任务层层递进，通过小组讨论从特殊实例抽象定义，培养数学眼光（发现数量关系）、数学思维（抽象过程）和数学语言（表达模型），助力学生理解k、b意义，提升抽象思维与应用能力，教师使用时结构清晰，易落实重难点。

课程基本信息 课题 一次函数与正比例函数的定义 课型 新授课 学科 数学 年级 初二 学段 初中阶段 版本章节 北师大版第四章 教学目标 1. 结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式。 2. 能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系。 3. 能利用一次函数解决简单的实际问题，经历从实际问题中抽象出函数模型的过程，体会数学建模和分类讨论的思想。 教学重难点 1.重点:理解一次函数和正比例函数的概念。 2.难点:能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力。 学情分析 已有知识及掌握情况： 学生在第一课时已经学习了函数的概念、函数的三种表示方法，并在具体实例中初步接触了变量间的依存关系。他们具备了一定的列代数式的能力，但对“函数”这一抽象概念的理解仍处于初级阶段，从实际问题中抽象出函数模型对学生来说有一定难度，部分学生在分析数量关系、找出变量间的对应关系时可能会遇到困难；在理解一次函数和正比例函数概念中对k、b的条件限制容易混淆。 1. 多引入生活中的实际例子，让学生通过小组讨论、合作交流的方式分析问题，教师给予适当引导和提示。 2. 通过对比、举例等方式帮助学生区分一次函数和正比例函数概念中的关键要素。 教学准备 导学案和ppt 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计(含AI应用) 复习回顾 1. 函数的概念：一般地如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 2.函数的表示方法：图象法、列表法、关系式法（三种方法可以相互转化） 本节课要在函数的大概念下去探究一次函数，因此有必要复习函数的相关概念 【任务一】：一次函数的定义 情境：小萍一家准备自驾川藏线，从成都出发前往西藏，出发前，爸爸给小萍布置了一个特别的 “任务”，帮全家规划这次旅行。 疫情后，我国迎来旅游爆发季，因此设计自驾游的大背景去研究一次函数，让学生体会数学来源于生活。 【子任务一】：出发前的准备 出发前，爸爸带着小萍去加油站加油.当天汽油单价是 8 元 / 升.这是加油的总费用y(单位：元)和加油量x(单位：L)之间的关系 加油量x/L 0 1 2 3 4 5 加油总费用y/元 0 8 16 24 32 40 问题 1：加油量x每增加1L，加油总费用y就增加多少元？ 问题 2：随着加油量x的增加，加油总费用y的变化是“均匀”的吗？ 问题 3： 写出y与x之间的关系式。 问题 4： y是x的函数吗？自变量和因变量是什么？请你说明 8 的实际意义。 第一个问题：自变量每增加1，函数值就对应增加多少。设计意图是：1.让学生体会一次函数的均匀变化；2.引导学生得出关系式；3.为得到：对于一次函数 y= kx+b(k、b为常数，k≠0)而言，自变量x每增加1，函数值就增加k,函数值的变化是均匀的这个知识点做铺垫，让学生体会从特殊到一般的过程。 第二个问题：写出y与x的关系式。设计意图：为引导出一次函数的定义做铺垫，让学生从实际问题中总结出一次函数的定义。 第三个问题：因变量是自变量的函数吗？设计意图：只有确定存在函数关系，才能探究具体是什么函数。 第四个问题：列出关系式后，关系式中的各个量分别代表什么实际意义。设计意图：为后面总结k、b在一次函数中的意义和影响做铺垫，给学生渗透从特殊到一般的数学思想。 【子任务二】：油耗的计算 汽车油箱中原有汽油40L，汽车每行驶50km耗油4L，出发后，汽车在高速公路上保持着稳定的速度行驶。 行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量y/L 问题 1：完成表格 问题 2：行驶路程x每增加1 km，耗油量就增加多少升？ 问题 3：写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。 问题 4：y是x的函数吗？自变量和因变量是什么？请你说明 0.08的实际意义。 问题 5：写出油箱剩余油量z(单位：L)与汽车行驶路程x之间的关系式。（问题同上） 【子任务三】：费用的计算 在旅途中，除了加油费用，每天还会产生餐饮、住宿等费用，大约每天 1000 元。假设加油 总费用为2000元，行驶天数为x天，写出这次旅行的总费用 W(元)与行驶天数x之间的函数关系式。 问题 1：行驶天数x每增加1天，总费用W就增加多少元？ 问题 2：写出总费用W与行驶天数x之间的关系式。 问题3: W是x的函数吗？自变量和因变量是什么？请你说明 1000和2000的实际意义。 探究新知 在以上的规划中，我们得到 ①y=8x； ②y=0.08x ③z=40-0.08x ④W =1000x + 2000. 问题1：请你举出一个类似的关系式 问题2：他们有什么共同特征? 探究新知： 1.一次函数的概念：如果两个变量 x、y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k、b为常数，k≠0）的形式，那么称 y是x的一次函数。 一次函数：y=kx+b(k、b为常数，k≠0) 特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数。 正比例函数：y=kx(k为常数，k≠0) （强调：正比例函数是特殊的一次函数。） 2.对于一次函数 y= kx+b(k、b为常数，k≠0)而言，自变量x每增加1，函数值就增加k,函数值的变化是均匀的。 【练一练】 例1、 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx； (6) y＝8x2＋x(1－8x). 方法点拨：1.判断一个函数是一次函数的条件：自变量次数为1，k、b为常数且k≠0； 2.判断一个函数是正比例函数的条件：自变量次数为1，k为常数且k≠0，b=0． 1.请你举出一个类似的式子，这里学生大多举出的都是对的，教师再举出几个反例让学生判断，目的是为了加强学生对这几个关系式的观察和认识。2.这4个关系式有什么共同特征（小组讨论），若直接问学生有什么共同特征，这个问题太宽泛，学生没有头绪，不知道从哪些方面观察。通过正例和反例，学生就容易知道从哪些方面去找共同特征。从而引出一次函数的定义。 【任务二】：k、b的实际意义 问题1：在前面情境中，一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少？它们的实际意义是什么？ 问题2：一般地，k，b对一次函数y=kx+b有怎样的影响？ 解： 在实际问题中，k和b有具体的现实意义，需具体问题，具体分析. k 实际中对应 “单位变化量”（如速度），影响的是函数均匀变化的速度。 b 实际中对应 “初始值”（如原有水量、起始路程 ），决定函数的起始状态。 例2 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?并说明k、b的实际意义。 (1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)之间的关系 (2)圆的面积y(单位：cm²)与它的半径x(单位：cm)之间的关系； (3)某水池有水15m³，现打开进水管进水，进水速度为5m³/h，经过x h这个水池内有水y m³ 方法点拨：·确定变量，明确自变量与因变量。 ·寻找等量关系，可以直接将公式当做等量关系 ·将等式变形，写成一次函数的一般形式 例3 物理实验课上，小李用弹簧悬挂不同质量的砝码，测量出了一组数据(弹簧长度y/cm与砝码质量x/kg)，记录在表格中，并得出以下结论，其中不正确的是( ) x/kg 0 1 2 3 y/cm 10 10.5 11 11.5 A. x是自变量，y是因变量 B. 弹簧不挂砝码时的长度为0 cm C. 砝码每增加1 kg，弹簧伸长0.5 cm D.在弹簧的弹性范围内，y与x之间的关系式是y＝10＋0.5x 问题：k、b的实际意义是什么？ 在具体的情境中k、b的实际意义学生会说，但总结到一般意义对学生来说有些抽象，不太好理解，因此这里的一般意义通过小组讨论，只要学生能意识到k是自变量每增加1，因变量的变化量;b是函数的初始值即可。我们后续还会学习一次函数的性质和应用，会再次加深对k、b的理解。最后用课本的例题进行讲解练习，对本节课的知识点进行落实巩固。 这两个任务都是遵循从特殊到一般的数学思想和讲练结合的教学方式。引导学生从实际问题中抽象出函数模型，让学生切身体会数学在身边。 课堂检测 1.(2025上海)下列函数中，是正比例函数的是(　　) A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C． D． 2.下列问题中，两个变量成正比例的是( ) A．圆的面积 S 与它的半径 r B．三角形面积一定时，某一边 a 和该边上的高 h C．正方形的周长C 与它的边长 a D．周长不变的长方形的长 a 与宽 b 3.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m 时，y是x的一次函数；当m 满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 4. 已知函数y = (m - 2)x3-|m| + m + 7,当 m 为何值时，y是x的一次函数？ 作业设计 1.必做题：习题4.2 第1题，第2题. 2.探究性作业：习题4.2 第5题. 板书设计/课堂小结 问题1：通过本节课的学习,你有什么收获? 问题2：细心回想，本节课是怎样探究出一次函数和正比例函数的定义的？ 从特殊到一般，数学来源于生活又服务于生活。 教学反思 本次教学围绕北师大版教材中“一次函数的定义”展开，核心目标是让学生理解一次函数的形式（y = kx + b，k、b为常数且k eq 0）及本质特征，初步建立函数与实际问题的联系。课后结合课堂效果，从亮点及改进方向两面反思如下： 1、 亮点： 1.情境背景结合当下国情，贴近生活，以自驾游为大背景设置三个子任务得出一次函数和正比例函数，降低了抽象概念的理解门槛，也让学生感受到函数的实用性。 2.任务和问题的设置层层递进，贯穿整节课，使单一的知识点之间有连接性，没有割裂感，整节课内容非常丰富饱满有梯度，任务明确。 二、改进方向： 增加“概念应用”的实践环节：课后布置“生活中的一次函数”小任务，让学生记录家中电费、购物单价等数据，列出一次函数关系式并说明变量含义，下次课展示交流，推动学生从“理解定义”向“运用定义”转化，落实数学核心素养。 综上，本次教学基本达成了“理解一次函数定义”的目标，但在概念的深度辨析和应用拓展上仍需优化。后续需更关注学生的思维过程，通过细化环节、利用错误资源，让抽象的数学概念更贴近学生认知，真正实现“知其然，更知其所以然”。 —7— 学科网（北京）股份有限公司 —8— 学科网（北京）股份有限公司 $