1.5等腰三角形（基础篇）讲义 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

本讲义聚焦等腰三角形核心知识，系统梳理等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边），延伸至等边三角形性质判定及直角三角形推论（30°角对边为斜边一半、斜边中线等于斜边一半等），构建从基础到特殊的递进学习支架。 资料设计贴合提分需求，含思维导图梳理知识体系，35道分类练习题结合实际情境（如纪信祠建筑梁架），培养几何直观与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性强化，弥补知识盲点，提升应用能力。

1.5等腰三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 等腰三角形 1、性质定理： （1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。  2、判断定理： 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边）。 等边三角形 1、性质定理： （1）等边三角形的三条边都相等。 （2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°。 2、拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。 3、判断定理： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。  （4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 直角三角形推论 1、直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 3、拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。 型 习 练 题 等边对等角 1．中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当与全等时，v的值为（　　） A． B．3 C．或3 D．1或5 2．在中，，，则边上的高的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在中，，D，E分别是边，上的点，连接，，且垂直平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，点D、E分别在和上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．纪信祠位于甘肃天水市，又名天水城隍庙，是省级文物保护单位．如图①是该建筑梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，则下列不能说明的是（   ） A． B． C． D． 三线合一 6．如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D．不能确定 7．如图，中，是的角平分线，，以下结论： ①；②；③为的中点；④是等边三角形． 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．中垂线的性质定理 C．角平分线的性质定理 D．等腰三角形的“三线合一” 9．如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 10．如图，在中，，直角的顶点是的中点，连接，两边分别交于点E、F，连接．若，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 等腰三角形的性质和判定 11．已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下作法不正确的是（   ） A．取中点，连接 B．作的平分线交于点 C．过点作于点，且 D．过点作，垂足为 12．如图所示的网格是由16个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均在格点上，则（    ） A． B． C． D． 13．如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 14． 将一个等腰三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形（  ） A．可能是等边三角形 B．不可能是等腰三角形 C．仍然是等腰三角形 D．可能是直角三角形 15．如图，在中，与的平分线相交于点，过点作交于，交于．若，，，则的周长为（   ） A．30 B．33 C．36 D．39 等边三角形的判定和性质 16．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（   ） A．4 B．5 C． D．6 17．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 18．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心， 长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 19．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西的方向行驶70海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶70海里到C地，则A．C两地相距（    ） A．100海里 B．80海里 C．70海里 D．60海里 20．在中，若，，则的值为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 含30度角的直角三角形 21．如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 22．如图，在中，，，，是边上的动点，则的长不可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 23．如图，是等腰直角三角形，，是等边三角形，且，连接CD．则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 24．如图所示，在中，，、是内两点，平分．，若，，则的长度是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 25．如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 斜边的中线等于斜边的一半 26．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 27．如图，中，，点D为AB的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 29．如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 30．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在，上滑动，且，若点M、N分别是的中点，连接，则的长度最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 直角三角形的两个锐角互余 31．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．如图，在中，斜边的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 33．如图，是斜边上的高线，，则（   ） A． B． C． D． 34．如图，中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 35．如图，由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5等腰三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 等腰三角形 1、性质定理： （1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。  2、判断定理： 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边）。 等边三角形 1、性质定理： （1）等边三角形的三条边都相等。 （2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°。 2、拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。 3、判断定理： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。  （4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 直角三角形推论 1、直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 3、拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。 型 习 练 题 等边对等角 1．中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当与全等时，v的值为（　　） A． B．3 C．或3 D．1或5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，得，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为3厘米/秒， 点的运动时间为：， （厘米/秒）； 若，则需厘米，， ， v的值为或3， 故选：C． 2．在中，，，则边上的高的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．等边对等角求出，进而得到即可．掌握等边对等角，30度角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 3．如图，在中，，D，E分别是边，上的点，连接，，且垂直平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 首先由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等求出，进而得出，再利用等腰三角形的性质求得的度数，即可求得的度数； 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴． 故选：B． 4．如图，在中，，，点D、E分别在和上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握等边对等角的性质是解题关键．由等边对等角，得到，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， 故选：B． 5．纪信祠位于甘肃天水市，又名天水城隍庙，是省级文物保护单位．如图①是该建筑梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，则下列不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查等腰三角形“三线合一”、全等三角形性质．关键是区分等腰三角形角相等的固有性质与能推出线段相等的“三线合一”条件，易错点是误将当作推的依据． 逐一分析选项： 选项A、B：由等腰三角形“三线合一”，可推出； 选项C：是的固有性质，无法推出； 选项D：由全等三角形对应边相等，可推出． 【详解】选项A：若，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得． 选项B：若，即是角平分线，结合，根据“三线合一”，可得． 选项C：是等腰三角形的固有性质，无法直接推出． 选项D：若，根据全等三角形对应边相等，可得． 综上，不能说明的是选项C． 故选：C． 三线合一 6．如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．延长交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再利用三角形的面积公式可得，，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 是的平分线，于， （等腰三角形的三线合一）， ，（等底同高）， ， 又的面积为， ，即， ， 故选：B． 7．如图，中，是的角平分线，，以下结论： ①；②；③为的中点；④是等边三角形． 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、垂直的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 通过角平分线和垂直的条件，利用全等三角形的判定证明，进而推出、为的中点，再分析是否为等边三角形． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即为的中点， 由已知条件，无法得出的三边都相等，故不一定是等边三角形， ①②③正确，④错误，共个正确， 故选：C． 8．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．中垂线的性质定理 C．角平分线的性质定理 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故选：D． 9．如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 首先根据，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：如图所示，连接交于点G， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 10．如图，在中，，直角的顶点是的中点，连接，两边分别交于点E、F，连接．若，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明． 先根据等腰直角三角形的性质得出，再通过角的关系推出 ，从而证明，进而得出． 【详解】解：，，直角的顶点是的中点， ，，． ，， ， ， ， 故选：C． 等腰三角形的性质和判定 11．已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下作法不正确的是（   ） A．取中点，连接 B．作的平分线交于点 C．过点作于点，且 D．过点作，垂足为 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键． 利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． 【详解】A.利用SSS判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意； B.利用SAS判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意； C. 过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，符合题意； D.利用判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意， 故选：C． 12．如图所示的网格是由16个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均在格点上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过构造全等三角形和等腰直角三角形，将和的角度关系进行转化． 构造全等三角形，将转化为，再结合等腰直角三角形的角，利用角的和差关系求出． 【详解】解：如图， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 13．如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质． 根据已知线段关系，将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．证明C、B、E三点共线，则是等腰直角三角形，四边形面积转化为面积． 【详解】解：∵， ∴将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．    ∴． 根据四边形内角和，可得， ∴． ∴C、B、E三点共线． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵四边形的面积面积； 故选：D． 14． 将一个等腰三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形（  ） A．可能是等边三角形 B．不可能是等腰三角形 C．仍然是等腰三角形 D．可能是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质． 根据等腰三角形的定义可设，底边为，扩大或缩小相同倍数k（）后，可知，即得到的三角形仍然是等腰三角形． 【详解】解：等腰三角形有两边相等，即设，底边为， 扩大或缩小相同的倍数k（）后，新三角形边长为、、， ∵， ∴新三角形有两边相等， ∴新三角形仍然是等腰三角形． 故选：C． 15．如图，在中，与的平分线相交于点，过点作交于，交于．若，，，则的周长为（   ） A．30 B．33 C．36 D．39 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，根据等角对等边的性质可得，同理可得，然后求出的周长，代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴的周长， ， ∴的周长． 故选：A． 等边三角形的判定和性质 16．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，证明为等边三角形，推出，根据全等三角形的对应边相等，得出对应边相等，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 17．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可知，根据求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 18．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心， 长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点．连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 19．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西的方向行驶70海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶70海里到C地，则A．C两地相距（    ） A．100海里 B．80海里 C．70海里 D．60海里 【答案】C 【分析】本题主要考查了方向角、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得海里，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：连接， 由题意得：海里， 是等边三角形， 海里， 、两地相距海里． 故选：C． 20．在中，若，，则的值为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质．先判断为等边三角形，然后等边三角形的性质得到． 【详解】解：，， 为等边三角形， ． 故选：A． 含30度角的直角三角形 21．如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形以及平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据等边三角形以及平行线的性质可得，从而得到，再由含30度角的直角三角形的性质解答，即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 22．如图，在中，，，，是边上的动点，则的长不可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查垂线段最短，含角的直角三角形的性质．利用垂线段最短分析可知：的最小值为3，根据含角的直角三角形的性质得出，接下来可知的最大值为，由此可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3， ∵在中，，，， ∴， ∴的最大值为， ∴长不可能是． 故选：D． 23．如图，是等腰直角三角形，，是等边三角形，且，连接CD．则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．过D点作，交的延长线于F点，根据等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质可得，再由三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过D点作，交的延长线于F点， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B 24．如图所示，在中，，、是内两点，平分．，若，，则的长度是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出NM的长是解题的关键．延长交于M，延长交于N，根据等腰三角形的性质得出，进而得出为等边三角形，从而得出的长，即可求出答案． 【详解】解：延长交于M，延长交于N， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 25．如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．连接，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，进而得到，再证明垂直平分，得到，结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， 点D是的中点， ∴垂直平分， ， ， ， ， 故选：C． 斜边的中线等于斜边的一半 26．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵中，是斜边上的中线，若， ， 故选：A． 27．如图，中，，点D为AB的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【详解】 D为中点， ， ， ． 故选：A． 28．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵河畔有两条沿河步道、互相垂直，点为步道的中点，的长为， ∴． 故选：C． 29．如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，点D是边的中点， ∴， 故选：B． 30．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在，上滑动，且，若点M、N分别是的中点，连接，则的长度最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取得最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为． 【详解】解：如图所示，连接，， 在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ， 当、、三点在同一直线上时，取得最小值， 最小值为：， 的最小值为：2． 故选B． 直角三角形的两个锐角互余 31．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 32．如图，在中，斜边的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 33．如图，是斜边上的高线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质．在熟记知识点的基础上应用是关键．利用等角的余角相等进行计算即可． 【详解】解：∵是斜边上的高线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 34．如图，中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，直角三角形的两锐角互余，先由直角三角形的两锐角互余得，然后通过含度角的直角三角形的性质求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 35．如图，由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质及直角三角形的性质是解题的关键；由旋转的性质可知，然后问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∵， ∴， ∴； 故选A． 学科网（北京）股份有限公司 $