03-1.1 第2课时 集合的表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

1.1 集合的概念 第2课时 集合的表示 1 语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表 示方式,例如，我们用中文说“祝你生日快乐”，英文为“ ”等等.那么,对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？ 返回导航 新课导入 2 1.掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法）. 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 列举法 观察下列两个集合： （1）中华人民共和国国旗上所有颜色组成的集合 ； （2）十二生肖组成的集合 . 思考1 上述两个集合的元素能一一列举出来吗？为什么？ 提示：能，因为两个集合里的元素都是有限个. 返回导航 6 思考2 上述集合与 除了用自然语言描述外，还有更简单明了的表示方 式吗？如何表示？ 提示：有，两个集合可以这样表示，如红色，黄色}； 鼠，牛， 虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪}. 返回导航 7 ［知识梳理］ 把集合的所有元素__________出来，并用花括号“ ”括起来表示集合 的方法叫做列举法. 一一列举 返回导航 8 ［例1］ （对接教材例1）用列举法表示下列集合： （1）方程 的解组成的集合； 【解】方程的解为或 ，因此可以用列举法表 示为 . （2）“ ”中的所有字母组成的集合； 【解】由于“”中包含的字母有，，，，， ，共6个元素， 因此可以用列举法表示为{,,,,, }. 返回导航 9 （3）函数 的图象与坐标轴的交点组成的集合. 【解】函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为 ， 因此可以用列举法表示为 . 返回导航 10 用列举法表示集合的三个步骤 （1）求出集合中的元素； （2）把各元素列举出来，并用花括号括起来； （3）检查元素是否符合集合中元素的互异性. 注意（1）用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序；（2）二元方程组的 解集、函数图象上的点构成的集合都是点集，应将有序实数对用小括号括 起来表示一个元素. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ 用列举法表示下列集合： （1）10以内的所有素数组成的集合； 解：10以内的素数有2,3,5,7,因此构成的集合为 . （2）方程的实数根组成的集合 ； 【解】解方程得或 ， 所以集合 . 返回导航 12 （3）一次函数与的图象的交点组成的集合 . 【解】解方程组得 所以集合 . 返回导航 13 二 描述法 思考1 “大于 且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？ 提示：不能.集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举. 思考2 设为“大于且小于2的实数”构成的集合的元素， 有何特征？ 提示：且 . 返回导航 14 ［知识梳理］ 一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征 的元 素 所组成的集合表示为_____________，这种表示集合的方法称为描述法， 有时也用冒号或分号代替竖线，写成或； . 返回导航 15 ［例2］ 用描述法表示下列集合: （1）被3除余1的所有自然数组成的集合； 【解】被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为, }. （2）比1大又比10小的所有实数组成的集合； 【解】比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为 . （3）平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合. 【解】平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为 . 返回导航 16 用描述法表示集合的两个步骤 返回导航 17 ［跟踪训练2］ 选择适当方法表示下列集合: （1）由不超过5的所有自然数组成的集合 ； 解：用列举法表示集合 . （2）不等式的解集 ； 【解】用描述法表示集合 . （3）二次函数的图象上所有的点组成的集合 . 【解】用描述法表示集合 . 返回导航 18 三 集合表示法的应用 ［例3］ 已知集合, }. （1）若,用列举法表示 ； 【解】若,则1是方程的实数根，所以 ， 解得,所以方程为,解得或 , 所以 . 返回导航 19 （2）当集合中有且仅有一个元素时，求的值组成的集合 . 【解】当时， ， 解得，此时 ; 当时，若集合 中有且仅有一个元素， 则方程 有两个相等的实数根， 所以解得,方程为，解得 ，此 时 . 综上，当或时，集合中有且仅有一个元素，所以， . 返回导航 20 母题探究 在本例条件下，集合中有两个元素，求实数 的取值范围. （用集合表示） 解：依题意，，且,所以且,故实数 的取值 范围是且 . 返回导航 21 集合与方程的综合问题的解题步骤 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的 元素就是方程的实数根； （2）当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的 值或取值范围，必要时要分类讨论； （3）求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性. 返回导航 22 ［跟踪训练3］ （1）（多选）已知集合 ，那么下列 结论正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选.由方程，解得或，所以, ， 所以，， . √ √ 返回导航 23 （2）（2025·威海期中）已知集合,,，若，则 ____. 14 解析：因为，,, ， 所以当时，, ，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，, ,符合题意. 综上， . 返回导航 24 PART 02 课堂巩固 自测 25 1.（教材P习题1.1T改编）集合 用列举法表示为( ) A. B. C. D. 解析：选B.由题意可得集合 . √ 返回导航 26 2.（多选）下列说法错误的是( ) A.在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为 B.方程的解集为, C.，且 中的元素个数为0 D.若，则 √ √ 返回导航 27 解析：选.对于A，第一象限内的点满足， ，第三象限 内的点满足， ，故A正确； 对于B，方程的解为故解集为 ，故B错误； 对于C，由的范围可得，且 中的元素个数为0，故C正确； 对于D，,0,， ，故D错误. 返回导航 28 3.（2025·达州期中）若 ，则集合 中所有元素之和为___. 3 解析：因为，则有 ，解得 ，即方程为，解得或 ，所以 , ，所有元素之和为3. 返回导航 29 4.（教材PT 改编）选择适当的方法表示下列集合： （1）平面直角坐标系中第二象限的点组成集合 ; 解：利用描述法表示集合,或 . （2）不大于10的非负偶数组成的集合； 【解】因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所 以不大于10的非负偶数组成的集合是，2，4，6，8， . （3）使函数有意义的实数 组成的集合. 【解】由，则，解得，故集合为 . 返回导航 30 课堂小结 1.已学习：（1）集合的表示方法：列举法、描述法；（2）集合与方程、 不等式的关系. 2.须贯通：（1）元素个数有限，适合用列举法表示；元素个数无限，一般 用描述法表示；（2）解决集合与方程问题常用分类讨论思想. 3.应注意：（1）要注意数集和点集的区别; （2）当一元二次方程二次项的系数不确定时，易忽略讨论该方程是一次 方程还是二次方程. 返回导航 31 $