精品解析：河北省唐山市丰润区2025-2026学年上学期期中检测 九年级数学试卷

丰润区2025—2026学年度第一学期期中检测 九年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共24题，总分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “垃圾分类，利国利民”，以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 可回收物 B. 有害垃圾 C. 厨余垃圾 D. 其他垃圾 2. 若关于x的方程（）的一个根是，则的值是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 3. 四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 解下列一元二次方程可以直接开平方的是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A. 轴对称 B. 旋转 C. 中心对称 D. 平移 7. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ） 原方程 甲 乙 丙 丁 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，绕点A逆时针旋转得到，若，则（ ）． A. B. C. D. 10. 如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2+ 11. 随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片．若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一段抛物线，记为抛物线；它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，16题第一空2分第二空1分，共12分） 13. 已知点与关于原点对称，则___________． 14. 抛物线部分图像如图所示，则关于的方程的解是______． 15. 如图所示，是的直径，是非直径的弦，与相交于点．添加一个条件可以得到，这个条件可以是____（写出一个即可）． 16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，则的值为________． 三、解答题（本大题有8小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18 如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． （1）旋转中心是点________，旋转了________度； （2）若，求四边形面积． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 20. 已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣3m＋2＝0的常数项为0 （1）求m的值； （2）求此时一元二次方程的解． 21. 如图，正方形在半圆内部，顶点在圆上，在直径上． （1）______（填“”“”或“”）； （2）在正方形右侧再作一个小正方形，点在直径上，点在上，点在半圆弧上；若正方形的边长为，求正方形的边长． 22. 若规定：如果抛物线的顶点在轴上，那么称该抛物线为“横轴函数”，例如抛物线和都是“横轴函数”． （1）抛物线______（填“是”或“不是”）“横轴函数”； （2）若抛物线是“横轴函数”，求该抛物线的解析式． 23. 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为万元，设可变成本平均每年增长的百分率为． （1）用含的代数式表示第年的可变成本为______万元； （2）如果该养殖户第年的养殖成本为万元，求可变成本平均每年的增长百分率． 24. 某游乐场圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为． （1）则水柱所在抛物线（第二象限部分）函数解析式为______，雕塑高______； （2）求落水点之间的距离； （3）若需要在上的点处竖立雕塑，，，．问：顶点是否会碰到水柱？请通过计算说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰润区2025—2026学年度第一学期期中检测 九年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共24题，总分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “垃圾分类，利国利民”，以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 可回收物 B. 有害垃圾 C. 厨余垃圾 D. 其他垃圾 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．正确掌握相关定义是解题关键． 2. 若关于x的方程（）的一个根是，则的值是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根的定义，根据定义的是关键．将根代入方程，得到 ，然后整体代入所求表达式即可． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选 C． 3. 四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选：． 4. 解下列一元二次方程可以直接开平方的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 形如的方程可以直接开平方法求解，据此，逐项判定即可． 【详解】解：A、方程不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； B、方程可以直接开平方法求解，故此选项符合题意； C、方程不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； D、方程，变形得，不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的识别，直接根据公式 的顶点坐标 ．据此求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标 ． 故选：D 6. 如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A. 轴对称 B. 旋转 C. 中心对称 D. 平移 【答案】D 【解析】 【分析】考查图形的对称、平移、旋转等变换，对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断； 观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答； 【详解】由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，可能用作的图形变化是旋转变换和中心对称、轴对称变换， 图（1）图形沿某一直线方向移动不能得到图（2）（3）中图形重合，故没有用到平移． 故选：D． 7. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ） 原方程 甲 乙 丙 丁 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， 解得，或， ∴丁错误， 故选：D． 8. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 9. 如图，绕点A逆时针旋转得到，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得到旋转角即可求解． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可． 【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6， ∵a=-1＜0 ∴当x=2时，水柱的最大高度是：6． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题的关键． 11. 随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片．若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找到等量关系并列出方程是解决本题的关键．若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片，根据题意列方程即可． 【详解】解：若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片张， 则可列方程为：． 故选：A． 12. 如图，一段抛物线，记为抛物线；它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的基本规律，根据确定，，图像开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等，计算，判定m与时的函数值相等，只需确定的解析式即可． 【详解】解：根据， ∴，， ∴的解析式为 根据题意，得 函数图像开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等 ∵， ∴m与时的函数值相等， 时，， 故选C． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，16题第一空2分第二空1分，共12分） 13. 已知点与关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键． 14. 抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程， 根据抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为， 设另一个交点为 ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 故答案为; ． 15. 如图所示，是的直径，是非直径的弦，与相交于点．添加一个条件可以得到，这个条件可以是____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，解题的关键是掌握垂径定理的推论． 根据“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”即可得答案． 【详解】解：，是的直径，是非直径的弦， ． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，则的值为________． 【答案】 ①. 是 ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）解方程，然后分是的2倍，是的2倍，两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ， ，， ∵4是2的2倍， ∴方程是“倍根方程”， 故答案为：是； （2）， ∴，， 解：，， ∵是“倍根方程”， ∴当是的2倍时，即，则， ∴当是的2倍时，即， 故答案为：或． 三、解答题（本大题有8小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程整理，利用完全平方公式配方，利用配方法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【小问1详解】 解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 所以方程的解为，； 【小问2详解】 解：， ∴或， 所以方程的解为，． 18. 如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． （1）旋转中心是点________，旋转了________度； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）A，或； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质． （1）根据图形确定旋转中心即可，对应边的夹角即为旋转角，再根据正方形的每一个角都是直角解答； （2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得的面积等于的面积，从而得到四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，点A为旋转中心，在四边形中，， ∴， ∴，， 所以，逆时针旋转了或顺时针； 故答案为：A，或； 【小问2详解】 解：由旋转性质知，， ∴四边形正方形， ∵旋转后能与重合， ∴， ∴， ∴四边形的面积=正方形的面积， ∵， ∴四边形的面积． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出y的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入， 得：， 解得：， ， ， ， 此抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣3m＋2＝0的常数项为0 （1）求m的值； （2）求此时一元二次方程的解． 【答案】（1）m＝2 （2）x1＝0，x2＝﹣5 【解析】 【分析】（1）根据常数项为0，列出关于的方程，解出即可； （2）将的值代入原方程，解出原方程即可 【小问1详解】 解：由题意，得：m2﹣3m+2＝0 解之，得m＝2或m＝1①， 由m﹣1≠0，得：m≠1②， 由①，②得：m＝2； 【小问2详解】 解：当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0， 得x2+5x＝0， x（x+5）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键． 21. 如图，正方形在半圆内部，顶点在圆上，在直径上． （1）______（填“”“”或“”）； （2）在正方形右侧再作一个小正方形，点在直径上，点在上，点在半圆弧上；若正方形的边长为，求正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题是关于圆和正方形的题目，涉及到正方形、圆的有关性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的知识是解决本题的关键． （1）连接，则，在、中利用勾股定理即可得到结论； （2）连接，设正方形的边长为，在中利用勾股定理，得到关于的方程，解方程，问题即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接，，则． 四边形为正方形， ，， ， ． 故答案为： 【小问2详解】 解：如上图，连接，则． 由题意，得，， ． 设正方形的边长为． 在中，， 即，解得（负值已舍去）． 故正方形的边长为． 22. 若规定：如果抛物线的顶点在轴上，那么称该抛物线为“横轴函数”，例如抛物线和都是“横轴函数”． （1）抛物线______（填“是”或“不是”）“横轴函数”； （2）若抛物线是“横轴函数”，求该抛物线的解析式． 【答案】（1）是 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质．把抛物线一般式化为顶点式是解答本题的关键． （1）根据“横轴函数”的定义解答即可； （2）配成顶点式，根据“横轴函数”的定义进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点为，抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线是“横轴函数”； 故答案为：是 【小问2详解】 ， 顶点坐标为． 由于抛物线是“横轴函数”， 顶点在轴上，即，解得：， 抛物线的表达式为或 23. 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为万元，设可变成本平均每年增长的百分率为． （1）用含的代数式表示第年的可变成本为______万元； （2）如果该养殖户第年的养殖成本为万元，求可变成本平均每年的增长百分率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程相关应用题中的“平均增长率”型问题． 对“平均增长率”意义的理解是这类应用题的难点． 这类实际问题中某量的增长一般分为两个阶段且每个阶段的实际增长率不同． 假设该量的值在保持某一增长率不变的前提下由原值增长两次，若所得的最终值与实际的最终值相同，则这一不变的增长率就是该量的“平均增长率”． （1）将基本等量关系“本年的可变成本=前一年的可变成本+本年可变成本的增长量”以及“本年可变成本的增长量=前一年的可变成本×可变成本平均每年增长的百分率”综合整理可得：本年的可变成本=前一年的可变成本×(1+可变成本平均每年增长的百分率)． 根据这一新的等量关系可以由第1年的可变成本依次递推求出第2年以及第3年的可变成本． （2）由题意知，第3年的养殖成本=第3年的固定成本+第3年的可变成本． 现已知固定成本每年均为4万元，在第(1)小题中已求得第3年的可变成本与x的关系式，故根据上述养殖成本的等量关系，容易列出关于x的方程，解方程即可得到x的值． 【小问1详解】 解：∵该养殖户第1年的可变成本为2万元， 又∵该养殖户的可变成本平均每年增长的百分率为x， ∴该养殖户第2年的可变成本为： (万元)， ∴该养殖户第3年的可变成本为： (万元)． 故本小题应填：． 【小问2详解】 根据题意以及第(1)小题的结论，可列关于x的方程： 解此方程，得 ， 由于x为可变成本平均每年增长的百分率，不合题意，故x的值应为，即． 答：可变成本平均每年增长的百分率为． 24. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为． （1）则水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为______，雕塑高______； （2）求落水点之间的距离； （3）若需要在上的点处竖立雕塑，，，．问：顶点是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1）， （2） （3）不会碰到水柱．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． （1）根据轴对称即可求出函数解析式，求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【小问1详解】 解：根据题意可知，水柱所在抛物线的第一象限部分和水柱所在抛物线的第二象限部分关于y轴对称， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为． 由题意得，A点图象上． 当时， ． 故答案为：， 【小问2详解】 由题意得，D点图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． 【小问3详解】 当时，， ， ∴不会碰到水柱． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $