精品解析：辽宁省葫芦岛市绥中县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025－2026学年度第一学期第一次质量监测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在美术字中，有些文字、字母和数字是轴对称的．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、“诚”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、“信”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、“自”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、“由”是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 2. 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据，可证，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3. 将一块含角的直角三角尺和直尺如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质；由平行线的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质，三角形外角的性质求角度是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：， ， ， ， ， 故选：A． 4. 如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是的高 B. 是的角平分线 C. 是的中线 D. 与的面积相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，三角形中线的性质，三角形的重心是该三角形三条中线的交点，再根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵点O是的重心， ∴都是的中线， ∴与的面积相等， 根据现有条件无法证明是的高，是的角平分线，是的中线， 故选：D． 5. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点在的平分线上，点到边的距离等于5， ∴点到的距离为5， ∵点是边上的任意一点， ∴． 故选：B． 6. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，，，如果根据“”判断，那么需要补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定方法，“”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案． 【详解】解：需要补充的条件是， 在和中， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 7. 如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大． 利用等边对等角求得，然后利用线段的垂直平分线的性质与三角形外角的性质求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵由作图可得：的垂直平分线交于， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，点P，M，N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，点N，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的定义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 10. 如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先证明，即可证明得到，即可判断①②；设与的交点为，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③；过点作于，于，先证明得到，即可证明得到，假设平分，则可证得到，这与矛盾，即可判断④． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ，故②正确； 设于的交点为， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ， ，故③正确； 过点作于，于， ， 又，， ， ， 又， ， ， 假设平分， ， ，即， 又， ， ，这与矛盾， 不平分，故④错误， 故正确的有：①②③． 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 12. 若点A（2，m）关于y轴的对称点是B（n，5），则mn的值是_____． 【答案】-10 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x, y), 关于x轴的对称点的坐标是(x, -y), 关于y轴的对称点的坐标是(-x, y), 根据关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数得出m, n的值, 从而得出mn. 【详解】解:点A (2, m) 关于y轴的对称点是B (n，5), n=-2,m=5, mn=-10. 故答案为-10. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系. 关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数, 是需要识记的内容. 13. 小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两个锐角互余，解题关键利用直角三角形两个锐角互余求出相应角度． 根据求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，平分，若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由直角三角形的性质可得，，进而由角平分线的定义得，即得，，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，平分，点A，B是射线上的点，连接，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D； ②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作射线，交于点P． 若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，三角形外角的性质，根据作图方法可得平分，据此求出，根据平分求出，进而利用即可求出答案． 【详解】解：由作图方法可得平分 ， ∵平分， ∴ ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）等腰三角形的一边长等于，周长等于，求其他两边的长． （2）如图，在中，，，平分，求的度数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）分腰长为和底边长为两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可； （2）先由三角形内角和定理得到的度数，再由角平分线的定义得到的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 解：当腰长为时，则底边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当底边长为时，则腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的另外两边长分别为，； 综上所述，该等腰三角形的另外两边长分别为，； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E． （1）求证：BC＝DC； （2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数． 【答案】（1）见解析 （2）∠ACB＝140° 【解析】 【分析】（1）根据“”证明，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【小问1详解】 证明：， ， 即． 在和中 ， ， ； 【小问2详解】 解：， ． ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质知识． 18. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出△ABC关于x轴对称的 （其中分别是A，B，C的对应点，不写画法）并写出的坐标； （2）点P在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的P点有____个． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰三角形的定义，熟知相关知识是解题的关键。 （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）先以点B为圆心，的长为半径画圆得到与坐标轴的交点，再以点C为圆心、的长为半径画圆得到与坐标轴的交点，然后将两圆的交点连接可得的垂直平分线，从而可得到与坐标轴的交点，由此即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，则； 【小问2详解】 解：如图所示，一共有10个点满足题意； 19. 如图，直线与相交于点A，平分． （1）利用尺规：过点B作直线，交于点D； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：，如图所示； （2） 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，作一个角等于已知角，平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在点处作，根据内错角相等，两直线平行，得出，即可作答． （2）先结合平行线的性质得，根据角平分线的定义得，因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，四边形中，，，于D． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）如图：作于E，易得；再证明可得，最后根据角平分线的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质以及已知条件可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：作于E， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 小聪同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小聪用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）小聪认为与一定相等，你同意他的看法吗?请说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）同意，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，再根据同角的余角相等即可得解； （2）证明，得出，，即可得解． 【小问1详解】 解：同意，理由如下： 由题意可知，，， ∴ ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即的长为． 22. 【问题初探】 （1）如图1，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接、，求的最小值； 【变式探究】 （2）如图2，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图3，，是内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为5时，求的长． 【答案】（1）3；（2）3；（3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明垂直平分，，则，据此可证明当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，求出线段的长即可得到答案； （2）过点P作于H，由三线合一定理得到，则，即可得到，则当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案； （3）分别作点P关于射线的对称点G和H，连接，可证明当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长，则；证明是等边三角形，可得． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在等边三角形中，是的高，是的中点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵都是等边三角形的高， ∴， ∴的最小值为3； （2）解：如图所示，过点P作于H， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵此时， ∴为的高， ∴， ∴的最小值为3； （3）如图所示，分别作点P关于射线的对称点G和H，连接， 由轴对称的性质可得， ， ∴的周长， ∴当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长， ∵周长的最小值为5， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 23. 【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点，求证：； 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点； 【类比深探】 （3）如图3，在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接．当点在点上方，猜想并证明，的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）在上截取，连接，可证明；则由三线合一定理得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得结论． 【详解】解：（1）∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∴； ∵点为中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期第一次质量监测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在美术字中，有些文字、字母和数字是轴对称的．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 将一块含角的直角三角尺和直尺如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是的高 B. 是的角平分线 C. 是的中线 D. 与的面积相等 5. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A. B. C. D. 6. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，，，如果根据“”判断，那么需要补充的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点P，M，N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，点N，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 12. 若点A（2，m）关于y轴的对称点是B（n，5），则mn的值是_____． 13. 小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则________． 14. 如图，在中，，，平分，若，则的长度为______． 15. 如图，平分，点A，B是射线上的点，连接，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D； ②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作射线，交于点P． 若，则的度数为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）等腰三角形的一边长等于，周长等于，求其他两边的长． （2）如图，在中，，，平分，求的度数． 17. 如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E． （1）求证：BC＝DC； （2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数． 18. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出△ABC关于x轴对称的 （其中分别是A，B，C的对应点，不写画法）并写出的坐标； （2）点P在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的P点有____个． 19. 如图，直线与相交于点A，平分． （1）利用尺规：过点B作直线，交于点D； （2）若，求的度数． 20. 如图，四边形中，，，于D． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 21. 小聪同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小聪用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）小聪认为与一定相等，你同意他的看法吗?请说明理由； （2）求的长． 22. 【问题初探】 （1）如图1，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接、，求的最小值； 【变式探究】 （2）如图2，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图3，，是内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为5时，求的长． 23. 【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点，求证：； 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点； 【类比深探】 （3）如图3，在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接．当点在点上方，猜想并证明，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $