精品解析：广西钦州市钦北区2025--2026学年上学期九年级期中数学试卷

钦北区2025年秋季学期九年级学科素养监测（期中） 数学 （时间：120分钟 总分120分） 温馨提示： 1.请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项. 3.不能使用计算器. 第I卷（选择题 共36分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）. 1. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B 2. 抛物线的对称轴是，则b的值等于（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对称轴公式可得到关于的方程，可求得答案． 【详解】解：， 抛物线对称轴为， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即的对称轴为． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 根据一元二次方程的定义，对每个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A、方程中，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程； B、将展开并整理，得，即，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程； C、方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程； D、方程是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程． 故选：C． 4. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线与y轴的交点坐标，求出当时的的值即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：B． 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，掌握完全平方公式的性质，等式的性质是解题的关键； 使用配方法解一元二次方程，通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 移项得 ， ∴ 两边加9（一次项系数的一半的平方），得 ， 即 ， 故选：B． 6. 若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况求字母的值， 根据一元二次方程根的判别式，方程有实数根时判别式大于等于零，从而求出m的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：将方程化为标准形式：， ∵方程有实数根， ∴判别式， 解得． ∵， ∴m的值不可能是． 故选：D． 7. 若m、n是关于方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于一元二次方程，若其两个根为，则有两根的和：；​两根的积：；解题的关键在于熟知韦达定理，并且确定好系数；确定系数，，进而求出两根之和和两根之积，再代入表达式即可． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴， ， ∴ 故选 A． 8. 如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立； 故选D． 9. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 10. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设长为x步，则宽为（60-x）步， 依题意得：x（60-x）=864， 整理得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11. 将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数平移问题，根据平移后的抛物线的表达式为：，再根据平移后的抛物线与抛物线重合，得出，求出结果即可． 【详解】解：抛物线的表达式为， 平移后的抛物线的表达式为： ， ∵平移后的抛物线与抛物线重合， ∴， 解得． 故选：A． 12. 如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分，请将答案直接填写在答题卡上） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标关于原点对称的性质，根据对称特征直接求解．即在平面直角坐标系中，点关于原点对称时，横坐标和纵坐标均变为原来的相反数． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标为． 故答案为：． 14. 若是方程的根，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值． 【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0， 解得a=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 15. 已知点在二次函数的图像上，则点关于原点的对称点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，坐标与中心对称，把代入函数解析式，求出的值，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数即可得出结果． 【详解】解：把代入，得， 则， 解得； ∴； ∴点关于原点的对称点的坐标是； 故答案为： 16. 近年来，随着施工技术的不断发展，渠道设计已由原来单一的梯形向多元化形式变化．其中抛物线形渠道就是一种明渠断面形式．如图是一个抛物线形渠道的断面图．现测得渠道的断面宽度，渠道顶点与断面所在水平直线的距离，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，当渠道内的水深时，水面宽_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意和平面直角坐标系，设函数关系式为，将带入即可求出函数解析式，进而问题可求解． 【详解】解：由平面直角坐标系得，，， 设函数关系式为， ， 解得， ， 当时，则， 解得， 水面宽， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答时应定出文字说明或演算步骤） 17. （1）解方程：（1）； （2）在数学活动课上，老师给出了如下解一元二次方程的试题“”，让同学们讨论．其中一位同学的做法如下： 解：步骤① 步骤② 步骤③ 步骤④ 步骤⑤ ，步骤⑥ 在交流过程中，该同学发现他的答案与其他同学的不一样，请帮他指出错误的步骤，并用合适的方法解该方程． 【答案】（1）；（2）错误的步骤是步骤①；正确解为 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程， （1）先移项，再配方加上一次项系数一半的平方，然后开方求出解； （2）先根据移项判断，再根据配方法求出解． 【详解】解：（1）移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴或， 解得； （2）第①步移项出现错误，正确解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， ∴或， ∴． 18. 出门即公园，入眼皆美景．如图是开发商计划在小区一块长为，宽为的矩形空地上打造一个喷泉用于观赏，喷泉区域分为内外两层，内层是面积为200的喷水区，外层是四周留有宽度都为的存水区（图中阴影部分）．为更加美观，计划在喷水区周围围上一圈装饰护栏．求存水区的宽和护栏的长度． 【答案】存水区的宽为，护栏的长度为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据矩形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴； 答：存水区的宽为，护栏的长度为． 19. 如图，已知二次函数的图像，回答以下问题： （1）关于的一元二次方程的解为_________； （2）求此二次函数的解析式； （3）当为何值时，？ （4）若直线与拋物线没有交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，即可得出结果； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）利用图像法求出自变量的范围即可； （4）利用图像法求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由图可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的一个交点坐标为； ∴关于的一元二次方程的解为； 【小问2详解】 由图像可知，对称轴为直线， ∴； 当时，， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 由图像可知，或时，； 【小问4详解】 ∵， ∴顶点坐标为， ∵直线与拋物线没有交点， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找一点，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）即为所求： ； （2）点即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征以及利用轴对称求最短路径问题（即三角形周长最小问题，将军饮马模型），涉及平面直角坐标系中的图形变换和几何图形的性质．解题关键在于关于原点对称的点的坐标变化规律，准确求出对称点的坐标才能正确画出对称三角形．理解利用轴对称将三角形周长问题转化为两点之间线段最短问题是关键，通过作对称点找到使周长最小的点的位置． （1）根据关于原点对称的点的坐标变化规律，即横、纵坐标都互为相反数，分别求出三个顶点、、关于原点对称的点、、的坐标，然后在平面直角坐标系中依次连接这三个点，画出，并写出点的坐标． （2）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，此时的周长最小． 【小问1详解】 已知，，． 根据关于原点对称的点的坐标特征：点关于原点对称的点的坐标为． 可得关于原点对称的点； 关于原点对称的点； 关于原点对称的点． 依次连接、、，得到． 所以点的坐标为． 【小问2详解】 利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，时，而线段为定值，而点为动点，所以当最小，即、、三点共线时，的周长最小． 21. 如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接． （1）若，求的长； （2）若D为的中点，求证：是等边三角形． 【答案】（1）； （2） 证明：由旋转的性质得，， ∵D为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定． （1）由勾股定理求得，由旋转的性质得，，求得，再根据勾股定理即可求解； （2）由旋转的性质推出是线段的垂直平分线，得到，即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 项目式学习 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某文创店老板欲购进一批进价为25元/个的河南旅游文创产品，请你运用所学数学知识根据市场情况和该文创店老板的要求，帮助他制定这种文创产品的销售策略． 市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家文创店近期销售这种文创产品的销售单价x和日销售量y（个）的情况，记录如表： 文创店 A B C D E 销售单价x/元 30 29 28 27 26 日销售量y/个 50 55 60 65 70 模型建立 （1）求该文创产品的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 问题解决 （2）已知该文创产品的销售单价不高于32元． ①如果文创店老板想单日获得250元的利润，那么该文创产品的销售单价应是多少元？ ②该文创店销售这种文创产品的单日利润能达到500元吗？如果可以，求出此时的销售单价，如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①30元， ②令，则， 整理得，． 所以，， 即此方程无实数根， 所以，单日利润不能达到500元． 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数关系式和一元二次方程的应用，准确找出题中数量关系是解答本题的关键． （1）观察表格中的数据，发现每降低1元，就增加5个，说明与成一次函数关系，设一次函数关系式为，代入两组数值，求出的值即可； （2）①根据“利润=单个利润销售量”列方程，求解即可； ②列方程，整理为一般形式，计算判别式进行判断即可 【详解】解：（1）观察表格中的数据，发现每降低1元，就增加5个，说明与成一次函数关系， 设一次函数关系式为， 选取表格中两点、代入得： ， 解得，． 所以，． （2）①由题意得，利润， 令， 则， 整理得，， 解得，（因单价不高于32元，舍去）． 所以，销售单价应是30元． ②略 23. 某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶? ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 【答案】（1） （2）①能；② 【解析】 【分析】本题是二次函数综合，考查的是二次函数的实际应用，读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来，建立坐标系求出函数解析式是解本题的关键． （1）由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出当时，当时的函数值，再和队员身高比较即可；②求出时，或，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴拋物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴5名同学，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，对称轴左侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，对称轴右侧的2名队员所在位置横坐标分布是，， 当时，， 当时，， 长绳能高过所有跳绳队员的头顶； ②当时，， 解得或， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为， 两人的水平距离，名队员每两人间的距离至少为才能保证安全， 最左边的跳绳队员与离他最近的用绳队员之间距离的最大值为， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 钦北区2025年秋季学期九年级学科素养监测（期中） 数学 （时间：120分钟 总分120分） 温馨提示： 1.请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项. 3.不能使用计算器. 第I卷（选择题 共36分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）. 1. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是，则b的值等于（ ） A. 6 B. C. 4 D. 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 若m、n是关于方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 10. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分，请将答案直接填写在答题卡上） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是_________． 14. 若是方程的根，则____________． 15. 已知点在二次函数的图像上，则点关于原点的对称点的坐标是_________． 16. 近年来，随着施工技术的不断发展，渠道设计已由原来单一的梯形向多元化形式变化．其中抛物线形渠道就是一种明渠断面形式．如图是一个抛物线形渠道的断面图．现测得渠道的断面宽度，渠道顶点与断面所在水平直线的距离，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，当渠道内的水深时，水面宽_________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答时应定出文字说明或演算步骤） 17. （1）解方程：（1）； （2）在数学活动课上，老师给出了如下解一元二次方程的试题“”，让同学们讨论．其中一位同学的做法如下： 解：步骤① 步骤② 步骤③ 步骤④ 步骤⑤ ，步骤⑥ 在交流过程中，该同学发现他的答案与其他同学的不一样，请帮他指出错误的步骤，并用合适的方法解该方程． 18. 出门即公园，入眼皆美景．如图是开发商计划在小区一块长为，宽为的矩形空地上打造一个喷泉用于观赏，喷泉区域分为内外两层，内层是面积为200的喷水区，外层是四周留有宽度都为的存水区（图中阴影部分）．为更加美观，计划在喷水区周围围上一圈装饰护栏．求存水区的宽和护栏的长度． 19. 如图，已知二次函数的图像，回答以下问题： （1）关于的一元二次方程的解为_________； （2）求此二次函数的解析式； （3）当为何值时，？ （4）若直线与拋物线没有交点，直接写出的取值范围． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找一点，使得周长最小．（保留作图痕迹） 21. 如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接． （1）若，求的长； （2）若D为的中点，求证：是等边三角形． 22. 项目式学习 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某文创店老板欲购进一批进价为25元/个的河南旅游文创产品，请你运用所学数学知识根据市场情况和该文创店老板的要求，帮助他制定这种文创产品的销售策略． 市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家文创店近期销售这种文创产品的销售单价x和日销售量y（个）的情况，记录如表： 文创店 A B C D E 销售单价x/元 30 29 28 27 26 日销售量y/个 50 55 60 65 70 模型建立 （1）求该文创产品的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 问题解决 （2）已知该文创产品的销售单价不高于32元． ①如果文创店老板想单日获得250元的利润，那么该文创产品的销售单价应是多少元？ ②该文创店销售这种文创产品的单日利润能达到500元吗？如果可以，求出此时的销售单价，如果不可以，请说明理由． 23. 某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶? ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $