1.4线段的垂直平分线与角平分线（基础篇）练习2025-2026学年苏科版 数学八年级上册

1.4线段的垂直平分线与角平分线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、线段的垂直平分线 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称中垂线）。 分析：该定义包含两个核心要素，一是“经过线段中点”，即直线必须通过线段两端点间的中点位置；二是“垂直于这条线段”，意味着直线与线段所成的角为90度。只有同时满足这两个条件的直线，才能被称为该线段的垂直平分线。 2. 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 分析：此定理揭示了线段垂直平分线上点的重要特性。若直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，则无论点P在MN上的哪个位置（除与AB的交点外），连接PA和PB，都有PA=PB。这一性质可通过全等三角形（如Rt△POA和Rt△POB，其中O为AB中点，PO为公共边，∠POA=∠POB=90°，AO=BO）证明得出，是后续解决线段相等问题的重要依据。 3. 判定定理（性质定理的逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 分析：该定理是从点到线段两端点距离关系出发，判断点是否在垂直平分线上。如果一个点P满足PA=PB，那么点P一定位于线段AB的垂直平分线上。此判定定理可用于确定线段垂直平分线的位置，即所有满足到A、B两点距离相等的点的集合构成了线段AB的垂直平分线。 4. 尺规作图：作线段的垂直平分线 步骤： 1. 分别以线段AB的两个端点A、B为圆心，以大于AB一半的长为半径作弧，两弧分别相交于点C和点D。 分析：以大于AB一半长度为半径是为了确保两弧能够相交，若半径小于或等于AB一半，则两弧可能不相交或仅交于一点，无法确定直线。 2. 作直线CD。直线CD即为线段AB的垂直平分线。 分析：由作图过程可知，AC=BC，AD=BD，根据线段垂直平分线的判定定理，点C和点D均在线段AB的垂直平分线上，因此过C、D两点的直线CD就是线段AB的垂直平分线。 二、角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 分析：角平分线的本质是一条射线，它的端点是角的顶点，并且将原来的角分成两个度数完全相等的角。例如，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。 2. 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 分析：这里的“距离”指的是点到直线的垂线段的长度。如果OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，那么PD=PE。这一性质可通过全等三角形（如△POD和△POE，其中∠POD=∠POE，∠PDO=∠PEO=90°，PO为公共边）证明，是解决角平分线相关距离问题的关键。 3. 判定定理（性质定理的逆定理） 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 分析：该定理是判断一个点是否在角平分线上的依据。若点P在∠AOB的内部，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，则点P一定在∠AOB的平分线上。此定理表明，角的平分线是角内部到角两边距离相等的所有点的集合。 4. 尺规作图：作角的平分线 步骤： 1. 以角的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，交角的两边于点M、N。 分析：适当长的半径是为了方便后续作图，只要能与角的两边相交即可。 2. 分别以点M、N为圆心，大于MN一半的长为半径作弧，两弧在角的内部相交于点P。 分析：以大于MN一半长度为半径作弧，确保两弧在角内部有交点P。 3. 作射线OP。射线OP即为∠AOB的平分线。 分析：由作图可知，OM=ON，PM=PN，OP为公共边，可证△OMP≌△ONP（SSS），从而∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB。 三、重要区别与联系 区别 1. 对象不同：线段的垂直平分线是针对线段而言的直线；角平分线是针对角而言的射线。 2. 核心关系不同：线段垂直平分线的核心是“垂直”和“平分线段”；角平分线的核心是“平分角”。 3. 性质中的距离不同：线段垂直平分线上的点到线段“两个端点”的距离相等；角平分线上的点到角“两边”的距离相等。 联系 1. 都具有“平分”特性：线段垂直平分线平分线段，角平分线平分角。 2. 都有性质定理和逆定理（判定定理）：两者都可以从线上点的特殊性质（距离关系）出发，得到性质定理；也都可以从点满足特定距离关系出发，判定点是否在该线上（或射线）。 3. 作图方法类似：都利用了尺规作图，通过作弧找到交点来确定线（或射线）的位置，其作图依据都源于各自的判定定理。 型 习 练 题 线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，理解题意得是线段的垂直平分线，故，结合的周长是，即，因为，故的长为，即可作答． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．9 B．10 C． D．11 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短．连接,根据题意求出当点P与点D重合时，的值最小，周长有最小值，即可得到结论． 【详解】解：如图，直线m与交于点D，连接 ∵直线m垂直平分， ∴， ∴， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 3．如图，是的垂直平分线，，的周长为15，则的周长为（   ） A．19 B．21 C．23 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的任意一点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线得到，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 4．如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，的周长为20，的长为8，则为（    ） A．10 B．15 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式进行计算，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， ， 的周长为，的长为， ， ， ， 又， ， 故选：D． 5．到三角形三个顶点距离相等的点是（   ） A．三边高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条内角平分线的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等． 【详解】解：∵ 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴ 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， 故选：B． 线段垂直平分线的判定 6．珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键．根据点到三个小区、、的距离相等，可得是三边垂直平分线的交点，据此即可得答案． 【详解】解：∵点到、、的距离相等， ∴点是三边垂直平分线的交点， ∴点应位于三角形三边的垂直平分线的交点． 故选：C． 7．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故D说法正确，符合题意 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论，故A、B、C说法错误，不符合题意； 故选：D ． 8．两组邻边分别相等的四边形我们称它为等形．如图，在四边形中，，，与相交于点，下列结论正确的有（   ） ①是的垂直平分线；②互相平分；③平分和；④平分和；⑤；⑥等形的面积为 A．①②③ B．③⑥ C．①④⑥ D．①③⑥ 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定可判定①和②；证明可判定③；由条件无法证明，可判定④和⑤；由可判定⑥，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵，， ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线，故①正确； ②互相垂直，不一定平分，故②错误； ③在和中， ， ∴， ∴，, 即平分和，故③正确； ④题中条件无法证明， ∴不一定平分和，故④错误； ⑤题中条件无法得出，故⑤错误； ⑥∵是的垂直平分线， ∴，故⑥正确； 综上，结论正确的有①③⑥， 故选：． 9．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（   ） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 【详解】解：A、可添条件为“”才能说：“直线是的垂直平分线．”，故小明说的不对，该选项正确； B、添条件为“”，则，不能证明，故该选项错误； C、添条件为“”，在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； D、添条件为“平分”， 在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； 故选：B． 10．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　） A．小亮说得对，可添条件为“” B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 【详解】解：A、添条件为“”， 在和中，， 则， ， 直线是的垂直平分线，故该选项正确，不符合题意； B、添条件为“”，则，不能证明，故该选项错误，符合题意； C、添条件为“”，在和中，， 则， ， 直线是的垂直平分线，故该选项正确，不符合题意； D、添条件为“平分”， 在和中，， 则， ， 直线是的垂直平分线，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 角平分线的性质 11．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 12．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的值是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质定理得到，然后根据三角形面积公式得出，，结合，即可解答． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故选：C． 13．如图，点是内一点，平分，过点作于，连接．若，，则的面积是（   ） A．18 B．36 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，明确角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键； 作于，如图，根据角平分线的性质可得，再进一步计算即可． 【详解】解：作于，如图， ∵平分，于，， ∴， ∵, ∴的面积； 故选：C． 14．如图，的周长是21，，分别平分和，于D，且，则的面积为（　　） A．48 B．63 C．21 D．42 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．过点O作于点M，于点N，连结，根据角平分线定理，可求得，，再根据，即可求得答案． 【详解】解：过点O作于点M，于点N，连结， 平分，， ， 同理可得， ． 故选：C． 15．如图，平分，于点A，Q是射线上一个动点．若，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，过P作于E，当Q和E重合时，的值最小，根据角平分线性质得出，即可求出答案． 【详解】解：过P作于E，当Q和E重合时，的值最小， ∵平分，，， ∴， 即的最小值是8， 故选：C． 角平分线的判定 16．如图，，，若，，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，由此即可得． 【详解】解：∵，，，，且点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 17．在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据“角内一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上”判断即可． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴，，均为的角平分线， 故选：B． 18．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽，进而得到平分，得到，即可． 【详解】解：由图和题意，得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽， ∴平分， ∴； 故选：B． 19．如图，为内部的一点，连接，过点分别作于点，于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理等知识点． 根据题意得到平分，，进而求解即可． 【详解】∵，，且，， ∴平分，， ∴． 故选：C． 20．如图，，M是的中点，DM平分，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，作于，由角平分线的性质定理可得，结合题意可得，从而可得平分，再由平行线的性质求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵，平分，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 角平分线性质的实际应用 21．王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：∵充电点到三条路的距离相等， ∴充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 22．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 23．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∵C村到公路的距离为， ∴C村到公路的距离是． 故选：D． 24．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找加油站的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴加油站可选择的点共有四处． 故选：D． 25．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4线段的垂直平分线与角平分线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、线段的垂直平分线 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称中垂线）。 分析：该定义包含两个核心要素，一是“经过线段中点”，即直线必须通过线段两端点间的中点位置；二是“垂直于这条线段”，意味着直线与线段所成的角为90度。只有同时满足这两个条件的直线，才能被称为该线段的垂直平分线。 2. 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 分析：此定理揭示了线段垂直平分线上点的重要特性。若直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，则无论点P在MN上的哪个位置（除与AB的交点外），连接PA和PB，都有PA=PB。这一性质可通过全等三角形（如Rt△POA和Rt△POB，其中O为AB中点，PO为公共边，∠POA=∠POB=90°，AO=BO）证明得出，是后续解决线段相等问题的重要依据。 3. 判定定理（性质定理的逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 分析：该定理是从点到线段两端点距离关系出发，判断点是否在垂直平分线上。如果一个点P满足PA=PB，那么点P一定位于线段AB的垂直平分线上。此判定定理可用于确定线段垂直平分线的位置，即所有满足到A、B两点距离相等的点的集合构成了线段AB的垂直平分线。 4. 尺规作图：作线段的垂直平分线 步骤： 1. 分别以线段AB的两个端点A、B为圆心，以大于AB一半的长为半径作弧，两弧分别相交于点C和点D。 分析：以大于AB一半长度为半径是为了确保两弧能够相交，若半径小于或等于AB一半，则两弧可能不相交或仅交于一点，无法确定直线。 2. 作直线CD。直线CD即为线段AB的垂直平分线。 分析：由作图过程可知，AC=BC，AD=BD，根据线段垂直平分线的判定定理，点C和点D均在线段AB的垂直平分线上，因此过C、D两点的直线CD就是线段AB的垂直平分线。 二、角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 分析：角平分线的本质是一条射线，它的端点是角的顶点，并且将原来的角分成两个度数完全相等的角。例如，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。 2. 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 分析：这里的“距离”指的是点到直线的垂线段的长度。如果OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，那么PD=PE。这一性质可通过全等三角形（如△POD和△POE，其中∠POD=∠POE，∠PDO=∠PEO=90°，PO为公共边）证明，是解决角平分线相关距离问题的关键。 3. 判定定理（性质定理的逆定理） 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 分析：该定理是判断一个点是否在角平分线上的依据。若点P在∠AOB的内部，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，则点P一定在∠AOB的平分线上。此定理表明，角的平分线是角内部到角两边距离相等的所有点的集合。 4. 尺规作图：作角的平分线 步骤： 1. 以角的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，交角的两边于点M、N。 分析：适当长的半径是为了方便后续作图，只要能与角的两边相交即可。 2. 分别以点M、N为圆心，大于MN一半的长为半径作弧，两弧在角的内部相交于点P。 分析：以大于MN一半长度为半径作弧，确保两弧在角内部有交点P。 3. 作射线OP。射线OP即为∠AOB的平分线。 分析：由作图可知，OM=ON，PM=PN，OP为公共边，可证△OMP≌△ONP（SSS），从而∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB。 三、重要区别与联系 区别 1. 对象不同：线段的垂直平分线是针对线段而言的直线；角平分线是针对角而言的射线。 2. 核心关系不同：线段垂直平分线的核心是“垂直”和“平分线段”；角平分线的核心是“平分角”。 3. 性质中的距离不同：线段垂直平分线上的点到线段“两个端点”的距离相等；角平分线上的点到角“两边”的距离相等。 联系 1. 都具有“平分”特性：线段垂直平分线平分线段，角平分线平分角。 2. 都有性质定理和逆定理（判定定理）：两者都可以从线上点的特殊性质（距离关系）出发，得到性质定理；也都可以从点满足特定距离关系出发，判定点是否在该线上（或射线）。 3. 作图方法类似：都利用了尺规作图，通过作弧找到交点来确定线（或射线）的位置，其作图依据都源于各自的判定定理。 型 习 练 题 线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．9 B．10 C． D．11 3．如图，是的垂直平分线，，的周长为15，则的周长为（   ） A．19 B．21 C．23 D．25 4．如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，的周长为20，的长为8，则为（    ） A．10 B．15 C．11 D．12 5．到三角形三个顶点距离相等的点是（   ） A．三边高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条内角平分线的交点 线段垂直平分线的判定 6．珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 7．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 8．两组邻边分别相等的四边形我们称它为等形．如图，在四边形中，，，与相交于点，下列结论正确的有（   ） ①是的垂直平分线；②互相平分；③平分和；④平分和；⑤；⑥等形的面积为 A．①②③ B．③⑥ C．①④⑥ D．①③⑥ 9．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（   ） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 10．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　） A．小亮说得对，可添条件为“” B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 角平分线的性质 11．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的值是（   ） A．1 B． C． D．2 13．如图，点是内一点，平分，过点作于，连接．若，，则的面积是（   ） A．18 B．36 C．24 D．48 14．如图，的周长是21，，分别平分和，于D，且，则的面积为（　　） A．48 B．63 C．21 D．42 15．如图，平分，于点A，Q是射线上一个动点．若，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 角平分线的判定 16．如图，，，若，，，则为（　　） A． B． C． D． 17．在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 18．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．如图，为内部的一点，连接，过点分别作于点，于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．如图，，M是的中点，DM平分，若，则（    ）． A． B． C． D． 角平分线性质的实际应用 21．王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 22．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 23．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 24．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 25．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 学科网（北京）股份有限公司 $