专题17.2 公式法分解因式（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

本讲义聚焦公式法分解因式核心知识点，系统梳理平方差公式和完全平方公式的分解方法，前承整式乘法公式逆用，后接代数求值与综合应用，通过公式解析、特点分析、即学即练、题型分类及拓展练习搭建递进式学习支架。 资料特色在于分层设计与素养融合，即学即练（如判断多项式能否用平方差公式）培养抽象能力，题型变式（如完全平方公式参数求值）发展推理能力，拓展应用（因式分解解不等式）提升应用意识，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺与知识迁移。

专题17.2 公式法分解因式 教学目标 1. 掌握能用平方差公式分解的多项式的特点以及平方差公式分解因式的方法并能在题目中熟练应用。 2. 掌握能用完全平方公式分解的多项式的式子特点以及用完全平方公式分解因式的方法并能够熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 平方差公式分解因式； （2） 完全平方公式分解因式。 2. 难点 （1）利用公式法分解因式； （2）根据公式法分解因式的式子特点求值。 知识点01 用平方差公式分解因式 1. 平方差公式分解因式的内容： 两个数的平方的差等于这两个数的 和 乘以这两个数的 差 。即： 2. 式子特点分析与因式分解结果： ①式子特点分析：式子是一个 二项式 ，符号 相反 且都可以写成 平方 的形式。 ②因式分解结果：等于写成平方形式时的 底数 的和乘以 底数 的差。差时用正项底数减去负项的底数。 【即学即练1】 1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．﹣x2﹣y2 C．m2﹣1 D．x2﹣2x+1 【答案】C 【解答】解：a2+（﹣b）2＝a2+b2，它不能进行因式分解，则A不符合题意， ﹣x2﹣y2，它不能进行因式分解，则B不符合题意， m2﹣1＝（m+1）（m﹣1），它能用平方差公式因式分解，则C符合题意， x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，它能用完全平方公式因式分解，则D不符合题意， 故选：C． 【即学即练2】 2．把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： （1）x2﹣5； （2）4a2﹣7； （3）16y2﹣15； （4）3x2﹣2y2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x2﹣5＝（x）（x）； （2）4a2﹣7， ＝（2a）2﹣（）2， ＝（2a）（2a）； （3）16y2﹣15， ＝（4y）2﹣（）2， ＝（4y）（4y）； （4）3x2﹣2y2， ＝（x）2﹣（x）2， ＝（）（）． 【即学即练3】 3．若x+y＝3，x﹣y＝1，则x2﹣y2的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．﹣3 【答案】C 【解答】解：当x+y＝3，x﹣y＝1时， x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3， 故选：C． 【即学即练4】 4．已知a﹣b＝5，则a2﹣b2﹣10b的值为（　　） A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】D 【解答】解：∵a2﹣b2﹣10b＝（a+b）（a﹣b）﹣10b， 将a﹣b＝5代入， 得原式＝5（a+b）﹣10b＝5a+5b﹣10b＝5a﹣5b＝5（a﹣b）＝25． 故选：D． 【即学即练5】 5．已知□x2+1＝（1﹣3x）（1+3x），则“□”处的数为（　　） A．1 B．9 C．﹣9 D．﹣1 【答案】C 【解答】解：（1﹣3x）（1+3x）＝1﹣9x2， 所以“□”处的数为﹣9， 故选：C． 知识点02 用完全平方公式分解因式 1. 完全平方公式分解因式的内容： 两个数的平方的和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 即 。 2. 式子特点分析与因式分解结果： ①式子特点分析：式子是一个 三项式 ，其中两项符号 相同 且都能写成 平方 的形式，第三项是平方两项 底数 乘积的 两倍 。 ②因式分解结果：等于 底数和 的平方或 底数差 的平方。若第三项与平方两项符号 相同 ，则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号 相反 ，则等于底数差的平方。若平方两项是负号，则在括号前添加负号。 【即学即练1】 6．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．4a2+9b2﹣12ab B．a2﹣2ab+b2 C． D．x2+2x+4 【答案】D 【解答】解：A：∵原式＝（2a）2+（3b）2﹣2•（2a）•（3b）， ∴符合完全平方公式，可分解为（2a﹣3b）2，不符合题意； B：∵原式＝（a）2﹣2•a•b+（b）2， ∴符合完全平方公式，可分解为 （a﹣b）2，不符合题意； C：∵， ∴符合完全平方公式，可分解为 ，不符合题意； D：∵在多项式中，首项为x2，末项为4＝22，而其两倍积为2•x•2＝4x，不等于中间项2x， ∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解，符合题意； 故选：D． 【即学即练2】 7．把下列各式分解因式： （1）4a2+4a+1； （2）1﹣6y+9y2； （3）1+m； （4）4x2﹣12xy+9y2； （5）n2； （6）（x+y）2﹣10（x+y）+25； （7）（x﹣y）2+4xy． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）4a2+4a+1＝（2a+1）2； （2）1﹣6y+9y2＝（1﹣3y）2； （3）1+m（1）2； （4）4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2； （5）n2＝（n）2； （6）（x+y）2﹣10（x+y）+25＝（x+y﹣5）2； （7）（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2． 【即学即练3】 8．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±4 D．±8 【答案】C 【解答】解：当m＝4时，x2+4x+4＝（x+2）2， 当m＝﹣4时，x2﹣4x+4＝（x﹣2）2， ∴m＝±4， 故选：C． 【即学即练4】 9．若x2﹣（m+1）x+9可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．5 B．﹣5或7 C．﹣7 D．﹣7或5 【答案】D 【解答】解：根据二次项系数是1和常数项是9得到一次项系数应该是±6， ∴﹣（m+1）＝±6，即m＝﹣7或m＝5． 故选：D． 【即学即练5】 10．如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 【答案】D 【解答】解：A、x2+2x+1＝（x+1）2，不符合题意； B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不符合题意； C、，不符合题意； D、x2+1加上，无法构成完全平方式，符合题意； 故选：D． 题型01 判断式子能否用公式法分解因式 【典例1】下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2 【答案】B 【解答】解：A、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； B、﹣a2+b2＝b2﹣a2，符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解； C、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； D、a2﹣2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解． 故选：B． 【变式1】下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2﹣2x﹣1 B．x2+2x+4 C．x2﹣6x+9 D． 【答案】C 【解答】解：A：常数项﹣1不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：若b＝2，则b2＝4，但2ab＝4x≠2x，故不符合题意； C：9＝32，且﹣6x＝﹣2•x•3，故符合完全平方公式，即（x﹣3）2； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 【变式2】下列整式中，能用公式法进行因式分解的是（　　） A．﹣a2+b2 B．a2+b2 C．4x2+2xy+y2 D．x2﹣4xy﹣4y2 【答案】A 【解答】解：A、﹣a2+b2＝﹣（a2﹣b2），符合平方差公式特点，故此选项正确； B、a2+b2，不符合平方差公式的结构特征，不能用公式法分解因式，故此选项不符合题意，错误； C、4x2+2xy+y2，不符合完全平方公式的结构特征，不能用公式法分解因式，故此选项不符合题意，错误； D、x2﹣4xy﹣4y2，不符合完全平方公式的结构特征，不能用公式法分解因式，故此选项不符合题意，错误． 故选：A． 【变式3】下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　） ①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy﹣y2；④﹣x2+4xy﹣4y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①x2+y2，不能用公式法分解因式； ②﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），能用平方差公式分解因式； ③x2+2xy﹣y2，不能用公式法分解因式； ④﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2，能用完全平方公式分解因式； 所以能用公式法分解因式的有2个， 故选：B． 题型02 用公式法分解因式 【典例1】把下列各式因式分解： （1）9m2﹣4n2； （2）﹣16+a2b2； （3）n2m2； （4）（x﹣2y）2﹣4y2． 【答案】（1）（3m+2n）（3m﹣2n）； （2）（ab+4）（ab﹣4）； （3）（nm）（nm）； （4）x（x﹣4y）． 【解答】解：（1）9m2﹣4n2 ＝（3m+2n）（3m﹣2n）； （2）﹣16+a2b2 ＝（ab+4）（ab﹣4）； （3）n2m2 ＝（nm）（nm）； （4）（x﹣2y）2﹣4y2 ＝（x﹣2y+2y）（x﹣2y﹣2y） ＝x（x﹣4y）． 【变式1】把下列各式分解因式： （1）4a2+25b2+20ab； （2）1﹣2xy+x2y2； （3）a2+2a﹣2； （4）（a+b）2﹣4（a+b﹣1）； （5）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2． 【答案】（1）（2a+5b）2； （2）（1﹣xy）2； （3）（a﹣2）2； （4）（a+b﹣2）2； （5）（2+3x﹣3y）2． 【解答】解：（1）原式＝4a2+20ab+25b2 ＝（2a+5b）2； （2）原式＝（1﹣xy）2； （3）原式（a2﹣4a+4） （a﹣2）2； （4）原式＝（a+b）2﹣4（a+b）+4 ＝（a+b﹣2）2； （5）原式＝4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 ＝[2+3（x﹣y）]2 ＝（2+3x﹣3y）2． 【变式2】因式分解： （1）4a2﹣1； （2）16m4﹣8m2n2+n4． 【答案】（1）（2a+1）（2a﹣1）；（2）（2m+n）2（2m﹣n）2． 【解答】解：（1）原式＝（2a+1）（2a﹣1）； （2）原式＝（4m2）2﹣2×4m2×n2+（n2）2 ＝（4m2﹣n2）2 ＝（2m+n）2（2m﹣n）2． 【变式3】分解因式： （1）﹣m2+6mn﹣9n2； （2）（3a﹣b）2﹣4（a﹣b）2． 【答案】（1）﹣（m﹣3n）2； （2）（5a﹣3b）（a+b）． 【解答】解：（1）﹣m2+6mn﹣9n2 ＝﹣（m2﹣6mn+9n2） ＝﹣（m﹣3n）2； （2）（3a﹣b）2﹣4（a﹣b）2 ＝[（3a﹣b）+2（a﹣b）][（3a﹣b）﹣2（a﹣b）] ＝（5a﹣3b）（a+b）． 题型03 根据能用公式法分解的式子特点求值 【典例1】已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．1 B．8 C．﹣8 D．±8 【答案】D 【解答】解：x2+x+16不能用完全平方公式进行因式分解， x2+8x+16＝（x+4）2，它能用完全平方公式进行因式分解， x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，它能用完全平方公式进行因式分解， 综上，a的值为±8， 故选：D． 【变式1】若9x2+（k﹣2）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．±24 B．±26 C．26或﹣22 D．﹣26或22 【答案】C 【解答】解：若9x2+（k﹣2）x+16能用完全平方公式因式分解， 则k﹣2＝±2×3×4， 解得k＝26或k＝﹣22， 故选：C． 【变式2】分解因式：ax2+by2＝（3x+4y）（3x﹣4y），则a+b的值为（　　） A．7 B．﹣1 C．25 D．﹣7 【答案】D 【解答】解：∵ax2+by2＝9x2﹣16y2， ∴a＝9，b＝﹣16， ∴a+b＝9﹣16＝﹣7； 故选：D． 【变式3】若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（　　） A．25或﹣25 B．﹣15 C．15 D．20 【答案】A 【解答】解：4x2+kx+25＝（2x+a）2， 当a＝5时，k＝20， 当a＝﹣5时，k＝﹣20， 故k+a的值可以是：25或﹣25． 故选：A． 【变式4】已知x+2y＝13，x﹣2y＝3，则多项式x2﹣4y2的值是（　　） A．10 B．16 C．39 D．78 【答案】C 【解答】解：x2﹣4y2 ＝（x+2y）（x﹣2y）， 由条件可知：原式＝13×3＝39． 故选：C． 【变式5】若20232026﹣20232024＝2024×2023n×2022，则n的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【解答】解：原式＝20232024（20232﹣1） ＝20232024（2023﹣1）（2023+1） ＝2022×2024×20232024， ∴n＝2024， 故选：C． 1．下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A．a2﹣8a+16 B． C．﹣a2﹣9 D．a2﹣4 【答案】C 【解答】解：A、a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，故此选项不合题意； B、a2a（a）2，故此选项不合题意； C、﹣a2﹣9无法分解因式，故此选项符合题意； D、a2﹣4＝（a﹣2）（a+2），故此选项不合题意； 故选：C． 2．因式分解：x2﹣4y2＝（x+2y）•A，则代数式A等于（　　） A．x+y B．x﹣y C．x+2y D．x﹣2y 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝（x+2y）•A， ∴A＝x﹣2y． 故选：D． 3．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 【答案】A 【解答】解：∵（x+2y）2＝x2+4xy+4y2， ∴墨迹覆盖的这一项是4xy， 故选：A． 4．若关于x的二次三项式x2﹣2ax+36能用完全平方公式分解因式，则a的值是（　　） A．﹣3 B．±3 C．6 D．±6 【答案】D 【解答】解：∵关于x的二次三项式x2﹣2ax+36能用完全平方公式分解因式， ∴2a＝±12， 解得：a＝±6， 故选：D． 5．如果多项式a2+b2+m可以运用平方差公式分解因式，则m的值是（　　） A．2cb B．﹣2ab C．3b2 D．﹣5b2 【答案】D 【解答】解：a2+b2﹣5b2＝a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）． 故选：D． 6．若9x2﹣2（k+3）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．±9 B．±15 C．9或﹣15 D．﹣9或15 【答案】C 【解答】解：∵9x2﹣2（k+3）x+16＝（3x±4）2， ∴﹣2（k+3）x＝±2×3x×4， 解得k＝9或k＝﹣15， 故选：C． 7．若非零实数a、b满足4a2+b2＝4ab，则（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：∵4a2+b2＝4ab， ∴（2a﹣b）2＝0， ∴2a﹣b＝0， ∴b＝2a， ∴2． 故选：A． 8．已知x1，y1，则x2+2xy+y2的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【解答】解：∵x1，y1， ∴x2+2xy+y2 ＝（x+y）2 ＝（11）2 ＝12． 故选：D． 9．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【解答】解：∵m+n＝2， ∴原式＝（m+n）（m﹣n）+4n ＝2（m﹣n）+4n ＝2m﹣2n+4n ＝2（m+n） ＝2×2 ＝4． 故选：C． 10．将多项式4x2+1加上一项，使它能化成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（　　） A．4x B．﹣4x C．4x4 D．2x 【答案】D 【解答】解：A、4x2+4x+1＝（2x+1）2，故A不符合题意； B、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故B不符合题意； C、4x4+4x2+1＝（2x2+1）2，故C不符合题意； D、4x2+2x+1不能化成（a+b）2的形式，故D符合题意； 故选：D． 11．因式分解：x（x﹣2）+1＝　（x﹣1）2 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x（x﹣2）+1 ＝x2﹣2x+1 ＝（x﹣1）2． 故答案为：（x﹣1）2． 23．分解因式4（a+2b）2﹣25（a﹣b）2＝　3（3b﹣a）（7a﹣b）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：4（a+2b）2﹣25（a﹣b）2 ＝[2（a+2b）﹣5（a﹣b）]•[2（a+2b）+5（a﹣b）] ＝（9b﹣3a）（7a﹣b） ＝3（3b﹣a）（7a﹣b）． 故答案为：3（3b﹣a）（7a﹣b）． 13．如果x﹣y＝2，x+y＝5，则x2﹣y2＝　10　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x﹣y＝2，x+y＝5， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×5＝10． 故答案为：10． 14．已知x2﹣2x+1+|x﹣y+3|＝0，则x＝ 　1　 ，y＝ 　4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原方程等价于（x﹣1）2+|x﹣y+3|＝0， 得， 解得． 故答案为：1，4． 15．若a＞0，且，则的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可得即， ∴， ∴， ∴， ∵a＞0， ∴， ∴， 故答案为：． 16．分解因式： （1）﹣16x2+y2； （2）4（x+y）2﹣9（x﹣y）2； （3）m4﹣18m2+81． 【答案】（1）（﹣4x+y）（4x+y）； （2）（5x﹣y）（﹣x+5y）； （3）（m+3）2（m﹣3）2． 【解答】解：（1）原式＝（﹣4x+y）（4x+y）； （2）原式＝[2（x+y）+3（x﹣y）][2（x+y）﹣3（x﹣y）] ＝（5x﹣y）（﹣x+5y）； （3）原式＝（m2﹣9）2 ＝（m+3）2（m﹣3）2． 17．若|a+4|与b2+4b+4互为相反数，把多项式（x+a）（x+b）+1因式分解． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由条件可知|a+4|+b2+4b+4＝|a+4|+（b+2）2＝0， ∴a+4＝0，b+2＝0， 解得：a＝﹣4，b＝﹣2． ∴（x+a）（x+b）+1 ＝（x﹣4）（x﹣2）+1 ＝x2﹣6x+8+1 ＝x2﹣6x+9 ＝（x﹣3）2． 18．已知：x2﹣y2＝15，x+y＝3．求下列各式的值： （1）x﹣y； （2）2x2﹣2xy+10y． 【答案】（1）5； （2）30． 【解答】解：（1）∵x2﹣y2＝15， ∴（x﹣y）（x+y）＝15， ∵x+y＝3， ∴x﹣y＝5； （2）∵x+y＝3，x﹣y＝5， ∴2x2﹣2xy+10y ＝2x（x﹣y）+10y ＝10x+10y ＝10（x+y） ＝30． 19．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M、P； （2）将整式P因式分解； （3）P的最小值为 　﹣16　 ． 【答案】（1）5x﹣20； （2）P＝4（x+2）（x﹣2）； （3）﹣16． 【解答】解：（1）根据题意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3） ＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x ＝5x﹣20； P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2 ＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4 ＝4x2﹣16； （2）P＝4x2﹣16 ＝4（x2﹣4） ＝4（x+2）（x﹣2）； （3）∵P＝4x2﹣16，x2≥0， ∴当x＝0时，P的最小值为﹣16． 故答案为：﹣16． 20．【阅读材料】 在学习新的数学知识的时候，经常利用“化归”的数学思想方法解决问题，比如，在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成一元方程，从而正确求解，下面就利用“化归”的数学方法解决新的问题． 首先，把像这样只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一元一次不等式、一元一次不等式组并掌握了它们的解法，同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解集吗？ 例题：解一元二次不等式x2﹣9＞0． 分析：为了解决这个问题．我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过因式分解，我们可以把x2﹣9写成（x+3）（x﹣3）的形式，从而将x2﹣9＞0转化为（x+3）（x﹣3）＞0，然后再利用两数相乘的符号性质得一元二次不等式转化成一元一次不等式（组）．从而解决问题． 解：∵x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）， ∴x2﹣9＞0可化为（x+3）（x﹣3）＞0， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得或， 解不等式组①，x＞3， 解不等式组②，x＜﹣3， 即一元二次不等式x2﹣9＞0的解集为x＞3或x＜﹣3． 【拓展应用】 （1）求一元二次不等式x2﹣16＞0的解集． （2）求分式不等式的解集． （3）求一元二次不等式2x2﹣3x＜0的解集． 【答案】（1）x＞4或x＜﹣4； （2）1＜x＜3； （3）0＜x． 【解答】解：（1）（x+4）（x﹣4）＞0， 原不等式可转化为①或②， 解不等式组①，x＞4， 解不等式组②，x＜﹣4， 即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4； （2）原不等式可转化为①或②， 解不等式组①，1＜x＜3， 解不等式组②无解， 即分式不等式0的解集为1＜x＜3； （3）x（2x﹣3）＜0， 原不等式可转化为①或②， 解不等式组①，0＜x， 解不等式组②无解， 即一元二次不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.2 公式法分解因式 教学目标 1. 掌握能用平方差公式分解的多项式的特点以及平方差公式分解因式的方法并能在题目中熟练应用。 2. 掌握能用完全平方公式分解的多项式的式子特点以及用完全平方公式分解因式的方法并能够熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 平方差公式分解因式； （2） 完全平方公式分解因式。 2. 难点 （1）利用公式法分解因式； （2）根据公式法分解因式的式子特点求值。 知识点01 用平方差公式分解因式 1. 平方差公式分解因式的内容： 两个数的平方的差等于这两个数的 乘以这两个数的 。即： 2. 式子特点分析与因式分解结果： ①式子特点分析：式子是一个 ，符号 且都可以写成 的形式。 ②因式分解结果：等于写成平方形式时的 的和乘以 的差。差时用正项底数减去负项的底数。 【即学即练1】 1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．﹣x2﹣y2 C．m2﹣1 D．x2﹣2x+1 【即学即练2】 2．把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： （1）x2﹣5； （2）4a2﹣7； （3）16y2﹣15； （4）3x2﹣2y2． 【即学即练3】 3．若x+y＝3，x﹣y＝1，则x2﹣y2的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．﹣3 【即学即练4】 4．已知a﹣b＝5，则a2﹣b2﹣10b的值为（　　） A．5 B．10 C．15 D．25 【即学即练5】 5．已知□x2+1＝（1﹣3x）（1+3x），则“□”处的数为（　　） A．1 B．9 C．﹣9 D．﹣1 知识点02 用完全平方公式分解因式 1. 完全平方公式分解因式的内容： 两个数的平方的和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 即 。 2. 式子特点分析与因式分解结果： ①式子特点分析：式子是一个 ，其中两项符号 且都能写成 的形式，第三项是平方两项 乘积的 。 ②因式分解结果：等于 的平方或 的平方。若第三项与平方两项符号 ，则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号 ，则等于底数差的平方。若平方两项是负号，则在括号前添加负号。 【即学即练1】 6．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．4a2+9b2﹣12ab B．a2﹣2ab+b2 C． D．x2+2x+4 【即学即练2】 7．把下列各式分解因式： （1）4a2+4a+1； （2）1﹣6y+9y2； （3）1+m； （4）4x2﹣12xy+9y2； （5）n2； （6）（x+y）2﹣10（x+y）+25； （7）（x﹣y）2+4xy． 【即学即练3】 8．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±4 D．±8 【即学即练4】 9．若x2﹣（m+1）x+9可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．5 B．﹣5或7 C．﹣7 D．﹣7或5 【即学即练5】 10．如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 题型01 判断式子能否用公式法分解因式 【典例1】下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2 【变式1】下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2﹣2x﹣1 B．x2+2x+4 C．x2﹣6x+9 D． 【变式2】下列整式中，能用公式法进行因式分解的是（　　） A．﹣a2+b2 B．a2+b2 C．4x2+2xy+y2 D．x2﹣4xy﹣4y2 【变式3】下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　） ①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy﹣y2；④﹣x2+4xy﹣4y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 用公式法分解因式 【典例1】把下列各式因式分解： （1）9m2﹣4n2； （2）﹣16+a2b2； （3）n2m2； （4）（x﹣2y）2﹣4y2． 【变式1】把下列各式分解因式： （1）4a2+25b2+20ab； （2）1﹣2xy+x2y2； （3）a2+2a﹣2； （4）（a+b）2﹣4（a+b﹣1）； （5）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2． 【变式2】因式分解： （1）4a2﹣1； （2）16m4﹣8m2n2+n4． 【变式3】分解因式： （1）﹣m2+6mn﹣9n2； （2）（3a﹣b）2﹣4（a﹣b）2． 题型03 根据能用公式法分解的式子特点求值 【典例1】已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．1 B．8 C．﹣8 D．±8 【变式1】若9x2+（k﹣2）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．±24 B．±26 C．26或﹣22 D．﹣26或22 【变式2】分解因式：ax2+by2＝（3x+4y）（3x﹣4y），则a+b的值为（　　） A．7 B．﹣1 C．25 D．﹣7 【变式3】若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（　　） A．25或﹣25 B．﹣15 C．15 D．20 【变式4】已知x+2y＝13，x﹣2y＝3，则多项式x2﹣4y2的值是（　　） A．10 B．16 C．39 D．78 【变式5】若20232026﹣20232024＝2024×2023n×2022，则n的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 1．下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A．a2﹣8a+16 B． C．﹣a2﹣9 D．a2﹣4 2．因式分解：x2﹣4y2＝（x+2y）•A，则代数式A等于（　　） A．x+y B．x﹣y C．x+2y D．x﹣2y 3．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 4．若关于x的二次三项式x2﹣2ax+36能用完全平方公式分解因式，则a的值是（　　） A．﹣3 B．±3 C．6 D．±6 5．如果多项式a2+b2+m可以运用平方差公式分解因式，则m的值是（　　） A．2cb B．﹣2ab C．3b2 D．﹣5b2 6．若9x2﹣2（k+3）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．±9 B．±15 C．9或﹣15 D．﹣9或15 7．若非零实数a、b满足4a2+b2＝4ab，则（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 8．已知x1，y1，则x2+2xy+y2的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 9．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 10．将多项式4x2+1加上一项，使它能化成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（　　） A．4x B．﹣4x C．4x4 D．2x 11．因式分解：x（x﹣2）+1＝　 ． 23．分解因式4（a+2b）2﹣25（a﹣b）2＝　 　 ． 13．如果x﹣y＝2，x+y＝5，则x2﹣y2＝　 　 ． 14．已知x2﹣2x+1+|x﹣y+3|＝0，则x＝ 　 　 ，y＝ 　 ． 15．若a＞0，且，则的值为 　 ． 16．分解因式： （1）﹣16x2+y2； （2）4（x+y）2﹣9（x﹣y）2； （3）m4﹣18m2+81． 17．若|a+4|与b2+4b+4互为相反数，把多项式（x+a）（x+b）+1因式分解． 18．已知：x2﹣y2＝15，x+y＝3．求下列各式的值： （1）x﹣y； （2）2x2﹣2xy+10y． 19．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M、P； （2）将整式P因式分解； （3）P的最小值为 　 　 ． 20．【阅读材料】 在学习新的数学知识的时候，经常利用“化归”的数学思想方法解决问题，比如，在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成一元方程，从而正确求解，下面就利用“化归”的数学方法解决新的问题． 首先，把像这样只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一元一次不等式、一元一次不等式组并掌握了它们的解法，同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解集吗？ 例题：解一元二次不等式x2﹣9＞0． 分析：为了解决这个问题．我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过因式分解，我们可以把x2﹣9写成（x+3）（x﹣3）的形式，从而将x2﹣9＞0转化为（x+3）（x﹣3）＞0，然后再利用两数相乘的符号性质得一元二次不等式转化成一元一次不等式（组）．从而解决问题． 解：∵x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）， ∴x2﹣9＞0可化为（x+3）（x﹣3）＞0， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得或， 解不等式组①，x＞3， 解不等式组②，x＜﹣3， 即一元二次不等式x2﹣9＞0的解集为x＞3或x＜﹣3． 【拓展应用】 （1）求一元二次不等式x2﹣16＞0的解集． （2）求分式不等式的解集． （3）求一元二次不等式2x2﹣3x＜0的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $