精品解析：安徽省桐城中学2025-2026学年高一上学期第二次学情调研数学试题

桐城中学2025-2026学年度上学期第二次学情调研 高一数学试卷 命题人：盛龙 审题人：吴乐 考生须知： 1.本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.） 1. 下列与集合表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合相等的条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 故选：C. 2. 若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法可得答案. 【详解】若， 则. 故选：B. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 4. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 5. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的定义域、对应关系等，由此确定正确选项. 【详解】A 选项：当 时，，，所以这两个函数的对应法则不同，不是相同函数； B 选项：，其定义域为，，其定义域为. 两个函数的定义域不同，不是相同函数； C 选项：，其定义域为，，其定义域也为. 两个函数的对应法则相同，定义域也相同，是相同函数. D 选项：，其定义域为，，其定义域为. 两个函数的定义域不同，不是相同函数. 综上所述，表示相同函数的一组是 C 选项. 故选：C. 6. 下列比较大小中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数单调性分别判断各选项. 【详解】A选项：由函数在上单调递增，所以，A选项错误； B选项：由函数在上单调递减，则，B选项错误； C选项：，， 又函数上单调递增，所以，即，C选项正确； D选项：，函数在上单调递增， 则，即，D选项错误； 故选：C. 7. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】令，由，所以， 所以是偶函数，的图象关于轴对称， 所以，的图象关于轴对称， 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数.又因为图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由，可得或， 结合图象可得或， 所以的解集是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是得出函数关于对称，以及根据函数的单调性的定义得出的单调性. 8. 已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的解析式，画出函数图象，根据和有个不同的交点可得出. 【详解】当时，，则， 当时，， 则， 当时，，， 所以， 当时，， 因为单调递增且时单调递增， 所以在单调递增，且， 故画出函数图象如下图所示， 函数有3个不同的零点等价于和有个不同的交点， 所以由图象可得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数有3个不同的零点转化为和有个不同的交点的分析，树形结合简化问题的难度. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中正确的是（   ） A. 若，，，则的最大值为 B. 已知，，，则的最小值是 C. 若，则的最小值为4 D. 若，，，则的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】由和为定值，求积的最大值，判断选项A；先根据条件换元，再由基本不等式求解选项B；多次利用基本不等式求解选项C；利用基本不等式“1”的妙用求解选项D. 【详解】对于A，，解得，平方得， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故A错误； 对于B，由，可得，得， 则， 当且仅当，即，故等号不成立，故B错误； 对于C，， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为4，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即时取等号， 所认的最小值为，故D正确. 故选：CD 10. 下列说法中错误的有（ ） A. 命题：，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】需要根据命题的否定、充分必要条件的判断以及方程根的情况，逐个分析每个选项，根据相关的数学概念和定理来判断其正误. 【详解】对于A选项，对于命题，其否定应该是.所以A选项错误. 对于B选项，当时，，，满足，但是. 反之，当时，例如，此时，，. 所以是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误. 对于C选项，当时，，但是，不满足. 所以命题是假命题，C选项错误. 对于D选项，对于方程，若方程有一正一负根，则根据,即.且满足韦达定理，两根之积，即. 取交集得到. 反之，当时，方程的判别式，方程有两个不同的根，且两根之积，所以方程有一正一负根. 所以是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确. 故选：ABC. 11. 已知函数的定义域为，，，，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】通过赋值法依次求得即可判断A；令并结合选项A，即可判断B；令，得，代入计算即可判断C；先将转化，再证明为偶函数，从而，解之即可判断D. 【详解】对于A，令，有，所以， 令，有，所以，即，故A错误； 对于B，令，则，即， 所以函数为偶函数，故B正确； 对于C，令，则，即， 则，故C正确； 对于D，不等式等价于， 即． ，且 ， 又，所以，所以，所以， 所以函数在上单调递增． 因为为偶函数， 所以等价于， 解得，故D不正确． 故选：BC． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民一年的天然气费为元，则此户居民这一年使用的天然气用量为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定该户居民使用的天然气用量所在区间，将其设为，根据阶梯定价标准和总费用可构造方程求得的值. 【详解】年天然气用量为时，天然气费为； 年天然气用量时，天然气费为； 该户居民这一年使用的天然气用量超过但不超过，可设为， 则，解得：， 此户居民这一年使用的天然气用量为. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域是，则的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由抽象函数的定义域的求法求出的定义域，然后求解即可. 【详解】函数的定义域是， 所以，于是， 所以定义域为， 由，解得， 故的定义域为， 故答案为： 14. 设，，若恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出，的大致图象，由恒成立，利用数形结合可得到关于a的不等式，解不等式即可得解. 【详解】 作出函数的图像，向右平移一个单位得到的图像，如图所示. 要使恒成立，必有，即， 又，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是正确作出函数的大致图象，然后根据函数与的图象的关系，数形结合判段的取值范围，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于较难题. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设集合． （1），求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案； （2）依题意可得，讨论集合是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果. 【小问1详解】 当时，可得， 故可得或，而， 所以或 【小问2详解】 由“”是“”的充分不必要条件可得； 当时，，解得，符合题意； 当时，需满足，且和中的等号不能同时取得， 解得； 综上可得，m的取值范围为或. 16. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求a，b的值 （2）若方程仅有一个实数解，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数列方程求解； （2）由题意判别式为0，得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 所以由根与系数的关系可得， 解得或. 【小问2详解】 因为方程仅有一个实数解， 所以，即， 所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17. （1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 【答案】（1）；（2）的最小值20， 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）由（1）知，，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1），， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以. （2）由（1）知， ，当且仅当时取等号， 显然要使成立，需满足，解得 综上可知，当，代数式取得最小值20. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 18. 已知函数是定义在上的奇函数且． （1）求函数的解析式; （2）判断并用定义证明函数在上的单调性; （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上为增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据恒成立求出，再根据求出，故可求函数解析式； （2）利用单调性定义结合函数为奇函数可证得在上为增函数. （3）根据函数单调性结合定义域可得在上恒成立，利用特征法可得，结合判别式可求参数的范围. 【小问1详解】 因为为上的奇函数，故， 故即， 而，故，故，故. 【小问2详解】 在上为增函数，证明如下： 设，则， 因为，故， 所以即即在上为增函数， 而在上为奇函数，故在上为增函数. 【小问3详解】 不等式即为， 故在上恒成立， 所以取，则， 故在上恒成立且， 所以即. 19. 已知函数. （1）若的最小值为，求； （2）在（1）的条件下，在上的最大值为，求的最小值； （3）若，且关于的方程恰有4个互不相等的实数根，求的最小值. 【答案】（1）， （2）0 （3）21 【解析】 【分析】（1）依题意有且，可求出的值； （2）分类讨论在上单调性，表示出最大值，结合二次函数的性质求的最小值； （3）令，设的两根为，由韦达定理得，，因为与各有两个不同的根，由韦达定理，， ，，代入求得，再代入中结合基本不等式求最小值即可. 【小问1详解】 函数, 若，，解得， 又的最小值为，则有，解得 【小问2详解】 由（1）知，其对称轴为， 当即时，在上的最大值， 在上单调递减，的最小值为； 当即时，在上的最大值， 则， 在上单调递增，， 综上可得的最小值为0. 【小问3详解】 令，设的两根为， 由韦达定理得，， 因为与各有两个不同的根， 对于，由韦达定理有，， 对于，由韦达定理有，， 所以 ， 即，化简得， ， 当且仅当，即时等号成立，此时， 经检验当，时，满足题设条件，故最小值21可以取得. 所以的最小值为21. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城中学2025-2026学年度上学期第二次学情调研 高一数学试卷 命题人：盛龙 审题人：吴乐 考生须知： 1.本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.） 1. 下列与集合表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 下列比较大小中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中正确的是（   ） A. 若，，，则的最大值为 B. 已知，，，则的最小值是 C. 若，则的最小值为4 D. 若，，，则的最小值为 10. 下列说法中错误的有（ ） A. 命题：，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于x方程有一正一负根”的充要条件 11. 已知函数的定义域为，，，，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 不等式的解集为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民一年的天然气费为元，则此户居民这一年使用的天然气用量为________. 13. 已知函数的定义域是，则的定义域是__________． 14. 设，，若恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设集合． （1），求； （2）若“”是“”充分不必要条件，求m的取值范围． 16. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求a，b的值 （2）若方程仅有一个实数解，求的最小值. 17. （1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数且． （1）求函数的解析式; （2）判断并用定义证明函数在上的单调性; （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若的最小值为，求； （2）在（1）的条件下，在上的最大值为，求的最小值； （3）若，且关于的方程恰有4个互不相等的实数根，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $