3.1勾股定理的探究（基础篇）讲义 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

3.1勾股定理的探究 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、基本定义 1、勾：直角三角形较短的直角边  2、股：直角三角形较长的直角边  3、弦：斜边 二、勾股定理 1、定理：    直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。 型 习 练 题 用勾股定理理解三角形 1．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求面积，涉及勾股定理求线段长、角平分线性质及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 首先，在中，由勾股定理求出，然后过点作于点，如图所示，由角平分线性质得到，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图所示： 的平分线交于点，，， ， 的面积是， 故选：B． 2．如图，在中，，，延长至点，使，连接，点落在线段的垂直平分线上，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，过点A作，根据，，得出，则，根据垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∵点落在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：A． 3．如图，中，，平分交于点．若，，则到的距离是（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 即点D到的距离是5. 故选：A． 4．如图，在中，为上一点，为上一点，．若，则的长度是（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其解题技巧； 根据得， ，可知，则，在中，求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 在中，. 故选：B. 5．如图，和是两块相互平行的平面镜，与之间的距离为，光线从点出发，照射到点后，再反射到点．根据“知识桥”的内容可知，光线的长为（   ） 知识桥：根据镜面反射规律，若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，作于，则，由平行线的性质并结合题意可得，由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图：作于，则， ∵和是两块相互平行的平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 勾股定理的证明方法 6．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键． 利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， D、利用C中结论，本选项不符合题意． 故选B． 7．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 【答案】C 【分析】本题主要考查了“弦图”的理解，熟练掌握数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理，是解题的关键．根据赵爽用“弦图”证明了勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理． 故选：C． 8．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 故选：D． 9．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 10．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 以弦图为背景的计算题 11．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键． 根据三角形的面积和正方形的面积即可得到结论． 【详解】解：由题意得，， A、可知，又，（负值已舍），故选项A正确，符合题目要求， B、可知，故选项B错误，不符合题目要求， C、可知，故选项C错误，不符合题目要求， D、可知，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：A． 12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 13．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 【答案】B 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算，准确理解题意是解题的关键．根据每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积），代入求解即可． 【详解】解：∵此图是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积）， ∵，， ∴， 故选：B． 14．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：B． 15．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3，且满足则大正方形面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即， ∵， ∴， 得， ∴大正方形的面积为：， 故选：B． 勾股定理与无理数 16．如图，是直角三角形，，点表示2，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先由勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：设点M表示的数为m， ， 由勾股定理得：， 由题意得：， ， 故选：B． 17．如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（   ） A．1 B．1.4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．先利用勾股定理求出的长，再由已知条件得到的长，据此求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ， 点E表示的数为． 故选：C． 18．如图，数轴上点A所表示的数是2，，且．以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C表示（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出的值，然后根据圆的性质即可求解． 根据勾股定理求得的长，然后根据圆的性质即可求解，进而即可判断． 【详解】解：由已知得， ∵，且， ∴在中，， ∵以原点为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴于点， ∴， ∴点所表示的数为； 故选D． 19．如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点C与数轴上与表示1的点重合，点B与原点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，由题意得：，求出直角三角板的斜边，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴直角三角板的斜边， 则， ∴点D表示的数为， 故选：C． 20．如图，在数轴上点表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长． 首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定的值． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 利用勾股定理求线段的平方和（差） 21．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 22．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 23．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 二、填空题 24．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 25．如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题． 【详解】如图，连接，过点作， 设，则矩形中 在与中， 在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1勾股定理的探究 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、基本定义 1、勾：直角三角形较短的直角边  2、股：直角三角形较长的直角边  3、弦：斜边 二、勾股定理 1、定理：    直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。 型 习 练 题 用勾股定理理解三角形 1．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，延长至点，使，连接，点落在线段的垂直平分线上，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 3．如图，中，，平分交于点．若，，则到的距离是（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．8 4．如图，在中，为上一点，为上一点，．若，则的长度是（    ） A．4 B． C． D．3 5．如图，和是两块相互平行的平面镜，与之间的距离为，光线从点出发，照射到点后，再反射到点．根据“知识桥”的内容可知，光线的长为（   ） 知识桥：根据镜面反射规律，若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有． A． B． C． D． 勾股定理的证明方法 6．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 7．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 8．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 9．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 10．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 以弦图为背景的计算题 11．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 13．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 14．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 15．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3，且满足则大正方形面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 勾股定理与无理数 16．如图，是直角三角形，，点表示2，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ）    A． B． C． D． 17．如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（   ） A．1 B．1.4 C． D． 18．如图，数轴上点A所表示的数是2，，且．以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C表示（　　） A． B． C． D． 19．如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点C与数轴上与表示1的点重合，点B与原点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（   ） A． B．1 C． D． 20．如图，在数轴上点表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 利用勾股定理求线段的平方和（差） 21．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 22．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 23．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 24．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 25．如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $