精品解析：河北省保定市清苑区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中质量监测九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判断， 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：选项A：若，则方程变为，不是二次方程，故不一定是一元二次方程； 选项B：方程中含有未知数y，不是一元方程； 选项C：方程中含有分式，不是整式方程； 选项D：方程只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合定义． ∴故选：D． 2. 如图，矩形中，是对角线的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和直角三角形斜边中线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．利用矩形的性质和直角三角形斜边中线定理来求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 4. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 通过计算每个二次方程的判别式（），若，则方程无实数根． 【详解】解：A、在中，， ∴ ， ∴方程无实数根，符合题意； B、在中，， ∴ ， ∴方程有实数根，不符合题意； C、在中，， ， ∴方程有实数根，不符合题意； D、在中，， ∴ ， ∴方程有实数根，不符合题意； 故选A． 5. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 6. 列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（ ） 0 1 2 3 ... ... A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 7. 在一个不透明的袋子里有红球、黑球、白球共75个，且小球除颜色外完全相同．嘉嘉通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中的白球个数很可能是（ ） A. 18个 B. 27个 C. 30个 D. 39个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估算概率，掌握其原理是解题的关键． 根据频率估计概率的原理，摸到白球的频率等于1减去摸到红球和黑球的频率之和，再乘以总球数即可得到白球的可能个数． 【详解】∵摸到红球和黑球的频率分别稳定在和， ∴摸到白球的频率稳定在， ∴白球的个数为（个）； 故选：D． 8. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 9. 现有3张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取1张，记下描述的变化后放回，洗匀，再从中随机抽取1张，则这两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，将正面图案是铁器生锈、陶瓷烧制、冰雪融化的卡片分别用A，B，C表示．根据题意画出树状图，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】将正面图案是铁器生锈、陶瓷烧制、冰雪融化的卡片分别用A，B，C表示． 根据题意，画树状图如下． 由树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是物理变化的结果有1种， （两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是物理变化）， 故选A． 10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株后剩余株，运费为文，运费等于一株椽的价钱，由此列出方程． 【详解】解：∵每株椽的价钱为文，少拿一株后，运费为文，且运费等于一株椽的价钱， ∴， 两边乘以得：， 即选项B正确． 故选：B． 11. 如图，任意四边形中，点分别是边的中点，连接，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 若，则四边形为菱形 B. 若，则四边形为矩形 C. 若，且，则四边形为正方形 D. 若与互相平分，且，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可． 【详解】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意； B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意； C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD，且AC⊥BD，存在EF=FG=GH=HE，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意； D、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC=BD，故四边形EFGH为菱形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关． 12. 如图，在正方形中，为其对角线，点E为上一个动点，连接，，过D作交于F，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行线的性质得到，再由平角的定义证明，由正方形的性质得到，则可证明得到，，进而可证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，，故A、D结论正确，不符合题意； ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故C结论错误，符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知菱形两条对角线长分别为6，8，则菱形的边长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 由菱形的性质得，再由勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图， 设菱形的两条对角线相交于O， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 故答案为：5． 14. 已知关于x的方程的一个根是2，则它的另一个根是______． 【答案】1 【解析】 【分析】先把代入，解得，再根据一元二次方程的根与系数的关系进行列式解答即可． 【详解】解：关于x的方程的一个根是2， 则把代入，得， 解得， 因为， 所以 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握是解题的关键． 15. 如图，小提琴的设计中蕴含着数学知识，点是线段的黄金分割点（），若小提琴的总长度为，则琴身的长为_______．（结果保留根号）     【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割比例是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，利用黄金分割比例公式计算的长度． 【详解】∵点是线段的黄金分割点（）， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点落在折痕上，并使折痕经过点，得到折痕和线段，记与的交点为．若，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形成为解题的关键． 由折叠的性质可得：，在根据特殊角的三角函数值可得，进而得到、，再解直角三角形得到，，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为4． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）先移项，再提公因式进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ， ， ∴； 【小问2详解】 解： 或 解得． 18. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设，是方程的两个根且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元一次不等式和一元二次方程，解题的关键是掌握以上定义和公式． （1）利用根的判别式，列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 ， 解这个不等式，得， 答：的取值范围是； 【小问2详解】 解：由题意，得 解得． 方程有两个不相等的根， 答：的值是． 19. 下面是嘉嘉同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过程． 已知：如图，等腰，．求作：点，使得四边形为菱形． 作法： ①作的角平分线，交线段于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交线段的延长线于点； ③连接，，所以四边形为菱形，点即为所求． 根据嘉嘉同学设计的作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹） （2）请证明四边形是菱形． 【答案】（1） 如图所示． （2） 证明：，平分， ，． 由作图可知，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定、菱形的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据等腰三角形三线合一得到，根据对角线互相平分的四边形得到平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形得到菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． （1）设所求方程的根为，利用根的相反数关系得到与的关系，代入原方程化简； （2）设所求方程的根为，利用根的倒数关系得到与的关系，代入原方程化简； （3）通过对方程变形，结合已知方程的根，分析新方程的根． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得， 化简，两边同乘得，即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：已知的根为， 对于方程， 变形为，即， 令，则方程变为，所以或， 当时，，解得；当时，，解得， 故答案为：． 21. 如图，在中，点是的边上的一点． （1）请判断三人的说法的对错，小星_______，小红_______，小亮_______．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）在（）的条件下，，若，，直接写出的长． 【答案】（1）对，对，错 （2） 证明：选小星说法， ∵，， ∴； 选小红说法， ∵，， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （）根据相似三角形的判定方法即可求证； （）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星说法对；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的说法对；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的说法错； 故答案为：对，对，错； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解： 第一次 第二次 A B C D A B C D 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 23. 某市电动车的交通事故频出，交警部门提醒市民，16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销售量，该品牌头盔7月份销售50个，9月份销售72个，7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，每个头盔售价为40元时，平均每月销售量为600个，若在此基础上售价每下降1元，其月销售量就增加200个．为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价． 【答案】（1） （2）37元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔7月份销售50个，9月份销售72个得出关于x的一元二次方程，然后解方程即可； （2）设每个头盔售价为元，则月销售量为个，根据预计月获利恰好为8400元得出关于m的一元二次方程，然后解方程结合库存为1210个头盔取合适的解即可． 【小问1详解】 设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设每个头盔售价为元，由题意， 得， 解得， 当时，， 当时，， 所以，每个头盔的售价是37元． 24. 某数学兴趣小组在数学课外活动中研究三角形和矩形性质时，做了如下探究： 在矩形中，点在上，，，． 【观察与猜想】 （1）如图1，连接，过点作，交于点，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接，且的面积是3.84，直接写出长． 【答案】 （1）证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和已知数据，证明，即可推出； （2）根据矩形的性质可得，再通过导角证明，即可证明； （3）过F作于G，根据的面积可得，同（2）可证，推出，进而求出，再利用勾股定理解求出，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过F作于G， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同（2）可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是综合应用上述知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中质量监测九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，矩形中，是对角线的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 3. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 6. 列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（ ） 0 1 2 3 ... ... A. B. C. 或 D. 或 7. 在一个不透明的袋子里有红球、黑球、白球共75个，且小球除颜色外完全相同．嘉嘉通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中的白球个数很可能是（ ） A. 18个 B. 27个 C. 30个 D. 39个 8. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 9. 现有3张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取1张，记下描述的变化后放回，洗匀，再从中随机抽取1张，则这两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，任意四边形中，点分别是边的中点，连接，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 若，则四边形为菱形 B. 若，则四边形为矩形 C. 若，且，则四边形为正方形 D. 若与互相平分，且，则四边形是正方形 12. 如图，在正方形中，为其对角线，点E为上一个动点，连接，，过D作交于F，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知菱形两条对角线长分别为6，8，则菱形的边长为______． 14. 已知关于x的方程的一个根是2，则它的另一个根是______． 15. 如图，小提琴的设计中蕴含着数学知识，点是线段的黄金分割点（），若小提琴的总长度为，则琴身的长为_______．（结果保留根号）     16. 如图，将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点落在折痕上，并使折痕经过点，得到折痕和线段，记与的交点为．若，则_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程 （1）； （2）． 18. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设，是方程的两个根且，求的值． 19. 下面是嘉嘉同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过程． 已知：如图，等腰，．求作：点，使得四边形为菱形． 作法： ①作的角平分线，交线段于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交线段的延长线于点； ③连接，，所以四边形为菱形，点即为所求． 根据嘉嘉同学设计的作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹） （2）请证明四边形是菱形． 20. 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 21. 如图，在中，点是的边上的一点． （1）请判断三人的说法的对错，小星_______，小红_______，小亮_______．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）在（）的条件下，，若，，直接写出的长． 22. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 23. 某市电动车的交通事故频出，交警部门提醒市民，16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销售量，该品牌头盔7月份销售50个，9月份销售72个，7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，每个头盔售价为40元时，平均每月销售量为600个，若在此基础上售价每下降1元，其月销售量就增加200个．为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价． 24. 某数学兴趣小组在数学课外活动中研究三角形和矩形性质时，做了如下探究： 在矩形中，点在上，，，． 【观察与猜想】 （1）如图1，连接，过点作，交于点，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接，且的面积是3.84，直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $