第6章图形的相似 单元同步练习 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

2025-2026学年苏科版数学九年级下册 第6章图形的相似 （单元同步练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列各组图形中一定相似的是（ ）． A. 两个直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 两个菱形 D. 两个矩形 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.已知线段cm，线段cm，则线段、的比例中项是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 4.已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（　　） A. B. C. D. 5.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7.如图，在中，，，平分交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 8.如图，矩形中，在x轴上，在y轴上，且，，把沿着对折得到，交y轴于D点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.线段2cm、8cm的比例中项为_____cm． 10.在比例尺为1∶50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝3cm，则A、B两地的实际距离为________km. 11.已知线段，点是线段的黄金分割点，则________ 12.，相似比为，则与的周长比为______． 13.如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为___________． 14.如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则＝________． 15.一些木工师傅利用平行四边形的不稳定性制作了一种放缩尺，可将图形进行缩放．如图，已知四边形为平行四边形，，，以点O为轴心，在A处和处安装制图笔，当A处制图笔所画图形的面积为3时，则处制图笔所画图形的面积是______． 16.如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为____________． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，的顶点均为网格中的格点． （1）选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个，使（相似比不为1）． （2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为4． 18.如图，，． （1）与相似吗？为什么？ （2）如果，，那么的长为多少？ 19.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点坐标______；若线段上的坐标为，则对应的点的坐标______． 20.如图，中，是边上的高，且． （1）求证：； （2）求的大小． 21.如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． （1）求的值； （2）设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 22.如图，，平分，过点作交于，连接交于． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23.为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到D’处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 24.如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”． （1）在中，． ①如图1，若，请过顶点C画出的“形似线段”，并标注必要度数； ②如图2，若，则的“形似线段”的长是______． （2）如图3，在中，，，，若是的“形似线段”，求的长． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列各组图形中一定相似的是（ ）． A. 两个直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 两个菱形 D. 两个矩形 【答案】B 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3.已知线段cm，线段cm，则线段、的比例中项是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 4.已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 5.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 7.如图，在中，，，平分交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 8.如图，矩形中，在x轴上，在y轴上，且，，把沿着对折得到，交y轴于D点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.线段2cm、8cm的比例中项为_____cm． 【答案】4 10.在比例尺为1∶50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝3cm，则A、B两地的实际距离为________km. 【答案】1.5 11.已知线段，点是线段的黄金分割点，则________ 【答案】 12.，相似比为，则与的周长比为______． 【答案】 13.如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为___________． 【答案】 14.如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则＝________． 【答案】9：25 15.一些木工师傅利用平行四边形的不稳定性制作了一种放缩尺，可将图形进行缩放．如图，已知四边形为平行四边形，，，以点O为轴心，在A处和处安装制图笔，当A处制图笔所画图形的面积为3时，则处制图笔所画图形的面积是______． 【答案】27 16.如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为____________． 【答案】或 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，的顶点均为网格中的格点． （1）选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个，使（相似比不为1）． （2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为4． 【答案】（1）解：如图所示：即为所求，理由如下： 设小正方形的边长为：1，由图可知：， 由勾股定理，得：，，，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，，且， 则， ∴的相似比为， 则，，， 如图所示，即为所求． 18.如图，，． （1）与相似吗？为什么？ （2）如果，，那么的长为多少？ 【答案】（1）∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD， 即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中 ∴△ABC∽△ADE； 【小问2详解】 ∵△ABC∽△ADE， ∴， ∵AB=2AD，BC=4， ∴， ∴DE=2， 即DE的长为2． 19.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点坐标______；若线段上的坐标为，则对应的点的坐标______． 【答案】（1）解：根据题意画出图形，即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：点的坐标为，变化后的对应点的坐标为：， 故答案为：；． 20.如图，中，是边上的高，且． （1）求证：； （2）求的大小． 【答案】（1）证明：是边上的高， ， 又，即， ； 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ， 即：． 21.如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． （1）求的值； （2）设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 【答案】（1）解：四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ， 四边形是矩形， ， 又， 四边形是矩形， ， ； ， ， 当时，有最大值， 故答案为：． 22.如图，，平分，过点作交于，连接交于． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 23.为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； 【小问3详解】 解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 24.如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”． （1）在中，． ①如图1，若，请过顶点C画出的“形似线段”，并标注必要度数； ②如图2，若，则的“形似线段”的长是______． （2）如图3，在中，，，，若是的“形似线段”，求的长． 【答案】（1）①如图所示，线段即为所求，； ②当时，如下图： ， ， ， ， 当时，如下图： 设，则， ， 解得：， ， 则的“形似线段”的长是或， 综上分析可知，的“形似线段”的长为或． 【小问2详解】 解：①若， 则． ，，， ． ②若， 则． ，，， ． 综上所述，． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $