29-4.5.3 函数模型的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦“函数模型的应用”，涵盖应用给定模型、建立模型及拟合模型解决实际问题。以爱因斯坦复利案例导入，衔接指数函数特性，搭建从函数知识到实际应用的学习支架，帮助学生梳理前后知识脉络。 其特色在于通过茶水温度计算、学生注意力指数分析等生活化实例，引导学生用数学眼光观察现实世界。借助方程推理、均值不等式运算等培养数学思维，通过细菌繁殖数据拟合强化数学语言表达模型。采用实例探究法，学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

4.5 函数的应用（二） 4.5.3 函数模型的应用 1 爱因斯坦认为复利的威力比原子弹还可怕，也就是说随着变量的增长, 指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理. 返回导航 新课导入 2 1.能利用已知函数模型求解实际问题． 2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题． 3.了解建立拟合函数模型的步骤及检验和调整的必要性． 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 应用给定函数模型解决实际问题 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规 律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如何选择恰当的 函数模型来刻画它呢？ 返回导航 6 思考1 应用函数模型解决问题的基本过程是什么？ 提示：（1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺变量关系，初步 选择模型. （2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言， 利用数学知识建立相应的数学模型. （3）求模——求解数学模型，得出数学模型. （4）还原——将数学结论还原为实际问题. 返回导航 7 思考2 回忆一下所学过的函数模型有哪些？ 返回导航 8 提示： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，为常数， 反比例函数模型 ，为常数且 二次函数模型 ，，为常数， 指数型函数模型 ，，为常数，， 且 对数型函数模型 ，，为常数，， 且 幂函数型模型 ，为常数， 返回导航 ［例1］ （对接教材例3）“大禹门前树，千年苔子茶.” 四川省北川苔子茶 的“毛峰绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名 遐迩，深受广大消费者青睐.经验表明，在室温下，该茶用 的水 泡制，汤色青绿明亮，入口滋味较薄有熟栗子香，无苦涩感，再等到茶水 温度降至 时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温 度从开始，经过分钟后的温度为 且满足 . 返回导航 10 （1）求常数 的值； 【解】因为茶水温度从 开始，所以 当时， ， 所以 . 返回导航 11 （2）经过测试可知，求在 室温下，刚泡好的茶大约需要放置 多长时间才能达到最佳饮用口感？参考数据：， 【解】当时， . 当时， ， 则 ， 所以 ， 则 ， 所以刚泡好的茶水大约需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感. 返回导航 12 利用已知函数模型解决实际问题 （1）首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； （2）利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； （3）涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法， 将指数运算转化为对数运算. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ 专家研究高一学生上课注意力集中 的情况，发现注意力指数与听课时间 单位： 之间的关系满足如图所示的曲线．当 时，曲线是二次函数图象 其对称轴为直线 的一部分，当 时，曲线是函数 图象的一部分．专 家认为，当注意力指数 大于或等于80时定义为听 课效果最佳． 返回导航 14 （1）试求 的函数关系式； 解：当 时， 设 ， 将 代入得， ，解得 ， 故 ； 当时，将代入 得 返回导航 15 ，解得 ， 故 ， 综上， 返回导航 （2）若听课效果不是最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问 应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理 由．（结果精确到1） 解：当时，令 ， 解得 ， 当时， ， 解得 ， 故在和 这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节. 返回导航 17 二 建立函数模型解决实际问题 ［例2］ 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，现有某芯片公司为了提高 生产效率，决定投入108万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 年的支出成本为 万元，每年的销售收入为100万元. （1）求该芯片公司买该套生产设备前年生产的总盈利额 ； 【解】依题意可得 . 返回导航 18 （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达 到最大值时，该设备以30万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达 到最大值时，该设备以54万元的价格处理，哪种方案较为合理?并说明理由. 返回导航 19 【解】方案一：总盈利额 ， 又 ， 所以当或时， 取得最大值132，此时处理掉设备，则总利润 为 （万元）； 返回导航 20 方案二：年平均盈利额为 ，因为 , 所以 ， 当且仅当，即 时，等号成立, 即当时，年平均盈利额最大，此时 ， 此时处理掉设备，则总利润为 （万元）. 综上，两种方案获利都是162万元，但方案二仅需要3年即可，故方案二更 合适． 返回导航 21 构建函数模型抓住四个关键点 返回导航 22 ［跟踪训练2］ 某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了 节能环保，决定修建一个可使用16年的光伏电站，并入该合作社的电 网．修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积 单位： 成正比，比例系数为0.12．为了保证正常用电，修建后采用光 伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下，当光伏电站的太 阳能面板的面积为单位：时，该合作社每年消耗的电费为 （单位：万元， 为常数）．记该合作社修建光伏电站的费用与16年所消 耗的电费之和为 （单位：万元）． 返回导航 23 （1）求 ； 解：由题意可得，当时，，则 ， 所以， ． 返回导航 24 （2）该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使 最小？并求出最 小值． 解：由（1）得 , 当且仅当，即 时，等号成立， 即该合作社应修建面积为的太阳能面板，可使 最小，且最小值 为90万元. 返回导航 25 三 拟合函数模型解决实际问题 ［例3］ 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体 积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌 在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间 （单位：时）的关系如 表所示： 2 3 6 9 12 15 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 返回导航 26 根据表格中的数据画出散点图， 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的 关系，现有以下三种函数模型供选择： ； ； . （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； 返回导航 27 【解】最符合实际的函数模型为 ，理由如下： 根据题中图象知函数解析式需满足函数在 上有定义，所以 不满足； 又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度增长缓慢，所以 不满足， 只有满足，故 最符合. 返回导航 28 （2）请选取表格中的， 两组数据，求出你选择的函数模型的 解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个. 【解】将，代入 ， 得即 解得 则 . 当时， ， 即，解得 . 所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个. 返回导航 29 建立拟合函数与预测的基本步骤 返回导航 30 ［跟踪训练3］ 已知甲产品在30天内（包括第30天），销售价格为12元/件， 日销售量（单位：件）与第 天的部分数据如表所示： 5 15 18 22 26 30 35 45 48 48 44 40 给出下列三个函数模型： ； ； . （1）请你根据表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销 售量与时间 的函数关系，说明选择的理由，并求出该函数的解析式 及定义域； 返回导航 31 解：由题表中的数据知，当时间增加时， 先增后减， 而①③函数模型描述的都是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择模型 . 由 ， 可得，解得 ， 所以 . 由解得 所以 ， 定义域为 . 返回导航 32 （2）若乙产品在这30天内（包括第30天）的日销售收入 （单位：元） 与时间（单位：天）的函数关系近似满足 ，根据 （1）中所求函数求这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数. 返回导航 33 【解】因为甲产品的日销售收入不少于乙产品的日销售收入，所以 ， 所以 ， 所以，所以 ，即 ，解得 ， 因为 ， 所以这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数为11. 返回导航 34 PART 02 课堂巩固 自测 35 1.若我国7岁以下女童身高的中位数单位：与年龄 （单位：岁）之 间的关系如图所示，从图中可以看出，我国7岁以下女童身高增长速度越 来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题图可知，随着的增长， 的增长速度越来越慢，C选项中 的函数模型较为符合. √ 返回导航 36 2.（教材PT改编）已知样本中碳14的质量随时间 （单位：年）的衰 变规律满足表示碳14原有的质量 .经过测定，某青铜布 币样本中碳14的质量约是原来的至 ，据此推测该青铜布币生产的时期距 今约参考数据： ( ) A.2 600年 B.3 100年 C.3 200年 D.3 300年 解析：选A.由题意得，解得 . √ 返回导航 37 3.某商店销售,两款商品，利润（单位：元）分别为 和 ，其中 为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20 袋，则能获得的最大利润为_____元. 162 解析：设该商店销售商品袋，则销售商品 袋， 所以可获得的利润 ， 因为,，所以当或 时，利润最大，最大利润为162 元. 返回导航 38 4.（教材PT 改编）某医学研究所研发一种药物， 据监测，如果成人在 内按规定的剂量注射该药，在 注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射 后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的 药物含量单位：与服药后的时间单位： 之间 近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段 是函数 ,且,,是常数的图象，且, . 返回导航 39 （1）写出注射该药后每毫升血液中药物含量关于时间 的函数关系式； 解：当时， ， 当时，把,代入,且,,是常数 ， 得解得 所以 返回导航 40 （2）据测定：每毫升血液中药物含量不少于 时治疗有效，如果某人第 一次注射药物为早上8 点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？ 解：设第一次注射药物后最迟过小时注射第二次药物，其中 . 则，解得 ， 所以第一次注射药物最迟 后开始第二次注射药物，即最迟当天下午1点 注射药物. 返回导航 41 课堂小结 1.已学习：已知函数模型、建立函数模型及拟合函数模型解决实际问题. 2.须贯通：在处理实际问题的过程中，首先要将实际问题数学化，即建模 问题；其次要对得到的数学模型分析、推理，即解模问题，最后要把数学 问题回归到实际问题中，即用模问题. 3.应注意：（1）函数模型中定义域的实际意义； （2）拟合函数拟合效果的分析与判断. 返回导航 42 $