1.1三角形中的线段和角（基础篇）讲义 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦三角形中的线段和角核心知识点，系统梳理三角形的边（三边关系、分类、稳定性）、高（定义、位置、垂心）、中线（定义、重心性质）、角平分线（定义、内心性质），以及内角和定理、外角性质、按角分类、边角关系等内容，配套分题型练习题，构建从概念到应用的学习支架。 资料含思维导图助力知识结构化，练习题设计贴近现实情境如池塘距离估计问题，通过具体实例培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），强化推理能力（数学思维）和应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后学生可针对性练习，有效查漏补缺提升成绩。

1.1三角形中的线段和角 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 三角形中的线段 1. 三角形的边 · 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 · 按边分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（至少两边相等，包括等边三角形）。 · 三角形的稳定性：三角形三边确定后，形状和大小固定不变。 2. 三角形的高 · 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 · 性质：锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形两条直角边互为高，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条在内部。 · 三条高所在直线交于一点，称为三角形的垂心。 3. 三角形的中线 · 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 · 性质：三角形的中线平分对边；三角形的三条中线交于一点（重心），重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；中线将三角形分成两个面积相等的三角形。 4. 三角形的角平分线 · 定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 · 性质：三角形的角平分线平分内角；三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边的距离相等。 三角形中的角 1. 三角形内角和定理 · 三角形三个内角的和等于180°。 · 推论：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 2. 三角形的外角 · 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 · 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和等于360°（每个顶点处取一个外角）。 3. 三角形按角分类 · 锐角三角形：三个角都是锐角（每个角小于90°）。 · 直角三角形：有一个角是直角（90°），夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 · 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°）。 4. 角与边的关系 · 在三角形中，大角对大边，大边对大角（等角对等边，等边对等角）。 · 等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；反之，有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）。 · 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 型 习 练 题 构成三角形的条件 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能够组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，9 D．4，4，8 3．下列各组线段中，能构成三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．4，5，10 D．4，4，9 4．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．5，10，5 5．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　） A．3， 4，5 B．5，6，11 C．5，6，7 D．3，3，3 三角形三边关系的应用 6．已知A，B，C为平面内任意三点，若满足线段，，则下列说法正确的是（　　） A．线段的长度一定是8 B．线段的长度一定是2 C．线段的长度只有8或2两种可能 D．无法确定线段的长度 7．如图，为了估计池塘两岸A，B之间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 8．小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 9．如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，测得，，则点，间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玉（玉溪学生的代表）在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则A、B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．8米 根据三角形中线求长度 11．如图在中，若，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的中线 B．是的高线 C．是的角平分线 D．是的角平分线 12．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 13．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，为中线，则与的周长之差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 三角形角平分线的定义 16．如图，下面是折纸示意图，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．以上答案都不对 17．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（    ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 18．如图，折叠一张钝角三角形纸片（是钝角），不能成功折出的是（    ） A．的角平分线 B．边上的高线 C．边上的中线 D．边上的高线 19．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，，，分别是的中线、角平分线和高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 与三角形的高有关的计算问题 21．如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 22．如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 23．如图，在中，，是边上的高，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 24．如图，是的中线，是的高线，，，，则到的距离是（    ） A．11 B． C． D．8 25．已知是的高，，．若的面积为6，则的长为（    ） A．2 B．3 C．1或 D．2或3 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1三角形中的线段和角 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 三角形中的线段 1. 三角形的边 · 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 · 按边分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（至少两边相等，包括等边三角形）。 · 三角形的稳定性：三角形三边确定后，形状和大小固定不变。 2. 三角形的高 · 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 · 性质：锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形两条直角边互为高，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条在内部。 · 三条高所在直线交于一点，称为三角形的垂心。 3. 三角形的中线 · 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 · 性质：三角形的中线平分对边；三角形的三条中线交于一点（重心），重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；中线将三角形分成两个面积相等的三角形。 4. 三角形的角平分线 · 定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 · 性质：三角形的角平分线平分内角；三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边的距离相等。 三角形中的角 1. 三角形内角和定理 · 三角形三个内角的和等于180°。 · 推论：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 2. 三角形的外角 · 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 · 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和等于360°（每个顶点处取一个外角）。 3. 三角形按角分类 · 锐角三角形：三个角都是锐角（每个角小于90°）。 · 直角三角形：有一个角是直角（90°），夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 · 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°）。 4. 角与边的关系 · 在三角形中，大角对大边，大边对大角（等角对等边，等边对等角）。 · 等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；反之，有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）。 · 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 型 习 练 题 构成三角形的条件 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得解，熟练掌握三角形三边关系的应用是解此题的关键． 【详解】解：选项A：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项B：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项C：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项D：，则能组成三角形，故本选项符合题意； 故选：D 2．下列长度的三条线段能够组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，9 D．4，4，8 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系：任意两边之和必须大于第三边.只需验证各选项是否满足此条件. 【详解】解：对于每个选项，检查两边之和是否大于第三边： ∵ 对于A：，不能组成三角形； 对于B：，，，能组成三角形； 对于C：，不能组成三角形； 对于D：，不能组成三角形， ∴ 能够组成三角形的是B， 故选B. 3．下列各组线段中，能构成三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．4，5，10 D．4，4，9 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系定理，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 利用三角形三边关系逐项进行判断即可，即任意两边之和必须大于第三边． 【详解】解：对于选项A：∵， ∴能构成三角形，符合题意； 对于选项B：∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 对于选项C：∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 对于选项D：∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 4．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．5，10，5 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　） A．3， 4，5 B．5，6，11 C．5，6，7 D．3，3，3 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边．验证各选项是否满足此条件即可． 【详解】解：A． ，能组成三角形； B． ，不能组成三角形； C． ，能组成三角形； D．，能组成三角形； 故选：B． 三角形三边关系的应用 6．已知A，B，C为平面内任意三点，若满足线段，，则下列说法正确的是（　　） A．线段的长度一定是8 B．线段的长度一定是2 C．线段的长度只有8或2两种可能 D．无法确定线段的长度 【答案】D 【分析】此题考查了线段的和差，三角形三边关系的应用， 根据三点位置关系，当A、B、C共线时，可能为8或2；当不共线时，满足三角形不等式，在2和8之间，故长度不确定． 【详解】∵点A、B、C为平面内任意三点，，， ∴当A、B、C共线时，若C在A、B之间，则； 若C在A、B之外，则． 当A、B、C不共线时，由三角形三边关系，有，即． ∴的长度可能为2到8之间的任意值，无法确定． 故选：D． 7．如图，为了估计池塘两岸A，B之间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意可得：， 即， 、、均在范围内，不在范围内， 故选D． 8．小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 9．如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，测得，，则点，间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系的实际应用，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 在中，由三角形三边关系可得，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 则由三角形三边关系可得， 四个选项中满足的是， 故选：B． 10．如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玉（玉溪学生的代表）在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则A、B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．8米 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴A、B间的距离不可能是30米； 故选C． 根据三角形中线求长度 11．如图在中，若，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的中线 B．是的高线 C．是的角平分线 D．是的角平分线 【答案】C 【分析】本题考查三角形中线、高线、角平分线的判断，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是的角平分线 故选：C． 12．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线和中线，根据角平分线和中线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中，是角平分线，点E是的中点， ∴，，，是的中线， 故错误的是选项C； 故选C． 13．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：、、分别是的高、角平分线、中线， 结合选项可知，，， 故A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意； 故选：B． 14．如图，在中，为中线，则与的周长之差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的定义．根据三角形中线的定义，可得，进而计算与的周长即可求得答案． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为 ． 故选： B ． 15．如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是中线的定义，解题关键是熟练掌握三角形中线的定义． 根据中线的定义得，再结合的周长及，，即可得到的周长． 【详解】解：是中线， ， ， ， 又，， ， ． 故选：． 三角形角平分线的定义 16．如图，下面是折纸示意图，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的角平分线，关键是相关性质的熟练掌握． 根据折叠的性质可得，即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质可得， 则是的角平分线， 故选：C． 17．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（    ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，熟记它们的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴是的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意； B．∵， ∴为边上的高，故本选项结论正确，不符合题意； C．∵G为的中点， ∴是边上的中线，故原说法不正确，符合题意； D．∵， ∴为的高线，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 18．如图，折叠一张钝角三角形纸片（是钝角），不能成功折出的是（    ） A．的角平分线 B．边上的高线 C．边上的中线 D．边上的高线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高和中线，根据三角形的角平分线、高和中线的定义判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、当与重合时，折痕为的角平分线，该选项不合题意； 、∵是钝角三角形且是钝角， ∴边上的高线位于外部， ∴不能成功折出边上的高线，该选项符合题意； 、当点重合时，折痕为边上的中线，该选项不合题意； 、边上的高线位于内部，能成功折出，该选项不合题意； 故选：． 19．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：，，分别是的高、角平分线、中线， 则，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 20．如图，，，分别是的中线、角平分线和高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线和高线，掌握相关定义及结论即可求解； 【详解】解：∵是的中线， ∴，不是，故A错误； ∵是的角平分线， ∴，故D正确； ∵是的高线， ∴，不是，故C错误； 无法推出，故B错误； 故选：D 与三角形的高有关的计算问题 21．如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线，中线和高的定义，以及三角形的面积公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∴A选项结论正确，不符合题目要求； ∵是高线， ∴， ∴， ∴B选项结论正确，不符合题目要求； ∵是角平分线， ∴， ∴C选项结论正确，不符合题目要求； ∵是高线，与大小关系不确定， ∴与的大小关系无法确定， ∴D选项结论错误，符合题目要求； 故选：D． 22．如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决线段最短问题， 垂线段最短，角平分线的性质． 作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，最后由的面积求出，即可求解． 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 12 ∴ ∴，即的最小值为6， 故选D． 23．如图，在中，，是边上的高，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键． 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】解： ， ∴． 故选B． 24．如图，是的中线，是的高线，，，，则到的距离是（    ） A．11 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形． 过点D作于F，根据是的中线得到，根据面积公式求出，即可解答． 【详解】解：过点D作于F， ∵是的中线， ∴ ∴ 即， ∴， ∴点D到的距离为． 故选：B． 25．已知是的高，，．若的面积为6，则的长为（    ） A．2 B．3 C．1或 D．2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了求三角形的高，分点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况，根据线段的和差关系求出的长，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或3， 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $