精品解析：山东省/滨州市阳信县2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025－2026学年第一学期期中学习力检测初三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知二次函数的图象过点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象， 将点代入二次函数解析式，直接计算 m 的值． 【详解】解：∵函数图象过点， ∴当时，，代入，得：， 解得． 故选：B． 2. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种， ∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3. 若二次函数的图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次函数的图象经过，求出对称轴，再根据函数图象判断即可． 【详解】解：二次函数的图象经过，， 二次函数对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ， ，，的大小关系为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，能够找出对称轴是解题的关键． 4. 如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（　　） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线长定理得出，，，求出的周长是，代入求出即可． 【详解】解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E， ∴，，， ∴的周长是 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的周长． 5. 下列命题中，错误的是（ ） A. 平分弧的直径平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的弦垂直于这条弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 弦的中垂线经过圆心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及其推论，根据圆的性质判断命题真假， 垂径定理指出：垂直于弦的直径平分这条弦；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦． 【详解】解：选项B中平分弦的弦垂直于这条弦错误，因为平分弦的弦不一定是直径，不一定垂直； 选项A正确：平分弧的直径平分这条弧所对的弦（垂径定理推论）； 选项C正确：垂直于弦的直径平分这条弦（垂径定理）； 选项D正确：弦的垂直平分线必经过圆心（圆的性质）． ∴故选：B． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题． 【详解】A、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴x＝−＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确． B、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴＝−＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误， D、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． 故选：A． 【点睛】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答． 7. 在中，直径弦于点若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先连接OD,然后利用垂径定理和勾股定理解答即可． 【详解】解：如图连接OD ∵直径AB＝15， ∴DO=BO＝7.5， ∵OC：OB＝3：5， ∴CO＝4.5， ∵DE⊥AB， ∴DC＝ ∴DE＝2DC＝12． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线并灵活运用垂径定理是解答本题的关键． 8. 如图是二次函数的部分图象，有下列结论：①方程的两个根是，；②；③（为实数）；④若点，为抛物线上两点，当，且时，有，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键． 根据二次函数图象的对称性、函数图象对称轴和函数最值的判断逐项进行分析即可； 【详解】由图象可知，抛物线与轴的交点为，， 方程的两个根是，，故①不正确； 当时，， ， ， ，故②不正确； 函数图象开口方向向上，对称轴为， 当时，为最小值， ， ， ， ， ，故③正确； 当时，，时，， ∵二次函数对称轴且图象开口向上， 时函数有最小值， 时，随增大而增大， 当且时，，故④正确； 综上所述，正确的有③④． 故选． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球、2个白球和3个黄球，若从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是． 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键． 10. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 11. 如图，是的直径，点，在上．若，则__________度． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得，，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 12. 在中，，，，则的内切圆的半径为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和三角形的内切圆的定义，掌握三角形的内切圆的定义是解题关键． 先利用勾股定理求出斜边的长，通过三角形的面积列方程求解即可． 【详解】解：如图，作示意图如下， 由三角形的内切圆的定义可知，内切圆的圆心O到三角形的三边的距离相等，等于半径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 13. 圆锥底面半径为6，高为8，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式求解． 先根据圆锥底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再将底面半径和母线长代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥底面半径，高， ∴圆锥母线长． 又∵圆锥侧面积公式为， ∴侧面积． 故答案为：． 14. 如图，在中，点，，为圆周上三点，且，若，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，圆周角定理，平行线的判定及性质、扇形面积公式，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键，连接、、，先证明和是等边三角形，得进而得，，从而根据扇形的面积公式即可得解． 【详解】解：连接、、， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征．当与x轴相切时，点P的纵坐标是1或，把点P的坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标． 【详解】解：∵的半径为1，⊙与轴相切， ∴点P的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴点P的坐标或； 当时，， 解得， ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 16. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形等知识点，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键．如图：连接，过点B作于D，根据正六边形的性质可得,根据等腰三角形的性质可得的长，最后根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：如图：连接，过点B作于D， ， 由正六边形可得：, ∴， 由，则， ∵在中，， ∴, ∴ ∴， ∴． 故答案为． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于轴对称；⑤函数值随自变量增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是______； （2）先从盒子中任意抽出1支签，再从盒子中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画出树状图，再由概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画出树状图： 共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种， 抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图求概率，一次函数与二次函数的性质，解题的关键是会列出表或树状图以及一次函数与二次函数的性质． 18. 二次函数（，为常数）的图象经过点，． （1）该二次函数图象与轴的交点坐标为______，顶点坐标为______； （2）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （3）根据图象，当时，的取值范围是______． 【答案】（1） （2）图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，画二次函数的图象，二次函数图象的性质， 对于（1），将两个点的坐标代入关系式可得二次函数关系式，令求出与y轴交点坐标，再配方得出顶点式可得顶点坐标； 对于（2），根据列表，描点，连线可得图象； 对于（3），根据抛物线的增减性可知当时，函数值随着x的增大而增大，当时取最大值4，然后函数值y随着x的增大而减小，即可得出答案． 【小问1详解】 解：依题意，得 解得 该函数的解析式为  令，则，故其与轴的交点坐标为 ， 顶点坐标为  故答案为：，； 【小问2详解】 解：列表如下： 【小问3详解】 解：当时，，当时，． ∵抛物线的开口向下，对称轴是， ∴当时，函数值y随着x的增大而增大，当时取最大值4，然后函数值y随着x的增大而减小， ∴时，．  故答案为：． 19. 如图所示，的直径为，弦为，的平分线交于D，求，的长． 【答案】， 【解析】 【分析】根据直径所对的角是，判断出和是直角三角形，根据圆周角的平分线交于D，判断出为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值． 此题考查圆周角问题，解答此题要抓住两个关键， 判断出和是直角三角形，以便利用勾股定理； 判断出线段，然后将各种线段转化到直角三角形中利用勾股定理解答． 【详解】解：是直径， ， 在中，，，， ， ， 又平分， ， ， ， 又在中，， ， ． 20. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若直径AB＝6，求AD的长． 【答案】（1）证明：连接OD， ∵， ∴∠BOD＝180°＝60°， ∵， ∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠EDA＝90°， ∴∠EDA＝60°， ∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论； （2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝30°，AB＝6， ∴BD＝AB＝3， ∴AD＝＝3． 【点睛】本题考查了切线的证明，及线段长度的计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，以及含30°角的直角三角形的特点是解题的关键． 21. 实验中学准备购进一批小工艺品，每件的成本是40元．经市场调查，销售单价为52元时，每天的销售量为80个；销售单价每降价1元，日销售量将增加10个． （1）求每天销售小工艺品的利润（元）和销售单价（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天销售小工艺品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），先表示出单件利润，销售量，再根据单件利润乘以销售量求出关系式即可； 对于（2），将二次函数配方得出顶点式，再讨论最大值． 【小问1详解】 解：销售单价为元时，每销售一个获利元，每天共销售个， ； 【小问2详解】 解： 当时，有最大值，最大值为 当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线解析式和点坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点，依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到,,当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【小问1详解】 解抛物线的对称轴是直线， ， ， 抛物线与轴交于，两点，点的坐标是，， 联立得，解得， 即该二次函数的解析式为， 令得，解得或， 点的坐标为． 【小问2详解】 如图，连接，线段与直线的交点就是所求作的点， 设直线的解析式为， 把和代入得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ，在中，， 点，关于直线对称，， ． 【小问3详解】 解：如图补全图形，由（1）得抛物线的解析式为，由（2）得，故设，则， ， 过点作，垂足为，则是等腰直角三角形， ， ， 当时，有最大值，此时点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期中学习力检测初三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知二次函数的图象过点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 若二次函数的图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（　　） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 5. 下列命题中，错误的是（ ） A. 平分弧的直径平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的弦垂直于这条弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 弦的中垂线经过圆心 6. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 在中，直径弦于点若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的部分图象，有下列结论：①方程的两个根是，；②；③（为实数）；④若点，为抛物线上两点，当，且时，有，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球、2个白球和3个黄球，若从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是______． 10. 抛物线的顶点坐标为______． 11. 如图，是的直径，点，在上．若，则__________度． 12. 在中，，，，则的内切圆的半径为________． 13. 圆锥底面半径为6，高为8，则圆锥的侧面积为______． 14. 如图，在中，点，，为圆周上三点，且，若，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 15. 如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标为_____． 16. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长_____________. 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于轴对称；⑤函数值随自变量增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是______； （2）先从盒子中任意抽出1支签，再从盒子中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率． 18. 二次函数（，为常数）的图象经过点，． （1）该二次函数图象与轴的交点坐标为______，顶点坐标为______； （2）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （3）根据图象，当时，的取值范围是______． 19. 如图所示，的直径为，弦为，的平分线交于D，求，的长． 20. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若直径AB＝6，求AD的长． 21. 实验中学准备购进一批小工艺品，每件的成本是40元．经市场调查，销售单价为52元时，每天的销售量为80个；销售单价每降价1元，日销售量将增加10个． （1）求每天销售小工艺品的利润（元）和销售单价（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天销售小工艺品的利润最大？最大利润是多少？ 22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线解析式和点坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点，依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $