01-1.1 第1课时 集合的含义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

第一章 集合与常用逻辑用语 1 1.1 集合的概念 第1课时 集合的含义 2 在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类.例如图书馆 中的书是按照所属学科等分类摆放的;三角形可以分为锐角三角形、直角三 角形和钝角三角形.学习了集合、元素等概念，我们就会对事物的分类有更 清晰的认识. 返回导航 新课导入 3 1.通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的属于关系. 2.会利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题. 3.识记常用数集的表示符号. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 元素与集合的概念 研究下面的例子，回答问题： （1）2025级聪明的学生； （2） 的近似值； （3）直角坐标系中横坐标与纵坐标相等的所有点； （4）所有奇数. 思考1 以上各例的研究对象是什么？ 提示：分别研究学生、近似值、点、奇数. 返回导航 7 思考2 哪个例子中的对象划分标准不确定？ 提示：（1）、（2）所指对象不确定，“聪明”与“近似”这些概念界限不清晰. 思考3 （3）、（4）例子中的对象有什么共同特征？ 提示：两个例子中的研究对象都很明确，且均指“所有的”，即某种研究对 象的全体. 返回导航 8 ［知识梳理］ 1.元素 一般地，我们把研究①______统称为元素，元素通常用小写拉丁字母,, , 表示. 对象 2.集合 总体 返回导航 9 3.集合相等 只要构成两个集合的元素是③________，我们就称这两个集合相等. 一样的 返回导航 10 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）集合中的元素一定是数.( ) × （2）参加2025年哈尔滨亚洲冬季运动会闭幕式的全体人员是一个集合. ( ) √ （3）由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合.( ) √ （4）一个集合中可以找到两个相同的元素.( ) × 返回导航 11 2.（多选）下列对象能构成集合的有( ) A.接近于2 025的所有正整数 B.小于 的实数 C.未来10年内的房价趋势 D.点与点 解析：选 .对于A，接近于2 025的所有正整数的标准不明确，不能构成 集合； 对于B，小于 的实数是确定的，能构成集合； 对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合； 对于D，点与点 是两个不同的点，是确定的，能构成集合. √ √ 返回导航 12 3.英文单词 的所有字母组成的集合共有___个元素. 6 解析：英文单词中不同的字母有C，，，，， ，共6个，故所 有字母组成的集合共有6个元素. 返回导航 13 一组对象能构成集合的两个条件 （1）能找到一个明确的标准，使得对于任意一个对象，都能确定它是不 是给定集合中的元素. （2）该组中各个对象是不同的. 返回导航 14 二 元素与集合之间的关系 思考1 如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？ 提示：是男生就去，不是男生就不去. 思考2 非负整数集与正整数集有何区别？ 提示：非负整数集包括元素0，而正整数集不包括元素0. 返回导航 15 ［知识梳理］ 1.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 是集合 中的元素 ①___ 属于集合 不属于 不是集合 中的元素 ②___ 不属于集合 2.常用的数集及其记法 常用数集 非负整数集 （自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ③___ ④________ ⑤___ ⑥___ ⑦___ 或 返回导航 16 ［例1］ （1）已知集合中的元素满足 ，则下列选项正确的是 ( ) A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 解析：由，解得，因为，，故，且 . √ 返回导航 17 （2）用符号“ ”或“ ”填空： ___；___；___ ； ___ . 解析：因为为自然数集，为整数集，为有理数集， 为实数集，所以 ；；； . 返回导航 18 判断元素和集合之间关系的方法 （1）直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知 集合中是否出现即可. （2）推理法:首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素 是否满足集合中元素所具有的特征即可. 返回导航 19 ［跟踪训练1］ （1）（多选）下列元素与集合的关系判断正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析：选.因为为自然数集，为整数集，为有理数集， 为实数集， 所以，A错误；，B正确；，C错误； ，D正确. √ √ 返回导航 20 （2）若是16和24的公约数组成的集合，用符号“ ”或“ ”判断下列元素 与集合 的关系： 8___；3___；2___ . 解析：根据题意，集合中的元素有1，2，4，8，所以;; . 返回导航 21 三 集合中元素特征的应用 ［例2］ 已知集合中含有两个元素和，若，则实数 的值为____. 解析：若，则或 ， 当时，，不符合集合中元素的互异性，所以 ； 当时，，因为，所以，此时集合 中含有两个元 素1， ，符合集合中元素的互异性. 综上所述， . 返回导航 22 母题探究 若本例条件变为“已知集合中含有两个元素1和，若 ”， 求实数 的值. 解：由可知，或 . 当时，此时，与集合中元素的互异性矛盾，所以 ；当 时，或（舍去），当 时，经检验，符合题意.综上 可知， . 返回导航 23 根据集合中元素的特征求值的步骤 返回导航 24 ［跟踪训练2］ （1）若一个集合含有两个元素和，则实数 需满 足_____________． 且 解析：由集合中元素的互异性可得，解得且 . （2）已知集合的所有元素为2，4，6，若，且有，求 的值. 解：若，则 ，符合题意； 若，则 ，符合题意； 若，则 ，不符合题意. 所以 的值是2或4. 返回导航 25 PART 02 课堂巩固 自测 26 1.（教材P练习T 改编）下列各组对象可以构成集合的是( ) A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.所有小的正数 解析：选B.对于A，“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于B，小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于C，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定， 因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于D，“小”没有明确的标准，所以不能构成集合. √ 返回导航 27 2.（多选）（教材P练习T 改编）下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选.对于A， 是实数， 即 ，A正确； 对于B， ，B错误； 对于C，是无理数，所以 ，C正确； 对于D，不是 的元素，D错误. √ √ 返回导航 28 3.已知集合中有两个元素和，集合中有两个元素0和 ，若 ，则 ___. 0 解析：由于，且 , 所以 解得 ，经检验，符合题意. 返回导航 29 4.已知集合中含有三个元素1，0，，若，求实数 的值. 解：依题意，且，于是且，由，得 ， 解得或（舍去），所以实数的值为 . 返回导航 30 课堂小结 1.已学习：集合的概念、集合中元素的特征、元素与集合之间的关系. 2.须贯通：（1）集合与元素的关系,<m></m>或<m></m>这两种情况必有一种且只 有一种成立; （2）求集合中的参数时常用到分类讨论思想. 3.应注意：（1）自然数集中容易遗忘0这个元素; （2）集合中易忽略元素的互异性. 返回导航 $