精品解析：河南省平顶山市鲁山县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年上学期期中调研试卷九年级数学 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效. 3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得或； 故选：C． 2. 同时掷2枚相同的质地均匀的硬币，出现一正一反的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：设硬币出现正面为，出现反面为， 列表如下： 由表格可得，共有4种等可能的结果，其中出现一正一反的情况有2种， 出现一正一反的概率． 故选：A． 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由等式变形，直接求解的比值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线的长度是a的正方形的面积是 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定和正方形的面积计算，根据矩形、菱形的判定和正方形的性质，逐一判断选项的正误即可得出答案． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线的长度是a的正方形的面积是，故原说法正确，符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如果和是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根的定义，用方程转化为，然后组合 terms，得到。再根据一元二次方程根与系数关系得出，代入计算即可． 【详解】解：∵ α是方程的根， ∴ ，即 ． ∴ ． 又∵． ∴原式 = ． 故选：B． 6. 如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点B作于E，于F，由题意得，，，则可证明四边形是平行四边形，得到，由等面积法可得，则，求出，得到，由勾股定理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，于F， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴它们重叠部分的面积为， 故选：D． 7. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，解题的关键在于读懂折线统计图的含义． 根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，频率稳定在，再利用频率估计出概率，结合几何概率可知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，进而即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，该点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 长方形的长为，宽为， 则长方形的面积为：， 不规则图案的面积大约为． 故选：B． 8. 如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为 ( ) A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶5 D. 1∶6 【答案】B 【解析】 【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比． 【详解】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA， ∴OA：OD=1：2， ∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4． 故选B． 【点睛】本题考查图形的位似变形.求出位似比是解决本题的关键. 9. 中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：①，，可证，故①符合题意； ②，，可证，故②符合题意； ③，，可证，故③符合题意； ④，，不能证明，故④不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键． 10. 如图，正方形和正方形的边长都是2，把正方形的一个顶点O与正方形的对角线交点重合，与边交于点，与边交于点，则四边形的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，由题意得又因为可得，根据可证明，得出，从而有，据此解答． 【详解】解：在正方形和中，， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有180次，由此估计袋子中白球的个数为____ 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：设袋子中白球有个， 根据题意，可得：， 解得：， 所以估计袋子中白球大约有15个， 故答案为：15． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的含义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，再根据根的判别式大于零，方程有两个不相等的实数根，列不等式求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴二次项系数 ，即 ， 且判别式 ， 解得 ． ∴的取值范围是且． 故答案为：且 13. 国庆节放假了，为了活跃气氛，小明提议在他们的家族微信群里搞一个“发红包”活动，规定每个人都要发一个红包，并且保证群里所有人都能抢到，但是自己不能抢自己发的红包．最后，经过统计所有人共抢到红包132个，则他们这个家族群共有__________人． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设他们这个家族群共有人，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设他们这个家族群共有人， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴他们这个家族群共有12人． 故答案为：12． 14. 我们知道直角三角形斜边上的中线能够把这个直角三角形分成两个等腰三角形．如图，四边形ABCD中，，点是对角线的中点，若，则的度数是_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线性质和等腰三角形的性质． 根据已知可得，进而可得，再在求出等腰中求出底角度数即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ 故答案为． 15. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）整理后利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：移项得， ∴， 或， ，． 【小问2详解】 解：， 原方程可化为：， ， ，． 17. “一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1964 2949 3932 合格品频率 a （1）求出表中_____，_____； （2）从这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率的估计值是_____（精确到）； （3）如果要出厂49000项合格的头盔，则该厂估计要生产多少项头盔？ （4）这批头盔共有红、白、蓝、黑四种颜色，小明的妈妈把这四种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）该厂估计要生产50000顶头盔 （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图求概率，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在 左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为 ； （3）用样本数据估计总体即可． （4）列树状图求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在 附近波动，所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是 ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产50000顶头盔． 【小问4详解】 解：如图：列出树状图 根据树状图可知，共有12种可能情况，刚好一人取到蓝色，一人取到红色有2种可能情况， 刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率． 18. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 19. 如图，在矩形中，，，把这个矩形纸片折叠一次，使点B和点D重合． （1）请用直尺和圆规作出这条折痕（不写作法，保留作图痕迹）； （2）这条折痕交于点，交于点，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）作的垂直平分线即可； （2）由垂直平分线的性质和矩形的性质，易推出，由全等三角形的性质可得，再利用求出即可解答． 【小问1详解】 如图，连接，作的垂直平分线，交于，交于，交于点，即为折痕． 【小问2详解】 矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合， 垂直平分， ，， 四边形为矩形， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 由作法可知：， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴． 20. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见详解 （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【小问1详解】 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 22. 如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是12米． 【解析】 【详解】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，延长交的反向延长线于点H，由求得，再由求得，便可解决问题，关键是构造和证明三角形相似． 【解答】延长交的反向延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ∵米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 答：河宽是12米． 23. （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）旋转可知， 、、在同一直线上，进而可得，再证明，即可得，由此即可得出结论； （2）根据正方形的性质结合已知条件证明，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵正方形 ， ∴，， ∵把旋转到的位置，如图2， ∴，，，， ∴， ，即、、在同一直线上， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2） 四边形是正方形， ，， ，， ， ，即 ， ， ， 是等腰直角三角形． ； （3）证明：如图4，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中调研试卷九年级数学 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效. 3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 没有实数根 2. 同时掷2枚相同的质地均匀的硬币，出现一正一反的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线的长度是a的正方形的面积是 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 5. 如果和是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. -1 6. 如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为 ( ) A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶5 D. 1∶6 9. 中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 10. 如图，正方形和正方形的边长都是2，把正方形的一个顶点O与正方形的对角线交点重合，与边交于点，与边交于点，则四边形的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有180次，由此估计袋子中白球的个数为____ 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 13. 国庆节放假了，为了活跃气氛，小明提议在他们的家族微信群里搞一个“发红包”活动，规定每个人都要发一个红包，并且保证群里所有人都能抢到，但是自己不能抢自己发的红包．最后，经过统计所有人共抢到红包132个，则他们这个家族群共有__________人． 14. 我们知道直角三角形斜边上的中线能够把这个直角三角形分成两个等腰三角形．如图，四边形ABCD中，，点是对角线的中点，若，则的度数是_____． 15. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）． 17. “一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1964 2949 3932 合格品频率 a （1）求出表中_____，_____； （2）从这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率的估计值是_____（精确到）； （3）如果要出厂49000项合格的头盔，则该厂估计要生产多少项头盔？ （4）这批头盔共有红、白、蓝、黑四种颜色，小明的妈妈把这四种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 18. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 19. 如图，在矩形中，，，把这个矩形纸片折叠一次，使点B和点D重合． （1）请用直尺和圆规作出这条折痕（不写作法，保留作图痕迹）； （2）这条折痕交于点，交于点，直接写出的长． 20. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 22. 如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 23. （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $