精品解析：江苏省常州市溧阳市2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

阶段性调研测试九年级数学试题 一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列方程为一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的解，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C在上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 根据下列表格对应值： x 0.016 0.045 0.074 判断方程一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，C、D是半圆上的两点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. m是方程的根，则式子的值是（ ） A 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 8. 如图，在的外接圆中，，是直径，作交于点F，交于点E，连接，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形为菱形 二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9. 关于x方程是一元二次方程，则m的取值范围是_________． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____． 11. 已知是一元二次方程的一个根，则_________． 12. 若正数a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根，则a的值是______． 13. 如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________． 14. 等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是_________． 15. 如图，与正六边形的边分别相切于点C，F．若，则的半径长为_________． 16. 如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___． 17. 小张家里有一块如图所示的四边形木板余料，小张想用该木板裁剪出一个面积最大的圆形木板，已知，为直角，那么裁剪出来的圆形木板的半径为_________cm． 18. 如图，已知扇形的半径，点P为弧上一动点，作，，垂足为M、N，当取最大值时，扇形的面积为_________． 三、解答题：（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 20. 关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 21. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，． （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为______． （2）求弧ABC的长． 22. 生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 23. 如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接，交于点F． （1）若，求的半径； （2）若，求的度数． 24. 规定：若关于x的一元二次方程中常数项c是该方程的一个根，则该方程就叫做常数根一元二次方程． （1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_________； （2）如果关于x的方程是常数根一元二次方程，求该方程的解； （3）若关于x的常数根一元二次方程有两个相等的实数根时，求代数式的值． 25. 如图，在矩形中，，动点P在边上以每秒2个单位的速度从点B出发，沿向点A运动，同时动点Q在对角线上以每秒5个单位的速度从点A出发，沿向点C运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）当P、Q两点间的距离为时，运动时间_________； （2）当以P、A、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点时，求出此时t的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． （1）当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； （2）点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； （3）若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段性调研测试九年级数学试题 一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，化简得，即，是一元一次方程，选项错误； B、，分母含未知数，不是整式方程，选项错误； C、，移项得，是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程，选项正确； D、，含两个未知数x和y，是二元方程，选项错误； 故选：C． 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 3. 若是方程的解，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解即可得． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解． 4. 如图，点A，B，C在上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 5. 根据下列表格的对应值： x 0.016 0.045 0.074 判断方程一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算，掌握一元二次方程的解是方程左右两边相等是解题关键．根据表格数据，当时，函数值为负；当时，函数值为正，说明方程的解在和之间． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则方程的一个解的取值范围是， 故选：B． 6. 如图，是的直径，C、D是半圆上的两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补进行计算，即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：A． 7. m是方程的根，则式子的值是（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，掌握整体代入的思想是解题关键．利用方程根的定义，得到，，再将高次项降次，代入求值． 【详解】解：∵ m是方程根， ∴， ∴，， ∴， ∴ 故选：B． 8. 如图，在的外接圆中，，是直径，作交于点F，交于点E，连接，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形为菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角和平行线的性质得到，从而得出，可判断A选项；根据等腰三角形三线合一的性质证明，进而证明四边形为菱形，可判断D选项；证明四边形为平行四边形，再根据等弧所对的弦相等，推出，可判断B选项；不一定成立，可判断C选项． 【详解】解：， ， ， ， ， ，A选项结论正确，不符合题意； ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形，D选项结论正确，不符合题意； 如图，连接， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，B选项结论正确，不符合题意； 不一定成立， C选项结论错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9. 关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零． 【详解】解：方程 是一元二次方程的条件是二次项系数 ， 解得 ． 故答案为 ． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方的非负性即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的条件，列出关于的一元一次不等式是解题的关键． 11. 已知是一元二次方程的一个根，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根；将已知根代入方程计算求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， 所以代入 得：， 计算得：， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故答案为：6． 12. 若正数a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根，则a的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】把x=a代入方程x2-5x+m=0，得a2-5a+m=0①，把x=-a代入方程方程x2+5x-m=0，得a2-5a-m=0②，再将①+②，即可求出a的值． 【详解】解：∵a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根， ∴a2-5a+m=0①，a2-5a-m=0②， ①+②，得2（a2-5a）=0， ∵a＞0， ∴a=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 13. 如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形， ∴，， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴ ∴阴影部分的面积为扇形的面积，即， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键． 14. 等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是_________． 【答案】7或8 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握相关知识点是解题关键．先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分情况讨论腰长，结合三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得：或， 当腰长为2时，三边分别为2、2、3，满足，可构成三角形，周长为；当腰长为3时，三边分别为3、3、2，满足，可构成三角形，周长为, 故答案为：7或8． 15. 如图，与正六边形的边分别相切于点C，F．若，则的半径长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆的综合，切线的性质定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数；连接，过D作于G，过E作于H，证出，得到，求出四边形是矩形，得到，再结合计算求解即可． 【详解】解：连接，过D作于G，过E作于H， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 过O作于M， ∴， ∴， ∴的半径长为； 故答案为：． 16. 如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得出方程一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m−n<1＜m+n即可求得k的取值范围． 【详解】解：由题意得：， ∴ 设的两根分别是、；则，； ∴； 根据三角形三边关系定理，得：，即； ，解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键． 17. 小张家里有一块如图所示的四边形木板余料，小张想用该木板裁剪出一个面积最大的圆形木板，已知，为直角，那么裁剪出来的圆形木板的半径为_________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，全等三角形，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 第一步，连接，作的平分线，交于点，作于H，证明得到，进而得到，，故平分和，平分，利用角平分线的性质定理得到点到四边形的各边的距离相等，是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形木板．第二步，求解，设，得到，，通过证明，利用相似比即可得到答案． 【详解】解：连接，作的平分线，交于点，作于H， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分和， ∵平分， ∴点到四边形的各边的距离相等， ∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形木板，其半径为， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， ∴圆形木板的半径为． 故答案为：． 18. 如图，已知扇形的半径，点P为弧上一动点，作，，垂足为M、N，当取最大值时，扇形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，四点共圆， 先说明点O，M，P，N在以为直径的圆上，可知当时，，最大，再根据扇形的面积公式求出答案． 【详解】解：由，可得， ∴点O，M，P，N在以为直径的圆上，为此圆的直径时，最大， 当时，，最大， 此时扇形的面积为． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的基本解法是解题关键． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）先对方程进行展开整理，再利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得：，； 【小问2详解】 解： ， 则或， 解得：，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 解得：，； 【小问4详解】 解：， 整理得， 其中，，， ， ， 解得：，． 20. 关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1． 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可. 【详解】（1）解：由题意：． ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）答案不唯一，满足（）即可，例如： 解：令，，则原方程为， 解得：． 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根 21. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，． （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为______． （2）求弧ABC的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案； （2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点， 由网格可得该点P(2，0)， 故答案为：(2，0)； 【小问2详解】 解：连接AC， 根据网格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4， ∠AOP=∠PQC=90°， 由勾股定理得， AP= =PC， ∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40， ∴AP2+CP2=AC2， ∴∠APC=90°， ∴弧ABC的长为， 答：弧ABC的长为π． 【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，勾股定理及其逆定理等知识，掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提． 22. 生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 23. 如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接，交于点F． （1）若，求的半径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，，设，则，由勾股定理可得，即，求解即可得到答案； （2）连接，证明，得出，求出，根据圆周角定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：是的直径，弦于点， ，， 设，则， ， ， 解得：， 即的半径为10； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 规定：若关于x的一元二次方程中常数项c是该方程的一个根，则该方程就叫做常数根一元二次方程． （1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_________； （2）如果关于x的方程是常数根一元二次方程，求该方程的解； （3）若关于x的常数根一元二次方程有两个相等的实数根时，求代数式的值． 【答案】（1）或； （2）当时，方程的解为，；当时，方程的解：，； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分式的化解求值，理解常数根一元二次方程的定义是解题关键． （1）根据常数根一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程，求解即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程，再将代入关于x的方程分别求解即可； （3）将所求代数式约分化简得到，由方程有两个相等的实数根，得到，由常数根一元二次方程的定义，得到，再分两种情况讨论：当和时，分别求出的值，再代入代数式计算求值即可 【小问1详解】 解：关于的方程是常数根一元二次方程， 是该方程一个根， ，即， 解得：，， 即c的值为或； 【小问2详解】 解：关于x的方程是常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ， 整理得：， 解得：，， 当时，方程为，解得：，； 当时，方程为，解得：，； 【小问3详解】 解： ， 方程有两个相等的实数根， ， 关于x的常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ， 当时，则，解得，此时原式； 当时，则，即， ， 解得：， ， 此时原式； 综上可知，代数式的值为或． 25. 如图，在矩形中，，动点P在边上以每秒2个单位的速度从点B出发，沿向点A运动，同时动点Q在对角线上以每秒5个单位的速度从点A出发，沿向点C运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）当P、Q两点间的距离为时，运动时间_________； （2）当以P、A、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点时，求出此时t的值． 【答案】（1）运动时间或． （2）或或． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，过作于，求解，结合，，可得，求解，，再进一步利用勾股定理求解即可． （2）由（1）得：，，，，， ∴，分三种情况：当为圆心时，则，当为圆心时，，当为圆心时，，进一步利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，过作于， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：或， 综上当P、Q两点间的距离为时，运动时间或． 【小问2详解】 解：由（1）得：，，，，， ∴， 当为圆心时，则， ∴， 解得：， 当为圆心时，， ∴， 解得：或（舍去）， 当为圆心时，， ∴， 解得：或（舍去）， 综上：的值为：或或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． （1）当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； （2）点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； （3）若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件得点，再根据中点坐标求出点的横坐标为，由点和点的横坐标相同得两个点在同一竖直方向上，则，点的纵坐标为； （2）线段与反比例函数有交点的临界状态为点在反比例函数图象上，设点，利用中点坐标表示出点，利用和勾股定理建立方程即可解出的取值范围，即的取值范围； （3）连接，为直径，则直径所对的圆周角，结合得垂直平分，，可判断点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆，则直线与相切；直线过定点，设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接，利用勾股定理得，再通过三角形面积公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴点，的半径为2； 当点刚好落在轴上时，点的横坐标为0， ∵点为线段中点， ∴点的横坐标为， 此时点和点在同一竖直方向，则点或， 故答案为：或． 【小问2详解】 当点反比例函数图象上时，设点， 则点， ∵点在圆上， ∴，， 解得或， ∵， ∴或， ∴， 即交点横坐标的取值范围为． 【小问3详解】 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆， 由条件得直线与该圆相切， ∵， ∴直线过定点， 设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的性质，中点坐标，勾股定理，切线的性质定理等，熟练掌握“到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆”以及数形结合的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $