专题02 指、对、幂数比较大小必考六类问题（专项训练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

专题02 指、对、幂数比较大小必考六类问题（专项训练） 【人教A版】 【题型1 比较指数幂的大小】 2 【题型2 比较对数式的大小】 3 【题型3 比较指数式、幂数的大小】 3 【题型4 比较指数式、对数式的大小】 4 【题型5 比较对数式、幂数的大小】 4 【题型6 指、对、幂数的大小比较】 5 知识点1 比较指数幂、对数式的大小的方法 1．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 2. 比较对数式的大小的方法 (1)底数相同，真数不同时：利用对数函数单调性比较大小； (1)底数不同，真数不同时：通过中间量来比较，一般引入中间量“0、1”. 知识点2 指、对、幂数比较大小的一般方法 1．单调性法 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数y=ax的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数y=xa单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用对数函数单调性比较大小. 2．中间值法 当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3．作差法、作商法 (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4．估算法 (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5．构造函数法 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6．放缩法 (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 【题型1 比较指数幂的大小】 1．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 【题型2 比较对数式的大小】 6．（24-25高一上·广东深圳·期末）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）已知均为大于1的数，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，，，则这三个数从小到大的顺序是 . 10．（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 【题型3 比较指数式、幂数的大小】 11．（25-26高一上·山东青岛·期中）若，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·浙江台州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·广东清远·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·江苏盐城·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·天津西青·期中）设，则这三个数，，由小到大的排列顺序 ． 【题型4 比较指数式、对数式的大小】 16．（25-26高三上·江西赣州·期中）若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·浙江·期中）设，则（　　） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，，比较a，b，c的大小关系： ． 20．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为 ．（用连接） 【题型5 比较对数式、幂数的大小】 21．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·山东德州·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·江西·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 指、对、幂数的大小比较】 26．（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指、对、幂数比较大小必考六类问题（专项训练） 【人教A版】 【题型1 比较指数幂的大小】 2 【题型2 比较对数式的大小】 4 【题型3 比较指数式、幂数的大小】 6 【题型4 比较指数式、对数式的大小】 8 【题型5 比较对数式、幂数的大小】 10 【题型6 指、对、幂数的大小比较】 11 知识点1 比较指数幂、对数式的大小的方法 1．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 2. 比较对数式的大小的方法 (1)底数相同，真数不同时：利用对数函数单调性比较大小； (1)底数不同，真数不同时：通过中间量来比较，一般引入中间量“0、1”. 知识点2 指、对、幂数比较大小的一般方法 1．单调性法 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数y=ax的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数y=xa单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用对数函数单调性比较大小. 2．中间值法 当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3．作差法、作商法 (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4．估算法 (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5．构造函数法 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6．放缩法 (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 【题型1 比较指数幂的大小】 1．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数幂比较大小即可． 【解答过程】， ，，则， ． 故选：D． 2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用指数函数单调性即可比较得出三个数的大小. 【解答过程】由函数在上为单调递增函数，可知，即； 又函数在上为单调递减函数，可知，即; 所以可得. 故选：D. 3．（25-26高一上·江西·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由指数函数单调性，直接比较，由中间值，比较即可. 【解答过程】由单调递增，可得， 由单调递减，可得， 则. 故选：B. 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 【答案】 【解题思路】利用中间量，再结合指数函数的单调性即可判断. 【解答过程】因为，所以； 因为，所以； 所以， 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）函数在定义域R上单调递减,比较大小； （2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，取点比较大小； （3）分别构造函数与，借助中间值比较大小. 【解答过程】（1），函数在定义域R上单调递减， 又，. （2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，如图所示， 当时，观察图象易得. （3）分别构造函数与， ，，与在R上分别为增函数和减函数. ，， ，，. 【题型2 比较对数式的大小】 6．（24-25高一上·广东深圳·期末）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数函数的性质进行比较即可. 【解答过程】，， ，. 故选：D. 7．（25-26高一上·全国·课前预习）已知均为大于1的数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将已知条件变形得到，再通过作商法比较的大小，最后利用对数函数的性质即可求解. 【解答过程】 ， ， 则，故， 又，，故， ，． 故选：D. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的单调性，分别得出，，又，故可以得出大小关系. 【解答过程】由于， 所以，又， ，所以． 故选：C. 9．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，，，则这三个数从小到大的顺序是 . 【答案】 【解题思路】根据对数函数的性质并结合中间量1.5和1.6即可比较大小. 【解答过程】， 则，即， ，即，所以， 综上. 故答案为：. 10．（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据的单调性比较出大小； （2）利用对数函数单调性和中间值比较出； （3）利用指数函数和对数函数单调性和中间值比较出大小 【解答过程】（1）因为函数在上是增函数，又，所以． （2）由于，所以． （3）因为，， 所以． 【题型3 比较指数式、幂数的大小】 11．（25-26高一上·山东青岛·期中）若，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数函数和幂函数的性质，判断函数值大小关系即可. 【解答过程】由在上单调递减可知，，即 由在上单调递增可知，，即， 综上所述，. 故选：C. 12．（25-26高一上·浙江台州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数函数单调性得，再结合幂函数性质比较大小即可. 【解答过程】, 而，所以. 故选：A. 13．（25-26高一上·广东清远·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用指数函数和幂函数的单调性，分别比较与、与的大小，进而得出三者的大小关系. 【解答过程】比较和：函数单调递减，因，故，即. 比较和：函数在上单调递增，因，故，即. 综上，. 故选：C. 14．（24-25高一上·江苏盐城·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数式的形式，构造幂函数、指数函数，利用幂函数和指数函数的单调性，运用中间值比较法进行判断即可. 【解答过程】因为幂函数是正实数集上的增函数， 所以有，即， 又因为指数函数是实数集上的增函数， 所以有，即，于是有， 故选：C. 15．（24-25高一上·天津西青·期中）设，则这三个数，，由小到大的排列顺序 ． 【答案】 【解题思路】根据的单调性得到，再根据幂函数和指数函数的单调性分别得到和即可. 【解答过程】因为在上单调递减，且， 所以， 因为，所以幂函数在上单调递增，由得， 因为，所以指数函数在上单调递减，由得， 所以这三个数，，由小到大的排列顺序为. 故答案为：. 【题型4 比较指数式、对数式的大小】 16．（25-26高三上·江西赣州·期中）若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小. 【解答过程】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D. 17．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解. 【解答过程】因为， 又因为， ， 所以. 故选：D. 18．（25-26高一上·浙江·期中）设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性进行比较即可. 【解答过程】因为是R上的单调递减函数， 所以； 因为是R上单调递增函数， 所以； 因为在上单调递增， 所以； 又因为， 即， 又因为， 综上，. 故选：A. 19．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，，比较a，b，c的大小关系： ． 【答案】 【解题思路】根据对数函数、指数函数的单调性，利用“1”、“0”比较大小. 【解答过程】由，，， 所以， 故答案为：. 20．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为 ．（用连接） 【答案】 【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为指数函数在上为减函数，则， 指数函数在上为增函数，则， 对数函数在上为增函数，则， 因此，. 故答案为：. 【题型5 比较对数式、幂数的大小】 21．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用幂函数、对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为幂函数在上为增函数，所以，即， 又因为对数函数在上为增函数，所以， 综上所述，. 故选：D. 22．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数及幂函数的单调性计算判断即可. 【解答过程】在上单调递增，则； 在上单调递增，所以；又，所以， 故选：A. 23．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对数函数及幂函数的单调性即可判断； 【解答过程】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以，，所以. 故选：B. 24．（24-25高一上·山东德州·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用幂函数的性质和对数函数的性质进行比较即可. 【解答过程】， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 所以. 故选：D. 25．（24-25高一上·江西·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数函数与幂函数的单调性比较大小可得结果. 【解答过程】∵幂函数在上单调递增，∴. ∵对数函数在上单调递增，∴， ∴. 故选：B. 【题型6 指、对、幂数的大小比较】 26．（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】可借助指数幂的运算法则可得、，再结合的单调性即可得，大小关系，也可借助幂函数及指数函数的单调性得到，大小关系，再利用对数运算可得，即可得解. 【解答过程】法一：由， ， 又函数为增函数，且，故，即， 又，故. 法二：由函数在上单调递增，故， 由函数在上单调递减，故， 即有，故， 又，故. 故选：B. 27．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据幂函数的单调性可比较，再由指数函数的单调性可得， 再由对数函数的单调性可得，即可得解. 【解答过程】因为为增函数，所以. 因为为减函数，所以，则. 又为减函数，所以， 故，即. 故选：B. 28．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小. 【解答过程】依题意，，， 所以. 故选：B. 29．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数函数单调性可得，再由指数函数以及幂函数性质可判断，可得结论. 【解答过程】因为，所以，可得； 则，即， 又，即， 易知指数函数单调递减，可得， 又幂函数单调递增，可知， 即可得； 因此可得. 故选：D. 30．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数函数,对数函数以及幂函数的单调性即可求解. 【解答过程】因为 ， ，故，所以． 故选：A. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $