2.4　整数指数幂 教学设计 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

2.4　整数指数幂 2.4.1　同底数幂的除法 课题 2.4.1　同底数幂的除法 授课人 教 学 目 标 1.经历探索同底数幂除法的运算法则的过程,全面体会幂的意义. 2.了解同底数幂除法的运算法则,并能解决一些实际问题. 3.养成学生对同底数幂除法法则的推理过程的思考. 4.进一步体会幂的意义,发展学生的推理能力和表达能力,并逐步提高学生观察、归纳、类比、概括等能力. 5.在解决问题的过程中了解数学的价值,激发学生用数学的信心,提高数学素养. 教学 重点 　　同底数幂除法的运算法则及其应用. 教学 难点 　　同底数幂除法的变形与应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.同底数幂的乘法法则:am·an=am+n. 2.幂的乘方运算:(am)n=amn. 3.计算:(1)(-a)3·(-a)2;(2)(ab)5;(3)(ym)3. 　　学生回忆并回答,以达到温故知新的目的. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 我们知道同底数幂的乘法法则:am·an=am+n,那么同底数幂怎么相除呢? 试一试:用你熟悉的方法计算: (1)25÷22=　　　　;(2)107÷103=　　　　;  (3)a7÷a3=　　　　(a≠0).  概括:由上面的计算,我们发现: (1)25÷22=23=　8　;(2)107÷103=104=　10000　;  (3)a7÷a3=　a4　.  你能发现什么?(可提示学生分别从底数和指数上观察有什么变化) 如果把上面的数字都换成字母,如am,an,你知道结果是什么吗?试着用语言描述一下. 　　本导入从数的变化到式的变化,推导由浅入深,解析较为深刻.如果按照这个流程去教学,学生就会深刻明白同底数幂除法法则的根本道理. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 同底数幂的除法法则的推导 步骤一:计算下列各式: (1)106÷103;(2)a7÷a4(a≠0);(3)a100÷a70(a≠0). 说明:回归到定义中去,强调a≠0. 问:你发现了什么?(小组讨论交流) 步骤二:同底数幂的除法法则的推导: 方法一:设a≠0,m,n都是正整数,且m>n,则 ===am-n, 所以=am-n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n). 方法二:===am-n, 所以=am-n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n). 归纳:同底数幂相除(被除式的指数大于除式的指数),底数不变,指数相减. 　　通过探究以及思考,将同底数幂的除法法则应用到计算中,为学生节省计算时间. 【应用举例】 例1　计算:(1);(2);(3);(4)(n是正整数). 变式一:计算:(-a)3÷(-a). 解:(-a)3÷(-a)=(-a)3-1=(-a)2=(-)2·a2=a2. 例2　计算:(1);(2). 变式二:已知=ab,则m,n的值分别为 (B) A.1,4　　　　B.2,3　　　　C.3,4　　　　D.4,5 变式三:计算:=　-(a-2b)6　.  　　例题的讲解可引导学生学会用新知识去解决计算问题,其目的是巩固所学的新知识.变式活动培养学生运用所学知识,不断变化地去解决新问题的能力.通过两者相结合的学习,使学生学会运用变化的思想去解决相关类型的问题. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3　计算:42×82÷24. 解:42×82÷24=24×26÷24=24+6-4=26. 例4　已知2x-3y-2=0,求的值. 解:因为2x-3y-2=0,所以2x-3y=2, 所以==102x-3y=102=100. 例5　若(xm÷x2n)3÷xm-n与4x2为同类项,且2m+5n=22,求4m2-25n2的值. 解:(xm÷x2n)3÷xm-n=(xm-2n)3÷xm-n=x3m-6n÷xm-n=x2m-5n. 因为(xm÷x2n)3÷xm-n与4x2为同类项,所以2m-5n=2. 又因为2m+5n=22, 所以4m2-25n2=(2m)2-(5n)2=(2m+5n)(2m-5n)=22×2=44. 　　拓展提升从数的变化、幂的形式的变化等角度去综合应用,突出同底数幂的除法的计算性,体现了同底数幂的除法的计算的变化性与多样性. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P44练习T1,T2. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷. 【作业布置】 教材P50习题2.4T1. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【知识网络】 同底数幂的除法解决计算性问题 =am-n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n) 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本导入结合复习以推导式进行,通过具体情境,从数据处理的形式入手,将幂的乘法运算和同底数幂的除法紧密联系在一起,实现课堂的理论与实践的统一性. ②[讲授效果反思] 在教学中,我们要从幂的乘方的意义出发,利用相同的原理去推证同底数幂的除法,利用同底数幂相除中指数的变化特点,突破难点,注意同底数幂相除是指数相减,而不是指数相除. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 2.4.2　零次幂和负整数指数幂 课题 2.4.2　零次幂和负整数指数幂 授课人 教 学 目 标 1.通过探索掌握零次幂和负整数指数幂的意义. 2.根据整数指数幂的运算法则,熟练地对零次幂和负整数指数幂进行运算. 3.会用科学记数法表示绝对值较小的数. 4.培养学生对数学问题实现分类讨论处理的思考. 5.让学生在数学问题中养成从一般到特殊的处理方法的思考. 6.让学生学会针对同一数学问题采用不同的方法去处理. 7.经历知识的推广、拓展、提升的过程,让学生体会数学知识之间是相互联系的,让学生在学习的过程中感受推理的方法,从而使学生树立严谨的数学观. 教学 重点 1.零次幂和负整数指数幂的运算法则的推导和应用. 2.用科学记数法表示绝对值较小的数. 教学 难点 　　对零次幂和负整数指数幂的理解与化简计算. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体及课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 提问:同底数幂的除法法则是什么? (强调:法则的条件) 　　通过复习,让学生更好地用旧知识的迁移推导出新知识. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:同底数幂的除法法则成立的条件是　a≠0,m,n都是正整数,且m>n　.  如果指数m,n不存在m>n的关系,那么它们又有怎样的关系呢? 如果按照这样的计算,它们结果的指数会是什么样的数? 下面我们就其指数的结论的两方面来进行探讨! 　　采用条件分析法,紧密抓住条件的全面性,对其结论进行全面分析,活动的开展可以充分调动学生的积极性. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 零次幂的推导 (1)(从特殊问题出发)填空: =　1　,32÷32=3　2　-　2　=3　0　=　1　,  =　1　,53÷53=5　3　-　3　=5　0　=　1　,  =　1　,104÷104=10　4　-　4　=10　0　=　1　.  思考:,32÷32这两个式子的意义是否一样,结果应有什么关系?因此:=32÷32=30,同样:=104÷104=100. 由此你发现了什么规律? 任何非零实数的零次幂都等于1. 活动 二: 探究 与 应用 (2)推广到一般: 一方面:am÷am=am-m=a0(a≠0); 另一方面:===1. 启发:我们规定:a0=1(a≠0). 【探究2】 负整数指数幂的推导 (1)52÷55=52-5=5-3,52÷55==,发现5-3= 　;  (2)当a≠0时,a3÷a5=　a3-5　=　a-2　,  a3÷a5= 　= 　,  由此得到:a-2= 　(a≠0).  归纳猜想:负整数指数幂的运算性质: a-n= 　(a≠0,n是正整数).  你能利用上述猜想计算吗? 4-2= 　;=　4　;=　-　.  【探究3】 用科学记数法表示绝对值小于1的数 用科学记数法表示一些绝对值较大的数:即利用10的正整数次幂,把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式,其中n是正整数,1≤<10. 思考:n的取值与整数位数有什么关系? 利用10的负整数次幂用科学记数法表示一些绝对值较小的数: (1)10-1=　0.1　;10-2=　0.01　;  10-3=　0.001　;10-n= 　(n是正整数).  (2)0.0068=6.8×0.001=6.8×　10-3　;  0.000034=3.4×0.00001=3.4×　10-5　;  -0.000509=-5.09×0.0001=-5.09×　10-4　.  归纳:用科学记数法表示一些绝对值较小的数:即利用10的负整数次幂,把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式,其中n是正整数,1≤<10. 思考:n的取值有什么规律呢? 　　通过可操作的数学活动,培养学生从一般到特殊的转化思想. 运用类比学习的方法,让学生快速掌握负整数指数幂的运算性质. 【应用举例】 例1　计算:(1)2-3;(2)10-4;(3). 变式一:计算:(-1)-2= 　.  变式二:计算:(2+2+0.2-1)-2= 　.  变式三:若a=-(0.3)2,b=-3-2,c=(-)2,d=-,则a,b,c,d的大小关系为　d<b<a<c　(用“<”号连接).  例2　把下列各式写成分式的形式:(1)x-2;(2)2xy-3. 　　例题主要对科学记数法、负整数指数幂、零次幂三者从计算的角度进行应用,我们利用其特征,针对实际问题,在原题的基础上都进行了不同的变式,突出负整数指数幂在分式计算中的重要性,并补充了常见的考题题型,完善知识,为学生在本节的命题方面做出示范性训练. 活动 二: 探究 与 应用 例3　目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米.将数据0.000001125用科学记数法可表示为　1.125×10-6　.  例4　用小数表示3.6×10-3. 变式四:某种原子的直径为1.2×10-2纳米,把这个数化为小数是　0.012　纳米.  变式五:(把用科学记数法表示的负小数还原,注意其结果是负数)-3.21×10-6=　-0.00000321　.  　　 【拓展提升】 例5　若(n+3)2n=1,则n的值为　-2或-4或0　.  例6　计算:(π-3)0-()-1+()2026×(-1.5)2027.[答案:-2.5] 例7　计算:(2×10-4)÷(-2×10-7)-3.[答案:-1.6×10-24] 　　进一步熟练科学记数法、含负整数指数幂或零次幂的各种运算. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P47练习T1,T2,T3,T4. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷. 【作业布置】 教材P50习题2.4T2,T3,T4. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 应用推广后的整数指数幂的运算性质时,教师不要因为这部分知识已经讲过,就认为学生已经掌握,要注意观察学生计算时的问题,及时矫正,以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的. ②[讲授效果反思] 探究问题及例题讲授过程中教师要向学生澄清:指数的负号表示取倒数,底数的负号表示负数.解题步骤是:先把负整数指数幂化为正整数指数幂的倒数再计算,这样有利于突破难点. ③[师生互动反思] 教师要鼓励学生积极主动地参与教学的整个过程,激发学生的求知欲望,让学生体验成功的喜悦,增加学生的学习兴趣和信心. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 2.4.3　整数指数幂的基本性质 课题 2.4.3　整数指数幂的基本性质 授课人 教 学 目 标 1.熟练掌握整数指数幂的基本性质. 2.会根据幂的运算性质正确地对整数指数幂进行运算,并能将其结果用正整数幂来表示. 3.养成对数学运算性质逆反的运用,培养顺向与逆向考虑问题的思想. 4.学会对相似的运算问题进行有效的总结,形成对运算性质归纳的思考. 5.能正确地运用幂的运算性质去解决有关的计算问题. 6.通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的,理论来源于实践,又服务于实践,能利用事物之间的类比性、逆反性去解决问题. 教学 重点 　　幂的运算性质的逆反的综合应用. 教学 难点 　　熟练地运用幂的运算性质进行逆反运算. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 复习幂的运算性质. (引导学生从加、减、乘、除四个方面去回忆) 　　加强记忆,综合知识,全面复习. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 现在,我们已经引进了零指数幂和负整数幂,指数的范围已经扩大到了全体整数.那么,以前所学的幂的性质是否还成立呢?与同学们讨论并交流一下,判断下列式子是否成立. (1)a2·a-3=a2+(-3);(2)(a·b)-3=a-3b-3; (3)(a-3)2=a(-3)×2. 概括:指数的范围扩大到全体整数后,幂的运算性质仍然成立. 例　计算:(2mn2)-3(mn-2)-5,并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式. 解:原式=2-3m-3n-6·m-5n10=m-8n4=. (思考:幂的运算性质是否对任意整数幂的运算都成立呢?) 　　通过具体实例的活动来体现正整数指数幂的运算性质,并准确地表述出指数的变化. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 整数指数幂的运算性质及其应用范围 正整数指数幂的运算性质有哪些? 当m,n都是正整数时: 1.同底数幂的乘法:am·an=　am+n　.  2.同底数幂的除法:am÷an=　am-n　.  3.幂的乘方:(am)n=　amn　.  4.积的乘方:(ab)n=　anbn　.  5.分式的乘方:= 　.  前面我们已经把幂的指数从正整数推广到了整数,于是,当a≠0,b≠0时,上述运算性质对于整数指数幂也成立,即 am·an=am+n(a≠0,m,n都是整数). (am)n=amn(a≠0,m,n都是整数). (ab)n=anbn(a≠0,b≠0,n是整数). 实际上对于am÷an和()n,只要a,b满足条件,m,n为任意的整数都成立. (让各小组进行讨论,是不是只要底数满足条件,指数为任意整数都适合上述运算性质?上述的逆运算也正确吗?) 　　探究的实施,概括了正整数指数幂的所有算法,包括公式、定义等.我们探究的目的在于分析指数除了可以是正整数外,还可以是整数,将其范围扩大,也就是说将其应用扩展到负数的应用,并从中讨论正整数指数幂与负整数指数幂之间的关系. 【应用举例】 例1　设a≠0,b≠0,计算下列各式: (1)a7·a-3;(2)(a-3)-2;(3)(a-1b)-2. 例2　计算:. 变式一:将下列各式化成正整数指数幂的形式: (1)(a-1b2)3;(2)()-3. 解:(1)(a-1b2)3=a-3b6=. (2)=(ab-2)-3=a1×(-3)b(-2)×(-3)=a-3·b6=·b6=. 变式二:若(am+1bn+2)·(a2n-1b2m)=a5b6,求n-m的值. 解:因为(am+1bn+2)·(a2n-1b2m)=a5b6, 所以am+1·a2n-1·bn+2·b2m=a5b6, 即am+1+2n-1·bn+2+2m=a5b6,所以am+2n·bn+2m+2=a5b6, 所以m+2n=5,2m+n+2=6,解得m=1,n=2, 所以n-m=2-1=. 　　例题从正整数指数与负整数指数之间的关系进行思考,突出正整数指数幂与负整数指数幂存在的倒数关系,让学生通过示范的讲解,学会换算的应用. 【拓展提升】 例3　把下列各式写成分式形式. (1)-2m-3n2;(2)(x-y)-1(x+y)2;(3)2(a-2b)-2. 解:(1)-.(2).(3). 例4　计算:(1);(2);(3)·. 解:(1).(2)125x9y6.(3)原式=·=. 　　在例题的教学内容上进行了拓展加深,主要表现在幂的底数和系数上,虽然难度扩大,但实质不变. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P50练习T1,T2. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷. 【作业布置】 教材P50习题2.4T5,T6,T7. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本教学流程简单,主要以回顾的形式去概述幂的所有运算公式,从运算的实质中去分析应用的范围,在新课导入中主要抓住全面回顾,注意教师要引导学生从幂的加、减、乘、除四个方面去回顾,避免遗漏知识. ②[讲授效果反思] 本课的重点是让学生理解幂的各种运算公式的应用范围,突出表现负整数指数幂与正整数指数幂之间存在一定的换算关系. ③[师生互动反思] 教师要鼓励学生善于总结,勇于在总结问题时提出自己的观点,并用数学的观点去分析结论,在交流中受益. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $