广东省中山市华侨中学2025-2026学年高三上学期周测数学试题（10.19）

中山市华侨中学2026届数学周测（10.19） 第I卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角的对边分别为，则“”是“为等边三角形”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数和为同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为，，则=（    ） A． B． C． D． 5. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 7 D. 6. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A B. C. 8 D. 7. 下列四个选项中，最大的值为（ ） A. B. C. D. 8．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数在第三象限的一个动点，以为顶点，原点为对称中心作矩形轴于点，过点的直线分别交边于点，以为一边作矩形，且直线恰好经过点．如果点往轴负方向运动，那么的变化情况是（　　） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．一直减小 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若的夹角为钝角，则 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 10．已知点，，且点在直线上，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．存在点，使得 11. 已知，且不全为0，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知复数，则 __________. 13．已知直线过点，且点到的距离为，则符合条件的直线的方程为 . 14．设函数，若在区间上恰有个零点，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的最大值为1.． （1）求实数； （2）求使成立的的取值集合. 16．（17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 17．（17分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B B A B C C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD ABD BCD 12．1； 13．或； 14．． 8【答案】C【分析】方法一：几何法；方法二：解析法方法三：向量法，．由矩形原点对称，向量，设．由四边形是矩形，有求解. 9.对于D，由在方向上的投影向量为， 则，所以，令，则， 当时，，则，符合题意，当时，有，解得且，综上所述，，则的取值范围为，故D正确. 10【答案】ABD C选项，， 又，故， 令得，即， 由于，方程无解，故不存在点，使得，C错误； D选项，由得， 平方化简得，又，故， 即，，方程有解，故存在点，使得，D正确. 11.【分析】【详解】A选项，若，所以， 则，所以，故A错误； B选项，若，则，故B正确； C选项，若，由，则，即，则， 则，即，故C正确；D选项，设，由，则， 则， 即，则，， 于是，故D正确.故选：BCD. 15．（13分）解：（1）由题得 ……………………3分 ……………………4分 的最大值为，即． ……………………7分 （2） 由（1），当时，， ……………………9分 , ……………………11分 . ……………………13分 16【答案】(1) (2)或. (3)证明见解析，6【详解】（1）解：设，因为点且，所以，即，所以的轨迹方程为.（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，因为，设圆心到的距离，可得，解得，当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意； 当斜率存在时，设方程：，即，则，解得，此时.综上可得，直线的方程为或. （3）解：当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组，整理得， 令，解得， 且，所以，又由，解得，所以，因为均在直线上，且 所以. 17．（17分）解：（1）对求导可得：，令 …………1分 当时，即，则， 在区间上单调递增； ……………………2分 ②当时，即，且． 当时，（不合题意）；………………3分 当时，， ……………………4分 则当时，，则在区间上单调递增； 当时，，则在区间单调递减． 综上所述：当时，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． ……………………5分 （2）方法一：直接研究函数单调性 由（1）可知，当时，在区间上单调递增， ……………………6分 ，符合； ……………………7分 当时，， ……………………8分 在区间上单调递减，在区间上单调递增；………9分 ，使得，不符合条件； ……………………10分 综上所述，． ……………………11分 （3）方法一：比值代换 证明：由题意可得，得，因此， ，， ……………………12分 令， ……………………13分 则， ……………………14分 要证明，只需证， ……………………15分 即证当时，， ……………………16分由（1）可知，时，在上是增函数，当时，，又，则当时，不等式恒成立，． ……………………17分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $