精品解析：广东省肇庆市德庆县香山中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

广东肇庆市香山中学2025-2026学年第一学期中考 数学科试题 一、单选题 1. 已知，则点A关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知某圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ） A. B. C. D. 4. 已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A B. C. D. 5. 已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（ ） A B. C. D. 8. 中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则 C. 当实数时，等于 D. 当实数时，使得 10. 已知直线，和平面，，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，，则 B 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C. 当点和重合时，三棱锥的外接球体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的范围为 三、填空题 12. 以边长为2的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是_______． 13. 如图， 在三棱锥中，，且分别是棱的中点，则和所成的角等于_______. 14. 在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 四、解答题 15. 如图，在边长为4正方体中， 点在上. （1）当是中点时，证明平面； （2）当和重合时，求三棱锥的表面积和体积； 16. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）求三棱锥的体积. 17. 如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. （1）求线段BN的长： （2）求异面直线BA1与CB1夹角余弦； 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，． （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，且侧面底面，是的中点，． （1）已知是中点，求证：平面平面 （2）求证：平面； （3）当时，在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东肇庆市香山中学2025-2026学年第一学期中考 数学科试题 一、单选题 1. 已知，则点A关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点关于原点对称坐标结论可得答案. 【详解】点关于原点对称的点的坐标是. 故选：D 2. 已知某圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的结构特征求出高，然后利用圆锥的体积公式求解即可. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，母线长为3，所以圆锥的高为， 所以该圆锥的体积. 故选：C 3. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出平行四边形的面积，再根据直接求解. 【详解】因为四边形是平行四边形，且，， 所以平行四边形面积 根据直观图与原图面积关系， 所以. 故选： 4. 已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得出斜高，从而可得正四棱锥的高，由体积公式可得正四棱锥的体积. 【详解】如图所示，正四棱锥，，为底面正方形的中心，为的中点. 由已知可得，所以，又， 所以， 所以正四棱锥的体积. 故选：D. 5. 已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间线线、线面之间的基本关系，结合选项依次判断看. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则或或与相交，故B错误； C：若，则或，故C错误； D：若，则或，故D错误. 故选：A 6. 如图，在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件所给的比例关系分解向量即可. 【详解】如图所示， . 故选：D 7. 如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线为，底面半径为高为，根据题意列出方程求出的值，再计算圆柱和圆锥侧面积之和即可得解. 【详解】设圆锥的母线为，圆锥的底面半径为，高为， 由圆锥的侧面积是得，解得， 所以圆柱的侧面积为， 故制作这样一个粮仓的用料面积为. 故选：D. 8. 中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据鳖臑的体积为2先求，进而得阳马外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可求解. 【详解】设阳马外接球的半径为， 由题意有：， 又平面，四边形为正方形，所以， 所以， 所以阳马外接球的表面积为：， 故选：B. 二、多选题 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则 C. 当实数时，等于 D. 当实数时，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算进行代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若与垂直，则，即，故A正确； 对于B，若与平行，则，由，可知不存在使得式子成立，故B错误； 对于C，当时，，， 故C正确； 对于D，当时，，故D正确； 故选：ACD 10. 已知直线，和平面，，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系可得与平面，的位置关系还有其他情况满足题意，所以排除A、C选项，B、D选项可以用直线的方向向量和平面的法向量的角度来说明直线与平面的位置关系. 【详解】若，，与的位置关系可以是平行，相交或在面内，所以A选项错误； 若，则的方向向量是的法向量，因为，的方向向量与相同，故，所以B选项正确； 若，，与的位置关系可以是平行或在面内，所以C选项错误； 若，则的方向向量与的法向量平行，因为，的法向量与的法向量垂直， 所以与的法向量垂直，故或，又因为，则，所以D选项正确. 故选：BD. 11. 正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C. 当点和重合时，三棱锥的外接球体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，用等体积法求体积判断；选项B，作出截面图形可判断；选项C，当点P和重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，由此可判断；选项D，把问题转化为线段最值问题即可． 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 又， 平面，平面，则， 又，，平面， 所以平面， 故到平面的距离为， 故三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，故A正确； 对于B：当与棱相交时，截面为四边形，当与棱相交时，截面为三角形，故B正确； 对于C：当点和重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 故外接球的半径为，故外接球的体积为，故C正确； 对于D：设点到平面的距离为，由， 又，则， 知点到平面的距离， 当在线段上运动时，， 当点为线段的端点时，， 设直线与平面所成角为，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12. 以边长为2的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】算出圆柱底面面积和侧面积后可得表面积. 【详解】由题设，圆柱的底面半径为，故上下底面的面积和为， 而侧面积为， 故该圆柱的表面积为， 故答案为：. 13. 如图， 在三棱锥中，，且分别是棱的中点，则和所成的角等于_______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，则为所求， 【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG． ，F分别是CD，AB的中点， ，，且，． 为EF与AC所成的角（或其补角）． 又，，， 为直角三角形，，又为锐角， ，即EF与AC所成的角为． 故答案为：. 14. 在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据线面角的向量求法计算. 【详解】因为，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在边长为4的正方体中， 点在上. （1）当是中点时，证明平面； （2）当和重合时，求三棱锥的表面积和体积； 【答案】（1）证明见详解 （2）， 【解析】 【分析】（1）连接，交于，在正方体中，易得为中点，结合是中点，可得，然后可证的平面； （2）由题知，，利用三角形面积公式即可求表面积，又平面，再利用锥体体积公式即可三棱锥的体积. 【小问1详解】 证明：连接，交于，连接， 在正方体中，底面为正方形， 所以为中点，又是中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 当和重合时， 在正方体中，平面， ，， 所以三棱锥的表面积 ， 体积， 所以三棱锥的表面积为，体积为. 16. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，计算即得结论； （2）平面的一个法向量为，利用线面角的向量夹角公式进行求解； （3）利用进行求解. 【小问1详解】 直三棱柱中，， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系， 又，是的中点，是的中点， 则， 则， 由，可得， 即直线直线； 【小问2详解】 显然平面的一个法向量为， ，设直线与平面所成的角的大小为， 由， 因，所以； 【小问3详解】 易得⊥平面，故点到平面的距离为， 又是中点，故到平面的距离，其中， 由于， 故三棱锥的体积为. 17. 如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. （1）求线段BN的长： （2）求异面直线BA1与CB1夹角余弦； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出的长； （2）求出利用向量的夹角公式，即可求解. 小问1详解】 以为坐标原点，以、、的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图 由题意得， 故． 【小问2详解】 依题意得， 故，则， ， ， 即异面直线BA1与CB1夹角余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，． （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则，利用三角形中位线定理证明，由线线平行即可证得线面平行； （2）取中点，连接，证明，利用平面平面证明平面，得，结合条件，再由线线垂直即可证得平面； （3）由（2）已得平面，则即直线与平面所成角，则可借助于，利用三角函数的定义即可求得. 【小问1详解】 如图，连接，因底面为平行四边形，则， ， 因，则，因平面， 平面，故平面. 【小问2详解】 取中点，连接，因为等边三角形，则， 又平面平面，平面平面， 平面， 则平面，又平面，故， 因，平面，故平面. 【小问3详解】 由（2）已得平面，连接，则即直线与平面所成角， 因为等边三角形，，则， 又，在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，且侧面底面，是的中点，． （1）已知是的中点，求证：平面平面 （2）求证：平面； （3）当时，在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）存，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，，再结合面面平行的判定定理，即可证明； （2）根据题意，可得，，再结合线面垂直的判定定理，即可证明； （3）设三棱锥的高为，三棱锥的高为，则，又，，所以可得，故在棱上存在点，使得三棱锥的体积为. 【小问1详解】 因为是的中点，是的中点，所以为的中位线，即， 又平面，平面，所以平面， 又，是的中点，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）得，四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形， 所以， 又，是的中点，平面，所以， 又侧面底面，侧面与底面相交于， 所以底面， 又平面，所以， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面； 【小问3详解】 当时，可得，，是的中点，则，， 直角三角形中，根据勾股定理，可得， 为等腰直角三角形，其面积， 所以， 设三棱锥的高为，三棱锥的高为， 则，又， 所以， 又点在棱上，所以. 所以，在棱上存在点，使得三棱锥的体积为，此时，的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $