专题02 不等式的综合应用与求值技巧7大题型（热点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题02 不等式的综合应用与求值技巧 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1、不等式是近3年的高考命题热点，以选择题填空题为主，考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是基本不等式，及不等式与指数对数相结合． 2、基本不等式作为求最值的工具，经常结合其他知识点运用，比如圆锥曲线的解答题，立体几何中的最值问题． 预测2026年：不等式内容可能与指数、对数不等式的形式考查，同时还需重点关注基本不等式的基本运用． 热点题型： 题型01 利用不等式的性质求最值 题型02 基本不等式及其应用 题型03 指数对数与不等式综合运用 题型04 与三角行三边相关的不等式问题 题型05 利用不等式性质解决最值问题 题型06 基本不等式中的局部放缩再求最值 题型07 基本不等式中三角函数进行三角换元求最值问题 题型01 利用不等式的性质求最值 解｜题｜策｜略 常见不等式①②③ 【精选例题】 【例1】已知，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质待定系数计算即可． 【详解】设，则，解得．因为，，所以，，所以．故选：D 【例2】设定义在上的函数，满足，且对任意，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将转化为，由同向不等式相加，得，也即，从而得到，然后累加求. 【详解】由①，又②， 由①＋②得，即③， 又①＋③得，即，已知，所以，累加可得，，故选：B． 【例3】（多选题）已知实数，满足，，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．，，使得 【答案】AB 【分析】通过线性组合法，将都用表示，从而利用不等式性质求解范围，即可判断ABC，先求得，，进而，即可判断D. 【详解】由题意，因为，， 所以，所以，即的取值范围是，A正确； ，因为，，所以，所以，即的取值范围是，故B正确；设， 则，解得，则，因为， 所以，即，故C错误；因为，，所以，，所以， 故不存在，，使得，故D错误.故选：AB 【例4】（多选题）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质即可求解AB，利用整体法，结合不等式的性质求解C，利用作差法即可求解D. 【详解】对于A,由，故，故A错误，对于B，由于，所以， 又，所以，又，故，故， 因此，故B错误，对于C,由于，结合，， 则，故C正确，对于D, ，由于，， 故，即，故D正确，故选：CD 【例5】（多选题）在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：，其中为非零常数，为幂常数，为主观感觉强度，为物理刺激强度，.现有如下RPE（主观感觉强度）表： 强度 自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20 已知在临床条件下，在RPE强度为时得到的实际物理刺激强度为，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据已知新定义计算判断A，B，作商计算化简判断C，D. 【详解】对于A选项，，则，由可知，故A正确； 对于B选项，注意到，，故，即，故B正确； 对于C选项，，则，当，，时，，可得，故C错误；对于D选项，，则，可得，故D正确.故选:ABD. 【例6】已知实数，满足且，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据不等式的性质即可求解范围，进而得到最大值. 【详解】由于，且，，故，即， 因此的最大值为4.故答案为：4 【例7】设为互不相等的三个实数，且，则有 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴． ∵ ，又 ，∴，即． 故选D． 【例8】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，所以选项正确； 对于B，由题，当且仅当等号成立，故B选项正确；对于C，可取特殊值满足题意，则，故C选项错误；对于D，，即，则，故D正确.故选：ABD 【例9】当时，不等式恒成立，则的最大值是 ． 【答案】6 【详解】解：∵时，不等式恒成立，∴，即． 设，，因为在上单调递减，在上单调递增，，，，所以，即，∵，∴， ∴，∴，即，∴的最大值为；故答案为：． 【变式训练】 1．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先将原式变形为，然后结合所给范围求解出，则原式的取值范围可求. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得，由条件得，，所以，即，所以，所以.故选：D. 2．（多选题）已知，且．则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由不等式结构考虑设函数，利用二次函数的性质结合选项条件即可一一判断正误. 【详解】设，则即，因的对称轴为，对于A，若，，即，则，即直线在的左侧，由，因函数在上单调递减，则必有，故A正确；对于B，若，，即，则，即直线在的右侧，由，结合二次函数的性质可知，不能确定的大小，故B错误；对于C，若，，即，则，即直线在的右侧，由，因函数在上单调递增，则必有，故C正确；对于D，若，，即，则，即直线在的左侧，由，结合二次函数的性质可知，不能确定的大小，故D错误.故选：AC. 3．（多选题）若，，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AD 【分析】利用.不等式的性质依次判断选项即可 【详解】由，，得，，所以，，故A正确，B不正确.因为，，且，不能同时成立，所以的取值范围不是，故C不正确.令，则解得因为，，所以，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD 4．已知正数a，b，c满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，，从而可得，根据，数形结合可求得取值范围. 【详解】由，得，令，，则，从而有，作出可行域如图所示．  ， 表示过与两点的直线的斜率，设切点为，则，，，得，所以，所以，因为，又，所以，整理可得，所以，解得，当时，所以， 所以，，由图形可得，所以，所以，所以．故答案为：. 5．设，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用三角绝对值不等式得到，，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，，当且仅当，时取等号. 所以，又，所以成立，则，，，易知，，所以，所以，故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用及其成立时的条件，得到的取值范围，从而得解. 6．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后将都表示成的形式即可得解. 【详解】因为不等式的解集为，所以二次函数的对称轴为直线，且需满足，即，解得，所以，所以，所以.故答案为：. 7.若是定义在上的函数，且对任意都有，，且，则 【答案】102. 【详解】因为，所以，即，又，所以，所以，因为对任意都有，且，所以，即，，即由知，所以，所以，所以，所以．故答案为： 题型02 基本不等式及其应用 解｜题｜策｜略 ①常见不等式：，， ②三角换元：遇到，配凑成，可设 ③遇到结构，可同除 ④学会运用消元法，齐次化，分解因式法及万能K法 【精选例题】 【例1】设，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最大值为 【答案】D 【分析】对于AB，利用基本不等式判断即可；对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可；对于D：先证，结合题意分析求解即可. 【详解】因为，对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1，故A错误；对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值2，故B错误；对于选项C：因为，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于选项D：，可得，当且仅当，即时，等号成立，则，即，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故D正确；故选：D. 【例2】已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件得到，通过换元，得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，令，因为都是正数， 所以即，且，同时，所以 当且仅当时等号成立，此时.故选：A 【例3】已知，且，则的最小值与最大值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用基本不等式得求的范围，注意端点值的取值条件，即可得. 【详解】由，有，有，得， 当时，，当时，，所以的最小值为，最大值为2， 所以的最小值与最大值之和为.故选：D 【例4】（多选题）已知正实数满足，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据的不同取值，由题设等式，利用基本不等式“积定和最小，和定积最大”以及求解一元二次不等式即可逐一判断各选项. 【详解】对于A，当时，，因，则，解得，故A错误； 对于B，当时，由，解得，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，当时，，由B易得， 则由，整理得， 因为，解得，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，当时，，可得，则， 由为正数可得，，，当且仅当时等号成立， 由，解得，故D正确.故选：BCD． 【例5】（多选题）下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则的最小值为 B．已知，，，则的最小值是 C．若，则的最小值为4 D．若，，，则的最小值为 【答案】BC 【分析】由和为定值，求积的最大值，判断选项A；先根据条件代换，再由基本不等式求解选项B；多次利用基本不等式求解选项C；利用基本不等式“1”的妙用求解选项D. 【详解】对于A，，解得，平方得，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故A错误；对于B，由，可得，得，则， 则，当且仅当，即时等号成立，故B正确；对于C，，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为4，故C正确；对于D， ，当且仅当，即时取等号， 的最小值为，故D错误. 故选：BC 【例6】（多选题）下列命题正确的有（   ） A．已知，，且，则的最小值为9 B．已知，，且，则的最小值为 C．已知，，且，则的最小值为 D．已知，，且，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式和二次不等式的解法求解判断A，利用基本不等式“1”的代换求解最值判断B，先利用基本不等式求得，再利用二次函数性质求值最值判断C；利用基本不等式求值最值判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，即，则，当且仅当时取得等号，所以A错误； 对于B，，，且，所以， 当且仅当，即，等号成立，所以选项B正确；对于C，因为，，且， 则.又，当且仅当，等号成立.即，所以时，取到最小值为，所以C正确；对于D，，由，，故，，故，即，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，所以D正确.故选：BCD. 【例7】（多选题）已知正数，满足，则（   ） A．的最小值为4 B．当时，的最小值为2 C．的最小值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，方法一：由题得，利用常数代换技巧求解最值；方法二：对变形为，然后利用基本不等式求解最值；对于    B：由得，利用求得；对于C，方法一：，结合换元法利用基本不等式求解最值；方法二：，利用常数代换技巧求解最值；对于D，，由得，即可求解最值. 【详解】由得，整理得， 因为，，所以，两边同时除以得.对A，方法一：，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4； 方法二：由得，即，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立； 所以的最小值为4，故A正确；对B，由得，因为，均为正数，所以， 即，所以，又因为，所以，因为，所以，即，即的最小值为2，所以B正确；对C，方法一：因为，所以，令，即， 因为，所以，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为， 方法二：，当且仅当即，时等号成立，所以选项C错误；对于D，，又因为， 所以，因为，所以，则，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以选项D正确.故选：ABD. 【例8】（多选题）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，直接利用基本不等式即可得；对B，利用A中结论并结合基本不等式即可判断；对C，构造关于的不等式即可判断；对D，利用琴生不等式即可判断. 【详解】对A，由，得，则，即，当且仅当时等号成立，故A正确；对B，因为，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；对C，因为，所以，解得，当且仅当时等号成立，故C错误；对D，由函数的图象知，该函数为凹函数，则根据琴生不等式有， 即，当且仅当时等号成立，则D正确．故选：ABD． 【例9】（多选题）已知，，，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 【答案】ABC 【分析】对选项A，根据得到，再解不等式即可判断A正确.对选项B，得到，再根据求解即可.对选项D，根据题意得到，从而得到，再解不等式即可.对选项C，得到，再结合D选项求解即可. 【详解】选项A，，，，因为，所以，解得，当且仅当时取等号.所以，即的最大值为，故A正确.对选项B，，所以，当且仅当时取等号，故B正确.对选项D，，即，即，解得，当且仅当，即时取等号.故D错误.对选项C，， 由D知：，即的最大值为8，故C正确.故选：ABC 【例10】（多选题）下列是真命题的是（   ）． A．已知，且，则 的最大值为5 B．已知，则的取值范围为 C．已知且恒成立，实数的最大值是 D．若则的最大值是6． 【答案】BCD 【分析】由基本不等式求解可判断A；由不等式的性质可判断B；转化为进行求解可判断C；由基本不等式求解可判断D. 【详解】对于A， 且，，则，当且仅当，即时，等号成立，所以有最小值，故A错误；对于B，由，可得，又因为 ，所以则的取值范围为，故B正确；对于C，由题意，，，，所以转化为，可得，即，因为，当且仅当时等号成立，所以实数的最大值是，故C正确；对于D，由可得， 两边同乘以，，又因为，所以，当且仅当时等号成立， 令，则有，即，解得，因此的最小值为，此时且满足；的最大值为，此时且满足，故D正确．故选：BCD 【变式训练】 1.（多选题）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式可判断ACD，把等式看作的方程，令可判断B. 【详解】由题意，当且仅当或时取得，故A正确；把等式看作的方程，则，故B正确；，当且仅当或时取得，故C错误；，当且仅当或时取得，故D正确.故选：ABD 2．（多选题）已知，为正实数，且，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式可判断AB的正误，利用“1”的代换可判断C的正误，利用换元法结合常数代换可判断D的正误. 【详解】对于A：，当且仅当时，取等号，所以的最大值为，A正确；对于B：由得，即，当且仅当时，取等号，又，为正实数，所以等号不成立，即，B错误；对于C：，当且仅当取等号，故C错误； 对于D，换元，令，则，故 ，当且仅当取等号，故的最小值为，故D正确；故选：AD 3．（多选题）已知，，，则（    ） A．的最大值为2 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为11 【答案】ACD 【分析】A选项，对不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最大值；B选项，将不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最小值；C选项，对不等式变形为，利用求解的最小值；D选项，不等式变形为，利用基本不等式求出和的最小值. 【详解】对于A，由得：，因为，所以，所以， 由基本不等式可得：当且仅当时，等号成立，此时，解得：或，因为，所以舍去，故的最大值为2，故A正确；对于B，由得：，因为，所以，所以，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，即，解得：或，因为，所以舍去，故的最小值为4，故B错误；对于C，由变形为，则，由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，此时，令，则由，解得：或（舍去）所以的最小值为，故C正确；对于D，由可得：，从而，当且仅当时，即，等号成立，所以，即最小值为11，故D正确.故选：ACD 4．（多选题）已知均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C． 的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；对于B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对于C，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案；对于D，两次使用基本不等式即可得到答案. 【详解】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对；对于B，，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为，B错；对于C，，设，，可得，则上式，当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为，C对.对于D，因为，，所以，当且仅当时等号成立，与联立可得．又因为，由不等式的性质可得．又因为，当且仅当时等号成立．所以仅当时等号成立，综上，的最小值为.故选：ACD. 5．（多选题）已知，且，则下列不等式不恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先变形等式可得，结合基本不等式和换元法计算判断各个选项. 【详解】因为，，所以，化简得，对于A，因为，A不成立.对于B，因为可得，根据基本不等式，设，则，即， 当且仅当时取等号，所以，B不恒成立.对于C，因为可得，根据基本不等式（当且仅当时取等号），所以， 当且仅当时取等号，C不恒成立.对于D，，令，由上分析可知，所以，令，根据二次函数的性质可得，当且仅当，即时取等号，D恒成立.故选：ABC. 6．（多选题）已知正实数满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】根据已知条件，运用均值不等式，结合不等式的性质、函数单调性等知识对选项逐一进行分析即可. 【详解】由，可得，当且仅当，即时，等号成立，选项错误；由，可得，则，当且仅当且，即时，等号成立，B选项正确；由，可得，这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，，C选项正确；由，即，可得 ，当且仅当且，等号成立，但此时，不满足题意，选项D错误；故选：BC 7．（多选题）已知，则（  ） A．若，则 B．若，则 C．当，时，的最小值为4 D．当，时，的最小值为2 【答案】ACD 【分析】对于A，根据不等式的性质验证即可；对于B，举反例判断即可；对于C，由乘1法验算即可；对于D，由基本不等式验算即可. 【详解】对于A：若，由得，又，所以，即，由，可得，即，，又，故，故A正确；对于B：当时，，满足且，但不满足，故B错误；对于C：， 又，，故，，则，当且仅当，取等，此时，，故的最小值为4，故C正确；对于D：当，时，且，则，也即，解得，当且仅当，取等，此时，，故的最小值为2，故D正确.故选：ACD. 8．（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可得，再利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由题意知不等式的解集为，所以，且方程的两根为和1，所以，所以，， 所以，故A错误；因为，所以，所以，当，时，的最小值为，故B正确；因为，，所以，即，解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C正确；， 当且仅当，即时等号成立，但由C可知，所以等号无法取到，所以最小值不是，故D错误.故选：BC． 9．（多选题）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．的最小值为8 C．的最小值是 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】对于A，，又，可判断，对于BCD，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可. 【详解】由，得，又，所以，即，故A正确，由，得，由A，，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确，由，令，得，解得，即，当且仅当时，取等号，C错误；，当且仅当时，取等号，故D正确，故选：ABD 10．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若,则的最小值为 B．已知,且,则的最小值为 C．已知,且,则的最小值为 D．若,则的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用“1的妙用”、配凑法、换元法等解决基本不等式问题. 【详解】对于A：,当且仅当时，即时等号成立.故A正确. 对于B：，所以. 所以,当且仅当时,即时等号成立.故B正确.对于C：令,则, ,当且仅当时，即时，等号成立.故C错误. 对于D：,当且仅当时取等号.故D正确.故选：ABD 11．已知函数，且，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】首先证明从而得到，然后利用基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，在上单调递增，，所以，所以，当且仅当，结合，即时取得.所以的最小值为2.故答案为：2 题型03 指数对数与不等式综合运用 解｜题｜策｜略 ①指对数转换，②换底公式 ③常见不等式放缩，， 【精选例题】 【例1】已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数与对数关系及换底公式得，再应用作差法、放缩法比较大小，即可得. 【详解】因为，则， 由， 所以，则， 由 所以，所以，所以，则.故选：C 【例2】已知，，则下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数幂的运算即可判断AB，利用基本不等式即可判断C，由，利用指数与对数的转化求的范围，进而利用二次函数再给定区间的最值即可判断D. 【详解】由，所以，所以，故A正确； 由，故B错误；由，由，又，所以（当时取等号）， 因为，所以等号不能取到，故，故C正确；因为，所以，又由，因为，所以， 所以，故D正确，故选：B 【例3】已知是函数图象上两个不同的点，则下列4个式子 ①；②；③；④， 其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】求出已知两点的中点坐标及函数的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，再逐一判断各个不等式. 【详解】如图所示，设，的中点为， 点在函数的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即，①正确；，令函数，求导得，由，得；由，得，函数在上递减，在上递增，，即，因此，②正确；则，即，即，③正确，④错误，所以正确结论的个数是3.故选：D 【例4】已知正实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，结合函数单调性可得，再借助反证法计算即可得解. 【详解】设，，，则、、均在上单调递增，又，故；假设，则， 与题干矛盾，所以有；假设，则，与题干矛盾，所以有； 综上可得.故选：B. 【例5】若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由题可得，，，根据基本不等式可得，当且仅当时，取等号. 对进行变形，结合二次函数性质及即可求解. 【详解】由得，，，所以，当且仅当时，取等号，所以. 故选：C. 【例6】若实数满足，，则的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先得到，，由基本不等式可得，进而得到，由，故，得到答案. 【详解】由题意可得，，由基本不等式可得，又， 故，据此可得，解得，所以，由和可得，即，则，由于，故， 即.故选：D． 【例7】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性可得，，利用对数的运算性质可得，由此可确定答案. 【详解】由题意得，.∵函数在为减函数，∴，即，∵函数在为增函数， ∴，即，∴.∵，，∴，∵，∴，由得，，由得，，综上得，.故选：A. 【例8】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的运算化简，再利用基本不等式即可求得，由，可得，然后构造函数，根据函数的单调性可就得，化简得，由题设即可得出，从而得解. 【详解】因为，，所以，当且仅当，即时，可取等号，又因为，所以.又因为，所以.令，易得在上单调递减，又，所以，即，所以，即，所以.故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式可推出，构造函数，利用函数的单调性比较的大小，从而推出是解题关键. 【例9】（多选题）已知函数，若，则（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C． D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由题意计算可得，再借助对勾函数的性质可得A、C；借助基本的不等式可得B；借助二次函数性质可得D. 【详解】由题意可得，又，则，即，即有，且，；对A：由，则，则，由在上单调递增，则，故A错误；对B：，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，故B正确；对C：，取，由A知，，则在上单调递增，故，故C正确； 对D：，当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值为，故D正确.故选：BCD. 【例10】（多选题）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】构造函数，由零点存在性定理可判断；由在单调性，可判断C；令，以为界分情况讨论证明. 【详解】对于A：由，得；由，得，则问题转化为在有解.令，因为，由零点存在性定理可知，，，即，A正确；对于B：由A正确可知B错误； 对于C：， 当时，，所以单调递增，所以，，所以，，即，，所以，，C正确；对于D：令，则，所以，所以，整理得.对，，若，则，可得，解得;若，则，可得，解得；若，则，可得，解得.由A可知，，，即，此时成立；下面证明：对，当时，；时，.令，则，当时，，当且仅当时取等号，所以在单调递增，当时，，所以，得； 当时，，当且仅当时取等号，所以在单调递减，当时，，所以，得.当时，，单调递增，可得，由可得，因为，所以，所以，即成立；当时，，单调递增，可得，因为，，所以，所以，又由可得，所以，即，整理得，又由可得，所以，所以，可得，即，所以此时成立.综上可知D正确；故选：ACD. 【例11】（多选题）已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据已知不等式，对赋值可以判断四个选项. 【详解】对于A，将替换为，则，所以，所以A正确；对于B，由A可得，故，又由题设得，故，即，故B正确； 对于C，D由已知和 A得，令得， 即，所以C，D错误；故选：AB. 【变式训练】 1.若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】因为，所以．因为，所以．所以，即．当且仅当，，即，时等号成立，所以的最小值为．故选：C． 2．若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或.对于ABC，分、，结合对数函数的性质及作差比较法即可判断；对于D，由两边取自然对数得到，即，构造函数（且），通过导数判断单调性即可判断. 【详解】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，当时，，此时；，故；，即，得，但的大小不确定， 当时，，此时，，故； ，即，得，但的大小不确定，所以ABC均不正确；对于D，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在且上恒成立，故在定义域上单调递减，因为，所以，结论得证，D正确．故选：D． 3．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得，在同一坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标，观察图象得，当时，；当时，；当时，，因此ABC都可能，D不可能. 故选：D 4．已知实数满足，则（　　） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】由，得， 得，故,再由，构造函数，由单调性求解． 【详解】，则，得，故,由，得，令，因为都是增函数，所以在上是增函数，由，得，故．故选：A 5．若，，均为正数，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把指数式转化为对数式然后应用对数的换底公式乘法运算得出，利用基本不等式及换底公式求出，利用求出，进而求出，从而确定选项. 【详解】设，则，，，所以. 因为，所以，即，而，所以；又因为，所以.故选：B. 6．已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得，即有同号或，结合不等式的性质判断各项的正误. 【详解】两边取对得，则且，即同号或，所以，当时，不成立，A错；由，B对；由，若时，，C错；由，且，当时，，此时，D错.故选：B 7．（多选题）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可. 【详解】令，可得，，，，故A正确；，故B正确； ，，所以，得，又，所以，得，所以，，故C不正确； ，故D正确；故选：ABD 8．（多选题）若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先证明：对任意，，有，利用此结论，当时，可判定AB；再运用对数运算性质判断CD. 【详解】先证明结论：对任意，，有；证明如下：因为，所以为减函数，所以，即，设，即，则为减函数，所以，即，从而，也就是，当时，可得，A正确，B错误； 应用上面的结论可得： ，故D正确，C错误.故选：AD 【点睛】关键点点睛：证明命题：对任意，，有，是后续解题的关键. 9．（多选题）已知函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．最小值为14 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式得到函数图象，即可判断A，根据函数值相等以及对数的运算可判断B，根据基本不等式以及成立条件可判断C、D. 【详解】对于A，的图象是由的图象向右平移2个单位长度而得到，如图：显然A正确；对于B，，所以， 即，故B不正确；对于C，由选项B可知，即，解得，当且仅当时取等号，，，故C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：ACD. 10．（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用对数运算可知，，且，，进而计算，结合对数函数单调性判断A；利用基本不等式判断B；作差法判断C；利用指数函数和幂函数单调性判断D. 【详解】根据题意，，，对于A，，A正确；对于B，，因为，所以等号不成立，即，B错误； 对于C，由，，，则，由， 可得，C正确；对于D，由于，，所以，， 则，，且，由于为减函数，所以， 由于为增函数，所以，所以，即， 则，D正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于D项，将等价转化为，进而利用指数函数和幂函数的单调性判断是关键. 题型04 与三角行三边相关的不等式问题 解｜题｜策｜略 利用三角形两边之和大于第三边，即 【精选例题】 【例1】设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】显然，于是，、、能构成三角形 对任意正整数、，恒有  ① 由，知式①右边.易知时，式①右边取最小值. 又式①左边的表达式恰为右边表达式的倒数，从而，其最大值为.故.故答案为: 【例2】设，若三个数能组成一个三角形的三条边长，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，令， 则，所以，因为能组成一个三角形的三条边长，所以，即，因为，所以令，则，即，因为， 当且仅当时取等号，但是取不到，所以，所以，所以； 令，则，令，， 则，所以函数在上单调递增， 所以，所以，，综上，.故选：C. 【变式训练】 1．的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】，令，则，又， ∴，可解得， 即，故，∴.故答案为： 2.已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】要想对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，只需，设，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 因为，所以，当时，即时， ，此时，因此由，而，所以；当时，即当时，此时，此时，因此由，而，所以， 若时，即时，若，即当时，显然此时，由，显然，若，即当时，显然此时，因此由，而，综上所述：实数的取值范围为，故答案为： 3.已知，，，，.若a，b，c构成三角形的三边，则m的取值范围是 . 【答案】 【详解】若a，b，c为三边可构成三角形，则，且成立，即，且成立，即成立，而，令，则，令， 则，易知在上递减，所以，所以， 又成立，而，当且仅当时，等号成立，所以；所以.故答案为： 题型05 利用不等式性质解决最值问题 解｜题｜策｜略 求类似的最小值一类题目，我们一般设，则，再通过三个式子相加或者相乘，然后用基本不等式构造一个不等式，求出最值即可 【精选例题】 【例1】已知表示中的最大者，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设，由最值性质建立的不等式，求出的范围，得到最小值. 【详解】设，则.因为，所以.所以，所以，所以，解得，所以的最小值为，即的最小值为.故选：B. 【例2】设，已知或，则的最小值为（以表示数集中最大的数）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法表示出，再根据不等式性质，分情况讨论求解. 【详解】令，，，其中，所以， 令，因此，若，则，即，所以，则，若，则，即， 所以，则，综上所述，，当且仅当，且时等号成立，因此的最小值为.故选：C. 【例3】记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由不等式性质可得，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意，，则，当且仅当时，全部取得等号，所以，故的最小值为4.故答案为：4. 【例4】定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】讨论与的大小关系，在每种情况中分别用基本不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解． 【详解】按和分类：记，当时，，，当且仅当，，时，等号成立；当时，，，当且仅当，，时，等号成立．综上所述，的最小值是．故答案为：. 【例5】设，，是非负实数，满足，，设，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据不等性质可知，再根据，进而可知，进而转化为二次函数零点与最值问题. 【详解】由对称性，不妨设，则，所以，而，，由，即，为函数的两个不大于的零点，所以，解得，所以，当，，时取等号，故答案为：. 【变式训练】 1．表示，中的最大者，若，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】先根据的定义及不等式性质得，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】，因为，，， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立.故答案为：2 2．定义，设，已知或，则的最小值为 . 【答案】/0.2 【分析】不妨设，问题转化为求的最小值，再根据条件求解即可. 【详解】不妨设，其中，则， 所以，若，则，即，又，所以，解得，若，则，即， 又，所以，解得，当且仅当，即时等号成立， 综上所述：，所以的最小值为.故答案为：. 3．记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先由值域为得到不等式，再利用不等式的性质比较三者大小，再借助分数的性质及不等式放缩求解最值可得. 【详解】若函数的值域为，记，则，故， 由，得，且，所以，又， 所以，故.则由且， 可得，当且仅当，即时等号成立. 的最小值为.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用不等式及分数的性质求解最小值. 4．设表示，，，中最大的数，已知，均为正数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】分别求得和的最大值，和的最大值，确定这个最大值的最小值，两者比较后即可得． 【详解】都是正数，因此，，其最小值是， ，，其最小值是，，所以的最小值为，当且仅当时取得， 故答案为：． 5．定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：令，，，其中，，，所以，若，则，可得，令，则，所以，则，当且仅当，，时等号成立.若，则，即，令， 则，所以，则，当且仅当，，时等号成立，综上可得，的最小值为. 解法二：根据数轴上点的距离公式，可得分别为线段的长，如图所示，若点固定，即求三个线段中最长线段的长的最小值，可知当三个线段等长时，最长的线段长取最小值，不妨设为，的长为，则，即，若，则，即，解得；若，则，即，解得，因为，所以的最小值为.故答案为：. 题型06 基本不等式中的局部放缩再求最值 解｜题｜策｜略 遇到多变量问题求最值，有时候我们可以对局部进行放缩，然后再求最值 【精选例题】 【例1】已知正实数a，b，c，，则的最小值为______ 【答案】【详解】看到这个，很容易想到提出公因式就是，很明显可以利用1的代换求出其最值 所以原式 【例2】对任意的正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】【详解】由正实数，且可得;当且仅当时，即时，等号成立； 又，当且仅当，即时，等号成立；所以当，时，等号成立，此时的最小值为.故答案为： 【例3】已知且，求的最小值为 . 【答案】【详解】 所以原式 【变式训练】 1．已知，，是正实数，且，则最小值为 . 【答案】【详解】解：，由于，，是正实数，且，所以，当且仅当，即，所以时等号成立，则的最小值为，所以，当且仅当，即时等号成立，则最小值为.故答案为：. 2．已知正数满足，，则的最小值为 . 【答案】【详解】由，得，，则， ，当且仅当时取“=”，所以当时，的最小值为.故答案为： 题型07 基本不等式中三角函数进行三角换元求最值问题 解｜题｜策｜略 ①遇到形如，可以利用三角换元设 ②遇到形如，可以利用三角换元设 【精选例题】 【例1】（多选题）若x，y满足，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，故A正确，B错误；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，故D正确；因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时，即时，此时，取到最大值2，故C错误.故选：AD. 【例2】函数的最大值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】D 【详解】由解得，所以函数的定义域是.由于， 故可设，其中，所以，其中，且，所以，所以当时，取得最大值为. 故选：D 【例3】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：∵，∴可设，，∴，代入所求式子得，，当且仅当，时等号成立.所以的最小值为. 法二：设，，代入已知等式得，， ∴，其中，.∴，所以的最小值为.故选：D 【变式训练】 1.已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，令，所以，其中，，所以当时，取得最大值为.故选：C 2.已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【详解】法一：令，则，代入原式化简得，因为存在实数，则，即，化简得，解得，故 的最大值是， 法二：，整理得，令，，其中， 则，，所以，则，即时，取得最大值， （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．若，则的最小值为（   ）（参考：，.） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式变形得出，结合基本不等式可得出的最小值. 【详解】因为，则，即，可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 2．已知正数，满足，则（    ） A． B．的最小值为4 C．的最小值为4 D． 【答案】D 【分析】对A，举反例；对B，利用基本不等式求解；对C，利用基本不等式取等号条件判断；对D，利用基本不等式求得，得解. 【详解】对于A，由，，取，则，故A错误；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；对于C， ，当且仅当，即时等号成立，由，等号不成立，故C错误；对于D，，当且仅当，即时，等号成立，所以，故D正确.故选：D. 3．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 【答案】C 【分析】设两次加油的油价分别为 ，分别计算出甲、乙两人加油的平均单价，再对两者进行比较. 【详解】设两次加油的油价分别为 ，甲每次都将油箱加满，设油箱容量为V，可得甲加油的平均单价为 .设乙每次加油花费的钱数都为M，则第一次加油的油量 ，第二次加油的油量为，两次加油的花费为2M，总共加的油量为，可得乙加油的平均单价为，因为，所以 ，所以乙比较经济， 故选：C 4．函数，若存在正实数，，…，，其中且，使得，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据基本不等式求出，则由不等式的性质可知，将题意转化为，得关于的不等式组，解之即可. 【详解】，当时，， ，，即，所以， ，由知，集合，因为且，所以，所以，即，又，所以的最大值为7.故选：B． 5．已知正实数，，满足，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，将条件化为关于的方程有解，利用判别式求的范围. 【详解】设，则，所以关于的方程在上有解，对于，其图象开口向上且对称轴，所以，只需，则，所以.故选：B 6．设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为“恒成立”，然后根据的正负分类讨论，结合基本不等式求得最值，进而求得的取值范围. 【详解】因为恒成立，所以恒成立， 当时，只需，因为，当且仅当，即时取得最小值为，所以，所以；当时，只需， 因为， 当且仅当，即时取得最大值为，所以，所以，综上所述，，故选：A. 7．已知函数，若对于任意实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数分类讨论，再由二次函数单调性和符号得出对应区间内的不等关系，解不等式即可. 【详解】显然,依题意可知当时，若，则，若，则，因此对于任意，函数恒成立，此时由可知开口向下，因此不符合题意；当时，若，则，若，则，因此对于任意，函数恒成立，此时开口向上，对称轴为，若，对称轴，函数在区间上单调递减，故其最小值为，符合题意，若，可知对称轴，此时需满足,可得；综上可知;所以实数的取值范围是.故选：B 8．当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况去掉绝对值符号结合不等式的解法讨论可得. 【详解】当时，恒成立，当即时，不等式的解集为或，又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即；当即时，不等式的解集为或，又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即；当时，，而恒成立，此情况无解，综上，时，；时，，所以实数的取值范围是.故选：B. 9．已知，，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】先根据已知条件得出的关系，代入后变形构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【详解】，，且，，， ，当且仅当，即等号成立，的最小值为7．故选：D． 10．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为，因为，，，所以，所以.又因为，当且仅当即时取等号.所以.故选：D 11．已知二次函数对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式恒成立得出，可得出，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为二次函数对任意恒成立，所以，可得，所以， 当且仅当时，即当或时，上述不等式中的两个等号同时成立，故的最小值为.故选：B. 二、多选题 12．生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】ACD 【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断. 【详解】对于A，， ，即，故A正确；对于B，当，时，，，故B错误；对于C，由题，，则，，又，所以，故C正确；对于D，，，，，故D正确.故选：ACD. 13．已知实数m，n满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用在上单调递减，可判断选项A；利用在区间上单调递减，可判断选项B；由在区间上单调递减，可判断选项D；由 得到，利用的单调性得到，利用不等式的性质可判断选项C. 故选:ABD. 【详解】因为在上单调递减，且，所以，故A正确；因为在区间上单调递减，所以，故B正确；因为在区间上单调递减，所以，故D正确；因为，所以，所以，所以，所以，即，故C错误.故选:ABD. 14．已知曲线C：，下列结论正确的是（   ） A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D．曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】AC 【分析】对于A，运用点关于轴的对称点是满足方程，则曲线的图象关于轴对称；对于B，通过放缩法得曲线C：，进而由曲线C包含圆可判断B；对于C，根据已知条件可得即可；对于D，计算边界点来界定整点个数. 【详解】对于A，设为曲线C上任意一点，它关于x轴的对称点是，将代入曲线C的方程得，化简得与原方程相同，故也在曲线C上，则轴是曲线C的一条对称轴，故A正确；对于B，因为，所以，即，所以曲线C包含圆，所以曲线C构成的封闭图形面积大于的面积，故B错误.对于C，由，可得. 当，时，等号成立，∴，即曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2，故C正确；对于D，令，解得或，即曲线C经过（0，0），（0，1），，此时曲线C的内部无整点，由选项的结论可知曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2，∴， 令，得，而，此时曲线的内部有3个整点；令，得，无解，令，得，即曲线C经过（2，0），不含边界无整点，令，得，无解，因此曲线C的内部有3个整点，故D错误.故选：AC. 15．已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用基本不等式，即可求解的最大值；对于B，通过消元，结合二次函数的图像性质，即可求解；对于C，令，代入已知条件，运用判别式法即可求解；对于D，将变形为，然后展开并利用基本不等式求解. 【详解】对于A：，此时，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B：因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故B错误；对于C：令，即，则，代入得，则有，即，解得，即，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D：， 当且仅当，时等号成立，故D正确.故选：ACD 16．已知曲线C：，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C关于原点对称 B．直线与曲线C有公共点 C．曲线C上任一点的横坐标的取值范围是 D．曲线C上任一点与原点距离的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据曲线方程的特点可判断A的真假；根据一元二次方程根的判别式可判断B的真假；把方程看成关于的一元二次方程，利用可求的取值范围，判断C的真假；利用基本不等式可判断D的真假. 【详解】对A：用代替，代替，可得，即，与原方程一致，故曲线关于原点对称.故A正确；对B：当时，，由，所以方程无解，即直线与曲线C无公共点.故B错误；对C：把曲线方程看成关于的一元二次方程，，因为该方程有解，所以.故C正确；对D：因为，当且仅当或时取等号；又，所以，当且仅当或时取等号.综上，，即曲线C上任一点与原点距离的取值范围是.故D正确.故选：ACD 17．已知正实数满足，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值为6 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】选项A，从解出，即可得解；选项B，由已知得到 ，利用基本不等式求解；选项C，由，直接使用基本不等式求解； 选项D，由已知得到，代入，利用求解. 【详解】选项A，，，，，，，，， ，，，，故选项A正确；选项B，，，，，，，当且仅当时取等号，即，解得，的取值范围是，故选项B错误；选项C，，，，，，，当且仅当时取等号，即，解得，的最小值为，故选项C正确；选项D，，，，，，，，，，当且仅当时取等号，即，解得，的最小值为，故选项D正确.故选：ACD. 18．已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质，利用已知条件结合基本不等式对各选项进行逐一分析判断． 【详解】选项A：，当且仅当时取等号，又，， 均为正实数，，即，当且仅当时取等号，故A正确；选项B：，，，当且仅当，即时，，而，故B错误；选项C：，令，则，等式成立，此时，故C错误；选项D：，，变形可得，设，则，故同号，当时， ，当且仅当，即时等号成立；当时，，，则，与矛盾，故不符合题意. ，当且仅当时等号成立，故D正确．故选：． 三、填空题 19．已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】消去后借助换元法可用表示，再对分类讨论后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由，则，即，则，由，，故，即，令，则，有， 当时，；当时，，当且仅当，即，时，等号成立；综上可得，的最大值为.故答案为：. 20．已知实数满足，则的取值范围是 .. 【答案】 【分析】由题干中的等量关系化简所求代数式，根据参数的取值范围，可得答案. 【详解】，则， 又，得， 设，由函数在上单调递减，在上单调递增， 则，由原式为，则所求范围为. 故答案为：. 21．若，，都有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求绝对值表达式的最小值，再将不等式转化为关于的一次函数恒成立问题，通过解不等式组得到的取值范围. 【详解】先求的最小值： 由绝对值三角不等式，， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 原不等式等价于：对任意，恒成立， 即对任意恒成立. 构造关于的一次函数，需且： 由，得，即，解得. 由，得，即，解得. 综上所述，，即实数的取值范围是. 故答案为： 22．若实数、、满足，，则实数的最小值是 . 【答案】 【分析】用、表示出，利用基本不等式求出的最小值，即可求得的最小值. 【详解】由可得.由可得，所以，∵，，∴，∴，且仅当即时取等号.∴时，实数取得最小值.故答案为： 23．已知集合，，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式求解集合A，然后根据交集可得，则，进而根据二次函数性质求解范围即可. 【详解】，因为，又因为， 所以关于的方程有两个实数根，，且，，所以有，得，所以，解得.又因为，， 令，，对称轴为，所以函数在上单调递增，所以函数，即的取值范围为.故答案为： 24．已知正数，，满足，则的最小值为 ；的最小值为 【答案】 1 2 【分析】利用常数换元齐次化后，分离常数，利用基本不等式求得①；先固定，利用基本不等式使最大化，进而化简，换元，进一步化简，最后利用二次函数的性质得到②. 【详解】对于空①： ，当且仅当时取等号，所以的最小值为；对于空②： 记，先固定，，由基本不等式的性质知，,当且仅当 时去等号，取到相对于固定的时的最大值.因为 ，所以 .表达式变为：,设，则 ，，，,设.由二次函数的性质知当且仅当 时取得最大值。因此 的最小值为 . 由，即 ，，.所以，故答案为：1；2 25．已知函数，且，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】首先证明从而得到，然后利用基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，在上单调递增，，所以，所以，当且仅当，结合，即时取得.所以的最小值为2.故答案为：2 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式的综合应用与求值技巧 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1、不等式是近3年的高考命题热点，以选择题填空题为主，考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是基本不等式，及不等式与指数对数相结合． 2、基本不等式作为求最值的工具，经常结合其他知识点运用，比如圆锥曲线的解答题，立体几何中的最值问题． 预测2026年：不等式内容可能与指数、对数不等式的形式考查，同时还需重点关注基本不等式的基本运用． 热点题型： 题型01 利用不等式的性质求最值 题型02 基本不等式及其应用 题型03 指数对数与不等式综合运用 题型04 与三角行三边相关的不等式问题 题型05 利用不等式性质解决最值问题 题型06 基本不等式中的局部放缩再求最值 题型07 基本不等式中三角函数进行三角换元求最值问题 题型01 利用不等式的性质求最值 解｜题｜策｜略 常见不等式①②③ 【精选例题】 【例1】已知，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例2】设定义在上的函数，满足，且对任意，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（多选题）已知实数，满足，，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．，，使得 【例4】（多选题）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【例5】（多选题）在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：，其中为非零常数，为幂常数，为主观感觉强度，为物理刺激强度，.现有如下RPE（主观感觉强度）表： 强度 自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20 已知在临床条件下，在RPE强度为时得到的实际物理刺激强度为，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【例6】已知实数，满足且，则的最大值为 . 【例7】设为互不相等的三个实数，且，则有 A． B． C． D． 【例8】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例9】当时，不等式恒成立，则的最大值是 ． 【变式训练】 1．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）已知，且．则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（多选题）若，，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 4．已知正数a，b，c满足，则的取值范围是 ． 5．设，若，则的取值范围为 . 6．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 7.若是定义在上的函数，且对任意都有，，且，则 题型02 基本不等式及其应用 解｜题｜策｜略 ①常见不等式：，， ②三角换元：遇到，配凑成，可设 ③遇到结构，可同除 ④学会运用消元法，齐次化，分解因式法及万能K法 【精选例题】 【例1】设，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最大值为 【例2】已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例3】已知，且，则的最小值与最大值之和为（   ） A． B． C． D． 【例4】（多选题）已知正实数满足，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例5】（多选题）下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则的最小值为 B．已知，，，则的最小值是 C．若，则的最小值为4 D．若，，，则的最小值为 【例6】（多选题）下列命题正确的有（   ） A．已知，，且，则的最小值为9 B．已知，，且，则的最小值为 C．已知，，且，则的最小值为 D．已知，，且，则的最小值为 【例7】（多选题）已知正数，满足，则（   ） A．的最小值为4 B．当时，的最小值为2 C．的最小值为6 D．的最小值为 【例8】（多选题）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【例9】（多选题）已知，，，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 【例10】（多选题）下列是真命题的是（   ）． A．已知，且，则 的最大值为5 B．已知，则的取值范围为 C．已知且恒成立，实数的最大值是 D．若则的最大值是6． 【变式训练】 1.（多选题）若满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）已知，为正实数，且，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 3．（多选题）已知，，，则（    ） A．的最大值为2 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为11 4．（多选题）已知均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C． 的最小值为 D．若，则的最小值为 5．（多选题）已知，且，则下列不等式不恒成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（多选题）已知正实数满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 7．（多选题）已知，则（  ） A．若，则 B．若，则 C．当，时，的最小值为4 D．当，时，的最小值为2 8．（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 9．（多选题）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．的最小值为8 C．的最小值是 D．的最小值为2 10．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若,则的最小值为 B．已知,且,则的最小值为 C．已知,且,则的最小值为 D．若,则的最小值为 11．已知函数，且，则的最小值是 . 题型03 指数对数与不等式综合运用 解｜题｜策｜略 ①指对数转换，②换底公式 ③常见不等式放缩，， 【精选例题】 【例1】已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】已知，，则下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 【例3】已知是函数图象上两个不同的点，则下列4个式子 ①；②；③；④， 其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例4】已知正实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【例5】若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【例6】若实数满足，，则的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【例7】已知，则（   ） A． B． C． D． 【例8】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【例9】（多选题）已知函数，若，则（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C． D．的最大值为 【例10】（多选题）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【例11】（多选题）已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 2．若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知实数满足，则（　　） A． B． C．2 D．2 5．若，，均为正数，且，记，则（    ） A． B． C． D． 6．已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．最小值为14 10．（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型04 与三角行三边相关的不等式问题 解｜题｜策｜略 利用三角形两边之和大于第三边，即 【精选例题】 【例1】设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是 ． 【例2】设，若三个数能组成一个三角形的三条边长，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为 . 2.已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为 . 3.已知，，，，.若a，b，c构成三角形的三边，则m的取值范围是 . 题型05 利用不等式性质解决最值问题 解｜题｜策｜略 求类似的最小值一类题目，我们一般设，则，再通过三个式子相加或者相乘，然后用基本不等式构造一个不等式，求出最值即可 【精选例题】 【例1】已知表示中的最大者，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】设，已知或，则的最小值为（以表示数集中最大的数）（    ） A． B． C． D． 【例3】记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 . 【例4】定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是 ． 【例5】设，，是非负实数，满足，，设，则的最大值为 ． 【变式训练】 1．表示，中的最大者，若，则的最小值为 . 2．定义，设，已知或，则的最小值为 . 3．记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为 ． 4．设表示，，，中最大的数，已知，均为正数，则的最小值为 . 5．定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为 . 题型06 基本不等式中的局部放缩再求最值 解｜题｜策｜略 遇到多变量问题求最值，有时候我们可以对局部进行放缩，然后再求最值 【精选例题】 【例1】已知正实数a，b，c，，则的最小值为______ 【例2】对任意的正实数，且满足，则的最小值为 . 【例3】已知且，求的最小值为 . 【变式训练】 1．已知，，是正实数，且，则最小值为 . 2．已知正数满足，，则的最小值为 . 题型07 基本不等式中三角函数进行三角换元求最值问题 解｜题｜策｜略 ①遇到形如，可以利用三角换元设 ②遇到形如，可以利用三角换元设 【精选例题】 【例1】（多选题）若x，y满足，则（    ）. A． B． C． D． 【例2】函数的最大值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【例3】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 2.已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．若，则的最小值为（   ）（参考：，.） A． B． C． D． 2．已知正数，满足，则（    ） A． B．的最小值为4 C．的最小值为4 D． 3．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 4．函数，若存在正实数，，…，，其中且，使得，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．已知正实数，，满足，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对于任意实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知，，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 10．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．已知二次函数对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 13．已知实数m，n满足，则（    ） A． B． C． D． 14．已知曲线C：，下列结论正确的是（   ） A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D．曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 15．已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 16．已知曲线C：，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C关于原点对称 B．直线与曲线C有公共点 C．曲线C上任一点的横坐标的取值范围是 D．曲线C上任一点与原点距离的取值范围是 17．已知正实数满足，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值为6 D．的最小值为 18．已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 19．已知，则的最大值为 ． 20．已知实数满足，则的取值范围是 .. 21．若，，都有，则实数的取值范围为 . 22．若实数、、满足，，则实数的最小值是 . 23．已知集合，，若，则的取值范围为 . 24．已知正数，，满足，则的最小值为 ；的最小值为 25．已知函数，且，则的最小值是 . 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $