精品解析：新疆生产建设兵团第七师2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025—2026学年第一学期期中试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在试题卷和答题卷的相应位置上． 2.作答选择题时，选出正确答案后，用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案字母涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案字母，在试题卷上作答无效． 3.作答非选择题时，将答案写在答题卷上，在试题卷上作答无效． 4.考试结束时，将本试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 每年8月8日是我国全民健身日，据有关部门统计，我省某市居民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（ ） A. 1， B. 1，2 C. 1，3 D. ， 6. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知，是方程的两个实数根，则代数的值是（ ） A. 4049 B. 4047 C. 2024 D. 1 8. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 9. 如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点，已知二次函数（实数为常数）的图象与轴交点有整点，则这样的整数a有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若原点是抛物线的顶点，则抛物线的开口向______． 12. 若关于的一元二次方程没有一次项，则__． 13. 方程无实数根，则点位于第______象限． 14. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________． 15. 若实数、分别满足，，且，则___． 16. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为a、b 、c 、d ．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为______． 三、解答题（本题有7小题，共86分，各小题都必须写出解答过程） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，用配方法解方程． 19. 已知关于的方程． （1）试从，，等三个数中，选取一个数作为的值，使原方程有解，并说明理由，且求此解； （2）当时，原方程有一根为，求的值． 20. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 21. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 22. 果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象． （1）图中点P所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少____________； （2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？ 23. 如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得； （2）两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在试题卷和答题卷的相应位置上． 2.作答选择题时，选出正确答案后，用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案字母涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案字母，在试题卷上作答无效． 3.作答非选择题时，将答案写在答题卷上，在试题卷上作答无效． 4.考试结束时，将本试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（整式方程，且未知数的最高次数为2），逐一判断各选项，即可． 【详解】解：A、原方程整理得：，是一元二次方程，故本选项符合题意； B、方程中含有分式 和 ，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、方程中可能为0，当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、原方程整理得：，最高次项为，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A 2. 用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案． 【详解】解：，则，，， 故选：C 3. 用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 开方得， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 4. 每年8月8日是我国全民健身日，据有关部门统计，我省某市居民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据第一周人均运动时长周平均增长率第三周人均运动时长列出方程即可． 【详解】解： 由题意可得： ， 故选C． 5. 将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（ ） A. 1， B. 1，2 C. 1，3 D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．直接根据二次函数图象的平移规则判断即可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移个单位得到解析式， ∴，， 故选：A． 6. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 由图可知：抛物线在直线上方时，的范围是：或， 即的解集是或， 故选：C． 7. 已知，是方程的两个实数根，则代数的值是（ ） A. 4049 B. 4047 C. 2024 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为．根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 8. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式． 9. 如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . . 故①正确. 是关于二次函数对称轴对称， . 在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示， . 故②正确. 图象与轴交于点， ，. . . 故③正确. ， . 当时，， . ， ， . 故④不正确. 综上所述，正确的有①②③. 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点. 10. 在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点，已知二次函数（实数为常数）的图象与轴交点有整点，则这样的整数a有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，在中，令，得，解得：或，当当是的因数时，是整数，即可得出的值，从而得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：函数是二次函数， ， ， 在中，令，得， 解得：或， ，是整数， 当是的因数时，是整数， 或或或或或或或， 解得：或或或或或或或， 是整数， 或或或，共4个， 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若原点是抛物线的顶点，则抛物线的开口向______． 【答案】上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键． 由顶点在原点，得出对称轴为y轴，从而求出a的值，再根据二次项系数的正负判断开口方向． 【详解】解：抛物线方程为 ，其顶点在原点， ， ， 解得：， 代入原方程，得 ， 二次项系数 ， 抛物线开口向上， 故答案为：上． 12. 若关于的一元二次方程没有一次项，则__． 【答案】 【解析】 【分析】根据没有一次项可得，且求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的一般形式为 13. 方程无实数根，则点位于第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，点的坐标所在的象限．分类讨论，由方程无实数根的条件，通过判别式求得m的取值范围，再根据点P的坐标符号判断其所在象限，即可． 【详解】解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 14. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH． 【详解】解：当时，，解得：或， 结合图形可知：， 故答案为：4 【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值． 15. 若实数、分别满足，，且，则___． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意可以把，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，，再 根据进行求解即可． 【详解】设，依题，满足方程，是这个方程的两根， ∴，， ∵； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为a、b 、c 、d ．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设页边距为x，根据打印区域的面积占纸张面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设页边距为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：3． 三、解答题（本题有7小题，共86分，各小题都必须写出解答过程） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据公式法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ 解得：，； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，用配方法解方程． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得且； 【小问2详解】 解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 19. 已知关于的方程． （1）试从，，等三个数中，选取一个数作为的值，使原方程有解，并说明理由，且求此解； （2）当时，原方程有一根为，求的值． 【答案】（1） 证明：对于方程，当根的判别式时，该方程有实数解， 由解得：， 从，，三个数中，选取，该方程有实数解， 此时原方程为， 解得：，， （2）34 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握解一元二次方程及一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． （1）首先由根的判别式得，由此解得，据此可在，，三个数中选取一个使原方程有解，进而在求出原方程的解即可； （2）当时，原方程为，将代入该方程得，显然，据此可得，然后利用完全平方公式即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，原方程为， 这个方程的一根为， ， 显然， 将的两边同时除以，得：， ， ， ． 20. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】（1）6m （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． 【小问2详解】 解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 21. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 22. 果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象． （1）图中点P所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少____________； （2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？ 【答案】（1）增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg；0.5 （2）y与x的函数关系式为y=-0.5x+80(0<x≤80) （3）增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg 【解析】 【分析】(1)①根据图像可知，增种果树为x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，可以得出图中点P表示的实际意义；②根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，可以得出每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少的量； (2) 根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，设y与x的函数关系式为y=kx+b，将x=10，y=75；x=28，y=66代入可得y与x的函数关系式； (3) 根据题意，果园的总产量w=每棵果树平均产量×果树总棵树；可得w与x的二次函数关系式，根据二次函数的图像和性质即可解得． 【小问1详解】 ①根据图像可知，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为， 所以图中点P表示的实际意义是：增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg， 所以答案为：增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg， ②根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为． 增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg， 可以得出：每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少为： (75-66)÷（28-10）=9÷18=0.5（kg） 所以答案为：0.5 【小问2详解】 根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，设y与x的函数关系式为y=kx+b 将x=10，y=75；x=28，y=66代入可得 解得 ∴y与x的函数关系式为y=-0.5x+80(0<x≤80) 【小问3详解】 根据题意，果园的总产量w=每棵果树平均产量×果树总棵树可得 w=(-0.5x+80)(60+x) =-0.5x2+50x+4800 ∵a=-0.5<0 所以当x= 时，w有最大值 w最大=6050 所以增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数的应用，解答本题的关键是看懂图像，明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． 23. 如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得； （2）两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 【答案】（1）两动点经过秒时，使得； （2）两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）等量关系为：，即； （2）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和三种情况． 【小问1详解】 解：设两动点经过t秒时，使得． 则， 解得． 答：两动点经过秒时，使得； 【小问2详解】 解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的． 则，即， 解得． 答：两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； 【小问3详解】 解：两动点经过秒，使得是等腰三角形 ①当时，过点Q作于点H． 则， 所以， 整理得， 解得，； ②当时，． 则， 整理得． 解得（舍去），； ③当时，， 即， 整理得，， 解得，（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $