全国初中数学七年级竞赛模拟卷（三）七年级全国通用

全国初中数学七年级竞赛模拟卷（三） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．若实数满足，则点所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是掌握不等式的解法及四个象限的点的坐标的特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）． 根据题意可得异号，再根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征可判断出点所在象限． 【详解】解：∵， ∴异号， ∴当时，点所在的象限为第四象限； 当时，点所在的象限为第二象限； 综上所述，点所在的象限为第二、四象限． 故选：B 2．在数，，，0.303030…，，，0.01001000100001…中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据无理数的概念可判断出无理数的个数．本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如；②开方开不尽的数，如；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：，，，0.303030…是有理数， ，，0.01001000100001…是无理数． 故选：B． 3．若是关于的一元一次方程，则代数式的值是（    ） A．54 B．56 C．169 D．171 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式的求值，解题的关键是根据一元一次方程的定义求出的值，进而得到关于的一元一次方程，求出后再代入代数式计算． 根据一元一次方程的定义确定的取值，得到关于的一元一次方程并求解x，将、的值代入代数式，计算出结果． 【详解】解：因为是关于的一元一次方程，所以需满足： 二次项系数为，解得； 一次项系数不为，即． 综上，， 将代入原方程，得，解得， 把代入代数式， 的值为， 的值为， 则． 故选：D． 4．如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角性质的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，熟记平行线的性质是解决本题的关键， 过C作，延长交于N，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，过C作，延长交于N， 则，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 5．世界著名的莱布尼茨三角形如图所示，其排在第9行从左边数第3个位置上的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数字变化规律，明确题意、发现数字的变化特点是解答本题的关键． 根据图中的数据，可以发现每一行开始的数字特点和每个小三角形中的三个数字之间的关系，然后即可写出排在第9行从左边数第3个位置上的数． 【详解】解：由图中的数据可得， 每一行的第一个数字都是对应的这一行行数的倒数，每个小三角形中数字，都是左下角的数字与右下角的数字之和等于顶角的数字， 故第7行的第一个数字是， 第8行的第一个数字是，第二个数字是， 第9行的第一个数字是，第二个数字是，第三个数字是． 故选：D． 6．对于下列说法： ①若、互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，，则的值为． 其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、有理数的加法法则，绝对值的意义，有理数的乘除法则等知识，熟知相关知识并根据题意逐项判断是解题关键． 【详解】解：∵0的相反数是0， ∴当时，则无意义，故①结论错误，不符合题意； ∵， ∴、同号或至少一个为0时， ∴，故②结论正确，符合题意； 如图，设点P表示有理数x，由绝对值的意义得， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最小值为7， ∴③结论正确，符合题意； ∵，， ∴中必然为两个正数，一个负数， 设， 则， ∴④结论错误，不合题意． 故选：B 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．若关于的不等式组 恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．求出不等式组的解集，由不等式组恰好只有2个整数解，确定出a的范围，即可求得满足条件的整数． 【详解】解：解不等式组得∶． 关于x的不等式组 恰好只有2个整数解， ∴，即， ∴满足条件的整数a的值为0、1、2、3， ∴整数a的值之和是， 故答案为：6 8．创新社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天）若该社区共有1500户居民，请估计社区每天进行垃圾分类的住户约有 户． 【答案】300 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，先由A类别的户数及其所占百分比可得被调查的总户数，用总户数乘以样本中D类别户数所占比例可得答案． 【详解】解：被调查的总户数为（户）， （户）， 即估计社区每天进行垃圾分类的住户约有300户， 故答案为：300． 9．如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 【答案】/180度 【分析】本题考查三角板中得角度计算，几何题中得角度计算等．根据题意可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．根据下图所示的程序，当输入时，输出 ． 【答案】4033 【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用程序图中的程序将代入计算即可． 【详解】解：∵是奇数， ∴， ∴， 故答案为：4033． 11．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键在于灵活运用整体思想，消元思想．将代入得，由①②得关于的代数式⑤，再利用整体思想，设，可将原方程化简为：，由③④得关于的代数式⑥，由⑤、⑥消元即可得出m、n的值，即可求出方程的解． 【详解】解：将代入， 得， 由①②得， 设，原方程化简为：， 由③④得：， 将⑤代入⑥得：， 整理得：； ∴ ，即， 解得：． 故答案为：． 12．设标有A、B、C、D、E、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现有A、C、E、G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小明从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，即又从A到G，…，他这样拉动了1999次开关，最后记号为 的灯是开的．（请将开着的灯的记号全部填写在横线上） 【答案】、、 【分析】本题考查了数字类规律探索，由题意可得一盏灯的开关倍拉动奇数次后，改变原来的状态，而一盏灯的开关倍拉动偶数次后，不改变原来的状态，结合得出小明拉动了1999次开关后，、、、四盏灯不改变状态，、、三盏灯改变原来的状态，即可得解． 【详解】解：由题意可得：一盏灯的开关倍拉动奇数次后，改变原来的状态，而一盏灯的开关倍拉动偶数次后，不改变原来的状态， ∵， ∴、、、四盏灯的开关各被拉动了次，而、、三盏灯的开关各拉动了次， ∴小明拉动了1999次开关后，、、、四盏灯不改变状态，、、三盏灯改变原来的状态， 故、、是开着的， 故答案为：、、． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）阅读下列材料： 已知“，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：． ，得． 又．① 同理，．② 由①+②得， 的取值范围是． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)已知，且，请直接写出的取值范围是_________； (2)已知，且，求：的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中给定的方法进行求解即可； （2）根据题干中给定的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即：； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 14．（本题10分）阅读下面材料： 定义：如果一个数的平方等于，记作，这个数叫做虚数单位，把形如（a、b为实）的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个数的虚部，它的加减乘法运算类似． 例如：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； ； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)，1 (2) (3)0 【分析】（1）把代入求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把代入求解即可； （3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解． 本题考查实数的运算，理解新定义掌握有理数的四则混合运算法则是关键． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，1； （2）解： ； （3）解： ． 15．（本题10分）阅读材料： 求的值． 解：设．① 将等式①的两边同乘2，得．② ②－①得， 即 即 请仿照此法计算： (1)直接写出的值为______； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，含乘方的有理数混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算加法即可得到答案； （2）设，则，上述两式子相减得到，则； （3）设，则，两式子相加得到，求出，再计算的值即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设， ∴， ∴ ， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ． 16．（本题10分）已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则__________；若，则__________；与的数量关系是__________． (2)当绕点顺时针旋转到如图2的位置时（在上方），（1）中与的数量关系是否还存在？请说明理由； (3)在图2中，反向延长得射线，试探索射线能否平分，若能，求的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，理由见解析 (3)射线不能平分，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，以及角平分线定义，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据角的和差，以及角平分线定义，结合图形计算求解即可； （2）利用角平分线定义得到，再结合角的和差与等角的代换推出，即可解题； （3）根据题意得到，再结合角平分线定义推出大于平角，此时就不在的上方，即可说明射线不能平分． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分． ∴， ∴； ∵是直角，， ∴， ∵平分． ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：射线不能平分，理由如下： 如图，∵， ∴， ∴，即为钝角， 若平分，则大于平角，此时就不在的上方， 所以在图2中，射线不能平分． 17．（本题10分）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由： (2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求的度数： ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；②或． 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键． （1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可． （2）①根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义，利用平角的定义求出的度数，根据平行线的性质求，即可解决问题； ②分为当点在的右侧时及当点在的左侧时，这两种情况进行讨论，根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1中， 平分交于点， ， ． ， ． （2）解：①如图2中， ， ， ， ． 平分， ， ， ， ，则， ， ， ， ， ； ②猜想：或； 理由：当点在的右侧时， ， ， ， ，， ， ， ， ． 当点在的左侧时， ， ∴， ，， ， ， ， ． 综上所述，或． 18．（本题12分）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． (1)若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是________； (2)如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为________； (3)如图2， A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8． ①若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过________秒时，点R是P和Q的幸福中心； ②若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或1 (2)7 (3)①或；②当时，的值为定值30 【分析】（1）设点F表示的数为x，根据幸福点的定义列出方程，解方程即可得到答案； （2）设点F表示的数为m，根据幸福中心的定义列出方程，再讨论m的取值范围，去绝对值求出当时，，由此求出满足题意的整数m，再求和即可得到答案； （3）①设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据幸福中心的定义得到，然后讨论m的取值范围，去绝对值求解即可；②设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，求出，，，进而求出，再根据的值与t无关，则，解得，进而求出定值的值即可． 【详解】（1）解：设点F表示的数为x， 由题意得，， ∴或， ∴或， ∴A的幸福点F所表示的数应该是或1， 故答案为：或1； （2）解：设点F表示的数为m， 由题意得， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，，即此时点F和点M和点N的幸福中心， ∴满足题意的整数m有， ∴F所表示的所有数中，整数之和为， 故答案为：7； （3）解：①设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∵点R是P和Q的幸福中心， ∴， ∴， 当时，， 解得，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 综上所述，经过秒或秒，点R是P和Q的幸福中心； 故答案为：或； ②设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∴，，， ∴ ， ∵的值为定值， ∴的值与t无关， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值为定值30． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国初中数学七年级竞赛模拟卷（三） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．若实数满足，则点所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 2．在数，，，0.303030…，，，0.01001000100001…中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若是关于的一元一次方程，则代数式的值是（    ） A．54 B．56 C．169 D．171 4．如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 5．世界著名的莱布尼茨三角形如图所示，其排在第9行从左边数第3个位置上的数是（　　） A． B． C． D． 6．对于下列说法： ①若、互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，，则的值为． 其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．若关于的不等式组 恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 8．创新社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天）若该社区共有1500户居民，请估计社区每天进行垃圾分类的住户约有 户． 9．如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 10．根据下图所示的程序，当输入时，输出 ． 11．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 12．设标有A、B、C、D、E、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现有A、C、E、G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小明从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，即又从A到G，…，他这样拉动了1999次开关，最后记号为 的灯是开的．（请将开着的灯的记号全部填写在横线上） 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）阅读下列材料： 已知“，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：． ，得． 又．① 同理，．② 由①+②得， 的取值范围是． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)已知，且，请直接写出的取值范围是_________； (2)已知，且，求：的取值范围． 14．（本题10分）阅读下面材料： 定义：如果一个数的平方等于，记作，这个数叫做虚数单位，把形如（a、b为实）的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个数的虚部，它的加减乘法运算类似． 例如：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； ； (2)计算：； (3)计算： 15．（本题10分）阅读材料： 求的值． 解：设．① 将等式①的两边同乘2，得．② ②－①得， 即 即 请仿照此法计算： (1)直接写出的值为______； (2)求的值； (3)求的值． 16．（本题10分）已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则__________；若，则__________；与的数量关系是__________． (2)当绕点顺时针旋转到如图2的位置时（在上方），（1）中与的数量关系是否还存在？请说明理由； (3)在图2中，反向延长得射线，试探索射线能否平分，若能，求的度数；若不能，请说明理由． 17．（本题10分）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由： (2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求的度数： ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 18．（本题12分）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． (1)若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是________； (2)如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为________； (3)如图2， A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8． ①若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过________秒时，点R是P和Q的幸福中心； ②若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $