39-5.7 三角函数的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦三角函数的应用，从昼夜交替等周期性现象导入，衔接y=Asin(ωx+φ)的参数物理意义、模型构建及实际问题解决，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合弹簧振子、游客数量等多领域实例，通过问题探究培养数学眼光、思维与语言。即时练与巩固题形成闭环，助力学生掌握建模方法，教师可高效开展教学。

5.7 三角函数的应用 1 许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，大到昼夜交替、 四季变换、潮涨潮落，小到人体在一天中血压、血糖浓度的变化、心率的 波动等.如果某种变化现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述， 利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探 究如何构建三角函数模型解决实际问题. 返回导航 新课导入 2 1.了解 的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、 周期、频率、相位、初相． 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模 型解决一些简单的实际问题． 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 函数,,， 中 参数的物理意义 一个弹簧振子做简谐振动，在完成一次全振动 的过程中，位移单位：与时间单位： 之间 对应数据绘制成简图如图所示. 思考1 若用函数，, , 提示： . ,来刻画位移随时间的变化规律，你能写出关于 的函数解析式吗？ 返回导航 6 思考2 函数中的参数， ， 对其图象有怎样的影响？ 提示：影响函数的最值， 影响函数的周期， 决定函数的初始位置. 返回导航 7 ［知识梳理］ 返回导航 8 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型. ( ) √ （2）实际问题中的三角函数模型一定是 .( ) × （3）函数,的最大值为 .( ) × （4）在研究具体问题时，我们常常利用收集到的数据，作出相应的“散点 图”来获得相应的函数模型.( ) √ 返回导航 9 2.一弹簧振子的位移与时间 的函数解析式为 ,若弹簧振子运动的振幅为3，周期为 ,初 相为 ,则这个函数的解析式为____________________________. ， 解析：由题意得，, , 则 , 故所求函数的解析式为 , . 返回导航 10 3.如图 为一个钟摆的示意图，其中 是钟摆能向左摆动的最 大位置，角 为钟摆在运动过程中与的夹角，已知 与时 间单位：满足函数关系式， , ,且频率为，从 最大处开始计时，则该函数的初相为 __． 返回导航 11 解析：因为频率，即 ，所以 ， 故 ， 由已知可得当时， ， 即,则 , , 又，所以，该函数的初相为 ． 返回导航 （1）在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数 来表示运动的位移随时间 的变化规律. 主要体现在单摆、弹簧振子、电流、机械波等问题. （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、周期、平衡位 置、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 返回导航 13 二 已知三角函数模型解决实际问题 ［例1］ 某地庙会每天8点开始，17点结束.通过观察发现，游客数量 （单位：人）与时间 之间，可以近似地用函数 ，来刻画，其中 ，8 点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约 为1 250人，之后游客逐渐减少. 返回导航 14 （1）求出函数 的解析式； 【解】由题意得 ， ， 且 ， 故 返回导航 15 故 又，，解得, ， 故函数的解析式为， . 返回导航 （2）腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书 法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的 游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？ 【解】当 时， , ， 令，解得或 ，解得 或，结合函数图象（图略）及，可得当 或 时，可保证在场的游客都能得到福字，所以应选择在8点到12 点或16点到17点两个时间段赠送福字. 返回导航 17 已知函数模型求解实际问题的一般思路 （1）这类题一般明确指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象 可用形如<m></m>或<m></m>的函数来刻画，解 这样的题只需根据已知条件确定参数，求出函数解析式，再代入计算即可. （2）对于函数<m></m>，最大值为<m></m>，最 小值为<m></m>. 返回导航 18 ［跟踪训练1］ （多选）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力 作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮 汐涨落规律为其中，，其中 单位： 为港口水深，单位：为时间 ，该观测站观察到水位最高点 和最低点的时间间隔约为，且中午12点的水深为 ，为保证安全，当水 深不小于 时，开放船只出入，则下列说法正确的是 ( ) A. B.最高水位为 C.该港口从上午8点开始首次开放船只出入 D.一天内开放船只出入的时长为 √ √ 返回导航 19 解析：选.对于A，依题意，所以 ，故A正确； 对于B，当时，，解得 ， 所以最高水位为 ，故B错误； 对于C，D，由上可知，令，解得 或 者 ，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放船只 出入的时长为 ，故C正确，D错误. 返回导航 20 三 三角函数模型的拟合 ［例2］ 某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖 成本逐月递增.下表是2025年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型： ； 返回导航 21 中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购 价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月 份之间的函数关系. 返回导航 （1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； 【解】由题表中数据可知，收购价格随月份的变化上下波动，应选模型①， 由题表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②， 对于模型①，由点及，可得函数周期满足 ， 即，所以 ， 又函数最大值为，最小值为，解得， ， 返回导航 23 所以，又 ，,所以 ， , 又，所以 ， 所以模型 ； 对于模型②，图象过点， ， 所以 解得 所以模型 . 返回导航 （2）按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8 月份分别是盈利还是亏损？ 返回导航 25 【解】由（1）设 ， ， 若则盈利，若 则亏损. 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ， 这说明第5，6，7月份生猪养殖户可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏 损． 返回导航 26 解决三角函数模型拟合问题的策略 （1）根据收集的数据，先画出相应的散点图，观察散点图，然后进行函 数拟合获得具体的函数模型. （2）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式. （3）利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管 理提供依据. 返回导航 27 ［跟踪训练2］ 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海 浪高度单位：随着时间，单位： 呈周期性变化，每天 各时刻 的浪高数据的平均值如表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 返回导航 28 （1）从，，, , , 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； 解：把表格中的数据在平面坐标系内 描出，如图， 由所描点知：应选择 ， 依题意，函数的最大值为，最小值为，周期为 ， 则， ， 返回导航 29 ， 于是，代入点 ， 得 ， 即，则 ,，又 ， 因此 ， 所以该模型的解析式为 . 返回导航 （2）如果确定在一天内的至之间，当浪高不低于 时才进行训 练，试安排恰当的训练时间． 返回导航 31 【解】令 ， 得 ， 则 ， , 解得,，而 ， 当时，，则 ； 当时， ； 当时，，则，综上，或 或 ， 依题意，应在白天到 之间训练较恰当. 返回导航 32 PART 02 课堂巩固 自测 33 1.简谐运动 的相位与初相是( ) A., B.,4 C., D.4， 解析：选C.相位是，当时的相位为初相即 . √ 返回导航 34 2.（多选）（教材PT 改编）已知一质点做简谐运动的图象如图所示， 则下列结论正确的是( ) A.该质点的运动周期为 B.该质点的振幅为5 C.该质点在和 时运动速度为零 D.该质点的运动周期为 √ √ √ 返回导航 35 解析：选.由题图可知，质点的运动周期为 ，所 以A错误，D正确； 该质点的振幅为5，所以B正确； 由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在和 时运动速度最大，在和 时运动速度为零，所以C正确． 返回导航 36 3.（教材PT改编）已知某段电路中电流单位：随时间单位： 变 化的函数解析式是,，若 时 的电流为，则 时的电流为___A. 返回导航 37 解析：由题意 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 , ， 所以时的电流为 . 返回导航 38 4.某地区2025年全年月平均温度单位：与月份 之间近似满足 .已知该地区2月份的月平均温度 为，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为 ，试求 该地区12月份的平均温度． 返回导航 39 解：由题意可知，直线是曲线 的一条过最高点 的对称轴， 所以， ， 即， . 又 ， 即 ， 所以 . 返回导航 40 因为全年月平均温度的最大值为，，所以 .① 又当时， ， 所以 ， 整理得 .② 由①②解得， ， 所以 ， 则当 时， . 返回导航 课堂小结 1.已学习：三角函数在物理、几何及实际生活中的应用. 2.须贯通：面对实际问题，能够迅速地建立适当的数学模型是一种重要的 基本技能，把问题中的“条件”逐条“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数 学建模的过程. 3.应注意：建立函数模型，易忽略定义域；根据建立的模型解决问题后， 最后结果要回归实际问题. 返回导航 42 $