精品解析：山西省太原市2025—2026学年上学期期中测试九年级数学试题

2025~2026学年第一学期九年级期中学业诊断 数学 （考试时间：上午8：00－9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（ ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，将方程移项化为一般形式，再比较系数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 故选：D． 2. 若（），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．将等式两边分别同时除以12和，即可判断答案． 【详解】解：对于选项A、B和D， ，且 ， 两边同时除以12，得 ， 即， 故选项A正确，符合题意；选项B和D错误，不符合题意； 对于选项 C， 将两边同时除以，得 ， 即， 故选项C错误，不符合题意； 故选：A． 3. 兴趣小组利用计算器进行模拟试验，来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，下表是他们试验中获得的数据．通过该小组试验估计，“6个人中有2个人生肖相同”的概率约为（精确到0.01）（ ） 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “6人中有2个人生肖相同”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “6人中有2个人生肖相同”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 A. 0.76 B. 0.77 C. 0.78 D. 0.79 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，试验次数较大时，频率稳定在某个值附近，该值可作为概率的估计值，从数据看，频率稳定在0.781附近，精确到0.01即为0.78，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵试验次数达到1000以上时，频率稳定在0.781附近， ∴估计概率为0.781，精确到0.01即为0.78， 故选：C． 4. 如图，直线，直线，与，，分别相交于，，和点，，．若，，则的长是（ ） A. B. C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 5. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则它的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键．根据菱形的对角线互相垂直平分，得到，，，再根据勾股定理，即可求得答案． 【详解】解：如图，设菱形的对角线交于点O，对角线，， ，，， ， 即菱形的边长为5． 故选：A． 6. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握用一元二次方程根的判别式来判断根的情况是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根．通过计算判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根． 故选：B． 7. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形添加条件判定矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合添加各选项的条件逐一判别即得． 【详解】解：A、， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， 故A能判定，该选项不符合题意； B、， ∴平行四边形为矩形， 故B能判定，该选项不符合题意； C、 ∴是直角三角形， ， ∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意； D、添加， 不能判定或， ∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意． 故选： D． 8. 《数学之美》特种邮票于今年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是列表法或树状图法求概率求概率，列表得到共有种等可能的结果，其中抽到的两枚邮票图案名称不相同的结果有种，再由概率公式求解即可. 【详解】解：把邮票图案分别为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”的张邮票分别记为、、、，列表如下： 共有种等可能的结果，其中抽到的两枚邮票图案名称不相同的结果有种， ∴抽到的邮票图案名称不相同的概率为 ， 故选: C． 9. 今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题，根据平均增长率的定义，每年增长比率相同，故两年后数量为初始值乘以的平方，由此列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则2024年游客人次为万人次，2025年游客人次为万人次， ∵2025年预计为165万人次， ∴， 故选：A． 10. 如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．利用直角三角形斜边中线的性质，求得，利用三角形的外角性质求得，据此求解即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 一元二次方程的根为______． 【答案】x1=-2， x2=1 【解析】 【分析】利用因式分解法把原方程转化为x+2=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可求解． 【详解】解：∵(x+2) (x−1)=0 ， ∴ x+2=0或x-1=0， 解得x1=-2， x2=1 ， 故答案为：x1=-2， x2=1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，求解即可． 12. 如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为______． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的边长之比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：设大号地砖的边长为， 则， 解得， 大号地砖的边长为． 故答案为：50． 13. 如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂，并画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可. 【详解】解：将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂， 画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果，其中可配成紫色的结果数有种， 所以配成紫色的概率是 ． 故答案为： ． 14. 某小区为规范电动自行车充电安全管理，计划新建一个形状为长方体的车棚，设计图如图所示，车棚内三面墙上装有与地面平行的，，三段不锈钢轨道（图中灰色部分），便于安装充电插座．已知该车棚地面占地面积为80平方米，三段不锈钢轨道总长为28米，则段不锈钢轨道的长为______米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的求解，理解题意是解决本题的关键． 设段的长为米，段的长为米，根据题意可列和，运用代入消元法求解再结合一元二次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：设段的长为米，段的长为米， ∵三段不锈钢轨道总长为28米， ∴； ∵车棚地面占地面积为80平方米， ∴， ∴， 将变形为， 将代入中， ， 解得或， 当时，； 当时，． ∵， ∴， ∴只有，符合条件． 故答案为：20． 15. 如图，已知正方形中，，点在正方形的外部，在直线同侧，且，连接．若，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点，延长至，使，连接，先证，由勾股定理得，由正方形的性质得，则，通过证明得到，设，则，根据线段的和差列出方程，解得，最后计算的长，即可解答. 【详解】解：如图，延长，交于点，延长至，使，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法， 因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）配方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得， 两边开平方，得， 即，或． 所以，． 【小问2详解】 移项，得， 分解因式，得， 所以或， 所以，． 17. 已知：如图，在中，，为边上的中线，点是外的一点，，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】 解：四边形是菱形．理由如下， 在中，，是边上的中线， ，， ． ，， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了证明四边形是平行四边形，证明四边形是菱形，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定求解． 【详解】略 18. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用画树状图或列表求事件概率，熟练掌握用画树状图或列表求事件概率是解题的关键．根据题意列表罗列所有等可能结果，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有种，即可根据概率计算公式计算． 【详解】解：所有可能的结果列表如下： 小平 小何 A B C A B C 由列表可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有4种， 所以，恰好有一个文件袋装有空中无人作战方队图片的概率是． 19. 如图，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率y（单位：/天）与年龄x（单位：岁）近似满足关系：．现测得某砗磲样本的平均日生长速率为天，求它的年龄． 【答案】64岁 【解析】 【分析】将代入，得到一元二次方程，求解方程即得答案． 【详解】解：将代入， 得， 解得，（不符合题意，舍去） 答：该砗磲样本的年龄为64岁． 20. 综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为． 问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… （1）根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； （2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似多边形； （1）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可； （2）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可． 【小问1详解】 解：矩形的两边长分别为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：矩形的两边为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得， 故答案为：． 21. 第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销． 信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表： 每周销量 80个 每个盈利 16元 市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个 问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】4元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列方程求解是关键．设每件玩具应降价x元，则此款玩具的销售利润为元，销量为个，即可列方程求解． 【详解】解：设每件玩具应降价元， 由题意，得， 解，得， 答：每件玩具应降价4元． 22. 阅读与理解 下面是一篇数学科普读物的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 有趣的单尺作图 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、延长已知线段、连接已知两点．解决单尺作图问题，需要在分析已知图形性质的基础上，借助直尺不断构造新的线段与点，进而作出所求图形． 如图1，已知菱形中，点是边上的一点．现要用单尺作图，在边上求作一点，使．作法如下： 如图2，第1步：连接； 第2步：连接交于点； 第3步：作射线交于点．点即为所求作的点． 上述作法可以用菱形的轴对称性来理解——即菱形关于对角线所在直线对称，所求作的点与点也关于直线对称，由此可自然得到上述作法 ．．．．．． 任务：请用单尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （1）类比操作：如图3，点是菱形边上的一点，连接．求作，使，且点在边上； （2）拓展探究：①如图4，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使；②如图5，四边形中，的平分线交边于点．求作线段的中点． 【答案】（1） 如图， （2） 如图， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握无刻度直尺作图的方法是解题的关键． （1）利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）连接， 交于点， 连接并延长交于点，则结论可得； ②连接，交于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接交于点，则结论可得． 【小问1详解】 解：.连接， 交于点， .连接并延长交于点， .连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 为所求； 【小问2详解】 解：①.连接， 交于点， 2.连接并延长交于点， 由作图可得，，， ∴， ∴， 则点为所求； ②.延长，交于点， .连接交于点， .连接并延长交于点， .连接交于点， 则点为线段的中点． ∵，平分， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：∵四边形都是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①结论： ，理由： ∵四边形都是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ； ②或2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据矩形的性质，证明，即可得到结论； （2）①利用全等三角形的性质证明即可； ②先得到是等边三角形，当点落在的延长线上时，四边形是菱形，此时，，求出比值；当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形，根据的直角三角形的性质和勾股定理求出，然后计算比值即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②如图中， 连接， ∵，，， ∴， ∴， 是等边三角形， 当点落在的延长线上时，四边形是菱形， 此时，， ； 当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形， 此时，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期九年级期中学业诊断 数学 （考试时间：上午8：00－9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（ ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 2. 若（），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 兴趣小组利用计算器进行模拟试验，来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，下表是他们试验中获得的数据．通过该小组试验估计，“6个人中有2个人生肖相同”的概率约为（精确到0.01）（ ） 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “6人中有2个人生肖相同”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “6人中有2个人生肖相同”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 A. 0.76 B. 0.77 C. 0.78 D. 0.79 4. 如图，直线，直线，与，，分别相交于，，和点，，．若，，则的长是（ ） A. B. C. 6 D. 10 5. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则它的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 6. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 8. 《数学之美》特种邮票于今年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 一元二次方程的根为______． 12. 如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为______． 13. 如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为___________． 14. 某小区为规范电动自行车充电安全管理，计划新建一个形状为长方体的车棚，设计图如图所示，车棚内三面墙上装有与地面平行的，，三段不锈钢轨道（图中灰色部分），便于安装充电插座．已知该车棚地面占地面积为80平方米，三段不锈钢轨道总长为28米，则段不锈钢轨道的长为______米． 15. 如图，已知正方形中，，点在正方形的外部，在直线同侧，且，连接．若，则线段的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 17. 已知：如图，在中，，为边上的中线，点是外的一点，，．试判断四边形的形状，并说明理由． 18. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 19. 如图，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率y（单位：/天）与年龄x（单位：岁）近似满足关系：．现测得某砗磲样本的平均日生长速率为天，求它的年龄． 20. 综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为． 问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… （1）根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； （2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 21. 第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销． 信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表： 每周销量 80个 每个盈利 16元 市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个 问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？ 22. 阅读与理解 下面是一篇数学科普读物的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 有趣的单尺作图 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、延长已知线段、连接已知两点．解决单尺作图问题，需要在分析已知图形性质的基础上，借助直尺不断构造新的线段与点，进而作出所求图形． 如图1，已知菱形中，点是边上的一点．现要用单尺作图，在边上求作一点，使．作法如下： 如图2，第1步：连接； 第2步：连接交于点； 第3步：作射线交于点．点即为所求作的点． 上述作法可以用菱形的轴对称性来理解——即菱形关于对角线所在直线对称，所求作的点与点也关于直线对称，由此可自然得到上述作法 ．．．．．． 任务：请用单尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （1）类比操作：如图3，点是菱形边上的一点，连接．求作，使，且点在边上； （2）拓展探究：①如图4，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使；②如图5，四边形中，的平分线交边于点．求作线段的中点． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $