17-3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

3.2.2 奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用 1 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 2 PART 01 新知学习 探究 3 一 由奇偶性求函数的解析式 ［例1］ （1）已知函数是定义在上的偶函数，且当 时， ，则当时， ( ) A. B. C. D. 解析：由函数为偶函数，得当时， ， ，所以当 时， . √ 返回导航 4 （2）设为实数，函数是奇函数，则 ____． 返回导航 5 解析：由题意，函数在 上为奇函数， ， 所以，即 ， 则当时， ， 所以当时， ， 则 ， 即 ， 即 . 返回导航 6 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设<m></m>； （2）转化到已知区间上，代入已知的解析式； （3）利用<m></m>的奇偶性写出<m></m>或<m></m>，从而解出<m></m>. 注意 已知函数<m></m>，<m></m>的组合运算与奇偶性，把<m></m>换为<m></m>，构造方程组 求解. 返回导航 7 ［跟踪训练1］ 已知为定义在上的奇函数，当 时 ，则 _ ___________________. 返回导航 8 解析：因为函数是定义在上的奇函数，所以 . 当时， ； 设，则，所以 ， 又因为 ， 所以 . 综上所述， 返回导航 二 利用函数的单调性和奇偶性比较大小 ［例2］ 设为定义在上的偶函数，且在 上单调递增，则 ，， 的大小顺序为( ) A. B. C. D. 解析：因为为定义在上的偶函数，所以 ， ,又因为在上单调递增， ，所以 ，即 . √ 返回导航 10 母题探究 本例中的条件“偶函数”变为“奇函数”时，三者的大小关系如何呢？ 解：因为为定义在上的奇函数，且在 上单调递增，又 ， 所以在上为增函数，而 ， 所以 . 返回导航 11 比较函数值大小的求解策略 （1）若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小. （2）若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转 化到同一个单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小. 常用结论（1）若<m></m>为奇函数且在区间<m></m>上单调递增，则<m></m> 在区间<m></m>上单调递增，即奇函数在对称区间上的单调性相同. （2）若<m></m>为偶函数且在区间<m></m>上单调递增，则<m></m>在区间 <m></m>上单调递减，即偶函数在对称区间上的单调性相反. 返回导航 12 ［跟踪训练2］ 已知定义在上的函数满足，且 在 上单调递减，则，, 的大小顺序是________________ ____.（用“ ”连接） 解析：依题意，，由在上单调递减， ， 得 ， 所以 . 返回导航 13 三 利用函数的单调性和奇偶性解不等式 ［例3］ （1）已知函数在 上单调递增，且为奇函数，若 ，则满足的 的取值范围是( ) A. B., C., D., 解析：因为函数在上单调递增，且为奇函数，若 ，则 ， 由可得 ， 解得 . √ 返回导航 14 （2）若定义在上的偶函数满足：对任意的, 有，则满足的 的取值范围是______. 返回导航 15 解析：由题意得函数在上单调递减，而是 上的偶函数， 则在 上单调递增， 所以不等式 ， 即，于是 ， 解得 ， 所以所求的取值范围是 . 返回导航 16 利用函数的奇偶性、单调性解不等式的步骤 （1）解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为 两个函数值的大小关系. （2）利用单调性脱去符号“<m></m>”，转化为简单的不等式（组）求解. 注意 在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没 有符号“<m></m>”时，需要转化为含有符号“<m></m>”的形式，如<m></m>，<m></m>， 则<m></m>；偶函数中<m></m>的灵活应用. 返回导航 17 ［跟踪训练3］ （1）已知函数是定义域为的奇函数，当 时， .若，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 解析：选D.易知当时， 单调递增. 函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在 上单调递增. 因为，由 ，可得 ， 所以，解得 . √ 返回导航 18 （2）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且 ， 若不等式的解集为，则实数 ___． 2 解析：因为为偶函数，所以 ， 又因为在 上单调递减， 所以不等式可转化为，所以 ， 解得 ， 所以且，即 ． 返回导航 19 PART 02 课堂巩固 自测 20 1.（教材PT改编）已知函数是定义在上的奇函数，当 时， ，则时, ( ) A. B. C. D. 解析：选C.因为函数是定义在 上的奇函数， 当时，，，所以 . √ 返回导航 21 2.（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且有 ，则下 列各式中一定成立的是( ) A. B. C. D. 解析：选.因为 为偶函数， 所以， ， 又 ， 所以， 都成立. √ √ 返回导航 22 3.请写出一个满足以下两个条件的函数 __________________. 是偶函数；在 上单调递增. （答案不唯一） 解析：因为是偶函数，且在 上单调递增， 所以函数可以是 （答案不唯一）. 返回导航 23 4.已知函数是定义域在上的奇函数，且在区间 上单调递减， 求满足的 的集合． 解：依题意得函数在 上单调递减， 由于 ， 所以，即 ， 所以 ， 解得 ， 所以满足的的集合为 . 返回导航 24 课堂小结 1.已学习：（1）利用奇偶性求函数的解析式. （2）利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式. 2.须贯通：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于 原点对称的区间上的单调性相反，特别地，利用偶函数<m></m>能起 到化繁为简的效果. 3.应注意：解不等式易忽视函数的定义域. 返回导航 25 $