精品解析：广西壮族自治区玉林市第一中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学试题

2025年11月高二月考试题（数学） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的一般方程圆心坐标公式进行求解即可. 【详解】因为圆的圆心坐标为， 所以圆的圆心坐标为． 故选：C 2. 若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D． 【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D． 【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养． 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 4. 已知一条光线从点发出后被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点关于直线的对称点与点的直线方程即为所求. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则， 解得， 因此反射光线所在直线过点， 方程为， 即. 故选：B. 5. 双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题． 【详解】由． ， 又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上， ，故选A． 【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积． 6. 已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率. 【详解】设，，因为A，B两点在曲线上， 所以有，用（1）式减去（2）式可得， 即， 因为点是线段AB的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线l的斜率k，所以直线l的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件， 故选：D． 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 8. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又点在圆上， ，即． ，故选A． 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，从而求得的坐标，计算，即可判断A,B,C,D的正误. 【详解】所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点,故可设棱长为2，在正三棱柱中建立如图所示的空间直角坐标系： 对于A， , 故 , 则，故，即，故A正确； 对于B， 故 , 则，故不垂直，故B不正确； 对于C， , 故 , 则，故，即，故C正确； 对于D， , 故 , 则，故不垂直，故D不正确； 故选：AC 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使圆关于直线对称 B. 直线过定点 C. 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D. 当时，直线被圆所截弦长为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线是否过圆心判断A的真假；把点代入方程判断B的真假；根据B的结论可判断C的真假；利用几何法求弦长可判断D的真假. 【详解】对A：因为圆的圆心为，因为，所以不存在，使得直线经过圆心，即不存在实数，使圆关于直线对称.故A错误； 对B：因为恒成立，所以直线过定点，故B正确； 对C：因为，所以点在圆：内部，又直线过定点，所以直线与圆必有两个不同的公共点，故C正确； 对D：当时，直线：即. 圆心到直线距离为：，所以弦长为：，故D正确. 故选：BCD 11. 已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2 C. 若，则恒过点 D. 若直线过点F，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，可求判断A；利用点差法可求得的斜率判断B；设：，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系结合已知可得，求解判断C；设：，联立直线和抛物线方程，利用根与系数的关系可得，可判断D. 【详解】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确； 对于B，设，则，两式作差得， 所以直线的斜率为，故B错误； 对于对于C，设：，联立直线和抛物线， 则，，，所以． 因为，所以，所以，解得， 所以直线恒过点，故C正确； 对于D，由A得，可设：， 联立直线和抛物线， 则，，， 所以 ，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题.，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为_____. 【答案】2##22 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】已知双曲线，则， 设点P到右焦点距离为， 根据双曲线上一点到两焦点距离差的绝对值等于可得，， 解得或，经验证均符合题意， 故答案为：2或22. 13. 如图，在一个的二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为___________ 【答案】3 【解析】 【分析】用向量表示，求. 【详解】因为， 所以， 由题意，， 则， 所以， 因为线段分别在这个二面角的两个半平面内， 并且都垂直于棱，且二面角大小为， 所以， 而， 于是， 所以. 故答案为：. 14. 已知直线与直线的交点为，则点到直线距离的最大值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意，交点的轨迹为圆（不含点），利用圆上点到直线距离的最值求解. 【详解】由题意，直线分别过定点， 由可得互相垂直，且直线的斜率一定存在， 所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 这个圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因此点到直线距离最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点 （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，据此可得，可完成证明； （2）如图做，由题可得平面，连接，则为与平面所成的角，据此可得答案； （3）如图建立空间直角坐标系，可得平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 连接BD交AC于O，连接OE.易得O为BD中点，又为的中点， 则，又平面，平面，则平面； 【小问2详解】 如图作，因平面，平面， 则，又平面，，则平面. 连接，则为与平面所成的角. 由题可得，，，则. 【小问3详解】 如图，取CD中点为，连接AH，易得. 则以A为原点，AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，AH所在直线为y轴建立空间直角坐标系.则. ,. 设平面法向量为，则. 令，则，故取. 则点到平面的距离为. 17. 已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的标准方程和几何性质结合已知条件求出相应的，进而求出双曲线方程； （2）根据直线和双曲线的位置关系，利用韦达定理结合已知条件构造方程求出直线斜率，进而得出直线方程． 【小问1详解】 点在双曲线上， ， 又为双曲线的右焦点，轴，则， ， ， 双曲线的方程为：． 【小问2详解】 根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 直线的方程为， 原点到直线的距离， 联立， 得，直线与双曲线有两个交点， 且， ，且， 设，由韦达定理得，， ， 的面积为， ，即，，解得或（舍去）， ， 直线的方程为或． 18. 在四棱锥中，已知侧面是边长为2的正三角形，是的中点，底面为矩形，且侧面底面，与平面所成角的正切值为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，然后由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）取中点O，连接，证明平面，以O为原点，过O平行于的直线为x轴，，为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由二面角的空间向量法求得余弦值． 【小问1详解】 因为底面为矩形，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 而平面，所以， 又侧面为正三角形，M是的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点O，连接，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 以O为原点，过O平行于的直线为x轴，，为y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 由平面的一个法向量是， 因为与平面所成角的正切值为，所以其正弦值为， 所以，解得， 则， 设平面的一个法向量是， 则，取，则，， 所以为平面的一个法向量， 由，，，， 设平面的一个法向量是， 则，取，则，， 所以为平面的一个法向量， ， 设平面与平面所成夹角为，则， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆标准方程； （2）已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值； （3）分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）求出与直线平行且与椭圆相切直线方程，则切线与的距离即为最值； （3）设直线的方程为，则直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，利用两平行直线间的距离公式求出间的距离，从而可得出四边形的面积的表达式，进而可得出答案. 【小问1详解】 由题意得， 因为点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形， 所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设与直线平行且与椭圆相切直线方程为， 联立，消得， 则，解得， 平行直线与的距离， 所以， 所以点到直线距离的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 由题意可得直线的斜率不为零， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得， 设， 则， 则， 直线之间的距离， 则四边形的面积， 令，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，所以， 由椭圆的对称性可得四边形的面积， 所以四边形的面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年11月高二月考试题（数学） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C D. 4. 已知一条光线从点发出后被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A. B. C. D. 6. 已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB中点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 8. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使圆关于直线对称 B. 直线过定点 C. 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D. 当时，直线被圆所截弦长为2 11. 已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2 C. 若，则恒过点 D. 若直线过点F，则 三、填空题（本题共3小题.，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为_____. 13. 如图，在一个二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为___________ 14. 已知直线与直线的交点为，则点到直线距离的最大值为___________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点 （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角； （3）求点到平面的距离. 17. 已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）若过点直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程． 18. 在四棱锥中，已知侧面是边长为2的正三角形，是的中点，底面为矩形，且侧面底面，与平面所成角的正切值为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值； （3）分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $