30-4.5.3 函数模型的应用-课后达标 检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦函数模型的实际应用，涵盖指数、二次、分式函数等核心知识点，通过农民收入增长、商场销售数据等现实情境导入，连接函数概念与实际问题，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于情境化问题设计，融合国防（钱学森弹道）、经济（销售利润）、环境（光强衰减）等领域，体现“用数学眼光观察现实世界”。通过建立函数模型解决问题，培养数学思维与表达能力，学生能深化理解，教师可借实例提升教学效果。

课后达标检测 1 1.随着我国经济的不断发展，2024年年底某地区农民人均年收入为7 000元， 预计该地区今后农民的人均年收入将以每年 的年平均增长率增长，那么 2032年年底该地区的农民人均年收入为( ) A.元 B. 元 C.元 D. 元 解析：选D.设经过年，该地区的农民人均年收入为 元，根据题意可得 ，从2024年年底到2032年年底共经过了8年，所以2032年 年底该地区的农民人均年收入为 元． √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2.某商场2025年在旺季的4天内销售某种空调的利润如下表所示， 时间 （天） 1 2 3 4 利润 （千元） 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( ) A. B. C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 解析：选B.作出散点图如图所示.由散点图可知，图象不是直线，排除选项 D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把 ，2，3，4代入 B,C选项的函数中，函数 的函数值最接近表格中的对应值，故选B. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 3.已知某种烟花距地面的高度单位：与时间单位： 之间的关系式 为 ，则烟花在达到最高点时爆裂的高度是( ) A. B. C. D. 解析：选B.依题意，，当且仅当 时， 等号成立，所以烟花在达到最高点时爆裂的高度是 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 4.钱学森弹道，即“助推—滑翔”弹道，是著名科学家钱学森提出的，该弹 道设计具有非常高的科学性和实用性，将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合， 使导弹同时具备突防性和灵活性，作战能力显著增强.关心国防建设的某高 一学生，在学习了“函数的应用”后，用 的图象拟合某一钱学森弹 道，其中（单位：千公里）表示弹道横向位移， （单位：千公里）表示 弹道纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据：,; , ，则, 分别为( ) A.1,3 B.3,1 C., D.， √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 解析：选B.将,;,分别代入 ，可得 解得 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 5.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用 表示其总衰减规律，其中是消光系数， （单位：米）是海 水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度 处和 海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的 ，则该海域消光 系数 的值约为( ) 参考数据：, A.0.2 B.0.18 C.0.1 D.0.14 解析：选B.依题意得， ，化成对数式，得 ，解得 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 6.某公司2024年全年生产某种商品1万件，在后续的几年中，后一年该商品 的产量都是前一年的 ，则该商品年产量超过2万件时，至少需要经过 ___年. 4 解析：设经过年后，该商品年产量超过2万件，则 .因为 ， ，所以至少需要经过4年. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 7.通过实验数据可知，某液体的蒸发速度 （单位：升/小时）与液体所处 环境的温度单位：近似地满足函数，为常数 ．该液体 在的蒸发速度是0.1升/小时，在 的蒸发速度为0.8升/小时，则该液 体在 的蒸发速度为____升/小时． 0.4 解析：由及已知条件得，所以 ，解得 ． 又，所以 ， 解得，所以 ， 则该液体在 的蒸发速度为 ． 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 8.要建造一段 的高速公路，工程队需要把60人分成两组，一组完成 一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的 的硬 土地带公路的建造任务.据测算，软、硬土地带每米公路的工程量分别是5 人/天和3人/天.要使全队筑路工期最短，则需安排到硬土地带工作的人数是 ____. 28 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 解析：设安排到硬土地带工作的人数为 ，则安排到软土地带工作的人数 为 ， 则在软土地带的工作时间为 ，在硬土地 带的工作时间为 ，要使全队筑路工期最 短，需两地带同时完工，即，即，解得 ， 由于, ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 在上单调递增，在 上单调递减，而 ， 故只有当 时，两地带最接近于同时完工，故需安排到硬土地带工作 的人数是28. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.（13分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超 过20万元时，按销售利润的 进行奖励；当销售利润超过20万元时，若 超出万元，则超出部分按进行奖励，记奖金为 （单位：万 元），销售利润为 （单位：万元）. （1）写出奖金关于销售利润 的关系式；（6分） 解：根据题意可知，当销售利润时， ； 当时， ， 所以可得奖金关于销售利润的关系式为 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 （2）如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ （7分） 解：易知当 时，奖金不可能为10万元， 所以令 ， 即 ， 解得 ， 即业务员老江的销售利润是31万元. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 10.五一期间某服装店进店消费的人数每天都在变化，设第 天进店消费的人数为，且与表示不大于 的最 大整数 成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为( ) A.15 B.16 C.17 D.18 解析：选D.由题意可设比例系数为，所以 ，因为 ，所以 ， 所以当时， . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 11.（15分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数 量单位：与时间单位：间的关系为，其中 为初始 污染物数量，是大于0的常数．已知在前消除了 的污染物． （1）求 的值；（7分） 解：在中，当 时， ， 解得 ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 （2）求污染物减少 需要花的时间.（8分） 精确到，参考数据：,, 解：由（1）知，，当时， ，即 ， 则.所以污染物减少需要花的时间约为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 12.（15分）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景 区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根 据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间 （单位：天）的数据如表. 上市时间 天 2 6 32 市场价 元 148 60 73 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 （1）根据上表数据，从 ， ， 中选取一 个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价与上市时间 的变化关系 （无需说明理由），并求出该函数的解析式；（7分） 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 解：每枚纪念章的最低市场价不是关于上市时间的单调函数， 故选 . 分别把， 代入 ， 得 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 解得，，所以， . 此时该函数的图象恰经过点 ， 所以， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪 念章的最低市场价.（8分） 解：由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立，有最小值，且 .故 当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 23 $