第01讲 实数及其运算（复习讲义，6考点13题型3重难）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦中考“实数及其运算”核心模块，覆盖实数分类、概念性质、科学记数法、平方根立方根、大小比较及混合运算六大命题点，构建“知识网络-考点解析-题型突破”三阶复习体系，通过真题梳理与方法指导帮助学生突破无理数估算、新定义运算等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于以核心素养为导向，如通过“科学记数法表示400皮秒”实例培养数感与量感，设计“非负性应用”“数轴动态问题”等专题提升推理意识，结合2025年各地中考真题分层训练。教师可依托考情剖析精准把控节奏，助力学生高效构建知识体系，提升运算能力与创新意识，实现短时间内复习效果最大化。

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 实数的分类 题型01实数的分类 题型02无理数的估算 命题点二 实数的相关概念及其性质 题型01实数的相关概念及性质 题型02 相反意义的量 命题点三 科学记数法及近似数 题型01利用科学记数法表示较大的数 题型02利用科学记数法表示较小的数 题型03近似数与精确度 命题点四 算术平方根、平方根、立方根 题型01求一个数的平方根/立方根 题型02根据平方根/立方根的性质求解 题型03 平方根/立方根的实际应用 命题点五 实数的比较大小 题型01实数的比较大小 命题点六 实数的运算 题型01实数的混合运算 题型02 实数运算与新定义问题 05·重难突破·思维进阶 34 突破一 非负性的应用 突破二 实数与数轴相结合的应用 突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 考点 课标要求 考法分析 实数的分类 理解实数的分类，能区分有理数和无理数，明确正实数、负实数、零的归属。 识别无理数（如开方开不尽的数、π），或结合数轴判断数的类型（如 2025・江苏扬州卷、2025・江西卷）。 实数的相关概念及其性质 掌握正数和负数、数轴、相反数、绝对值、倒数的概念及性质，理解实数的几何意义。 考查用正负数表示相反意义的量（如 2025・吉林长春卷、2025・湖南长沙卷）；数轴上点的表示、移动及实数大小比较（如 2025・山东卷、2025・北京卷）；直接求相反数（2025・浙江卷、2025・四川眉山卷）、绝对值（2025・江苏连云港卷、2025・重庆卷）、倒数（2025・山东烟台卷），常与其他概念综合考查。 科学记数法与近似数 会用科学记数法表示较大或较小的数，能按要求取近似数。 考查大数（如经济数据、人口）或小数（如时间单位）的科学记数法表示（2025・辽宁卷、2025・广东卷 T17）；注重实际背景，强调应用，近似数常结合测量、统计考查。 算术平方根、平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示，会求某些数的平方根、立方根。 直接求算术平方根、平方根或立方根，或与非负性结合解方程（2025・四川凉山卷、2025・江西卷），可能涉及简单计算和性质应用。 实数的比较大小 会比较实数的大小，包括正数、负数和零。 直接比较实数大小，或与有理数对比考查（如 2025・福建卷、2025・湖南卷），多考查负数与正数的比较，难度较低。 实数的运算 会进行实数的混合运算，包括加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值、三角函数等。 综合考查实数的混合运算，涉及去绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数等（2025・湖南长沙卷、2025・河北卷），注重运算顺序和符号处理。 能理解新定义运算或材料内容，解决与实数相关的综合问题。 定义新运算（如2025·四川泸州卷），或根据材料进行变换、推理（如2025·安徽卷）。考查逻辑思维和迁移能力，难度较高。 命题预测 命题趋势：实数部分是中考数学的基础内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题为主，难度适中。其中，实数的混合运算和新定义题是重点和难点，着重考查学生对运算顺序、符号规则的熟练掌握程度，同时也会涉及到与数轴、函数等知识的综合应用，考查学生的数形结合能力和知识迁移能力。 备考建议： 1. 重视基础概念：重点掌握相反数、绝对值、科学记数法等基础概念的直接应用，确保在基础题上不丢分。 2. 强化数形结合练习：加强实数与数轴结合的题目训练，提升利用数轴分析实数问题的数形结合能力，如通过数轴比较实数大小、确定实数的位置等。 3. 熟练掌握混合运算：针对实数的混合运算，需综合掌握绝对值、指数幂、开方等知识点，严格遵循运算顺序，注意符号变化，避免计算错误。 4. 关注新定义题型：重视新定义题的训练，培养材料阅读和逻辑推理能力，提升应对创新题型的能力。 考点一 实数的分类 1.实数的分类： 2. 常见的无理数： 1）开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）π以及一些含π的数，如5π，3+π，等； 3）具有特点结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 1．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 2．（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了正数的概念，熟知正数的概念是解题的关键． 根据正数的定义判断各选项是否符合条件． 【分析】A．1大于0，是正数，故本选项符合题意； B．0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； C．小于0，属于负数，故本选项不符合题意； D．小于0，属于负数，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， 故答案为：3（答案不唯一） 考点二 实数的相关概念及其性质 1.实数的相关概念及性质 名称 定义 性质 数轴 在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的. 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 1）若a，b互为相反数，则a+b=0 2）0的相反数是0 3）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧. 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 1）0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1； 2）若ab=1a，b互为倒数； 若ab=-1a，b互为负倒数； 2.用正、负数表示相反意义的量 用正、负数可以表示具有相反意义的量，一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“+”表示，则另一个“意义”必定用“-”表示．如：若规定向东5米为“+5米”，则向西9米为“-9米”. 1．（2025·江苏·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：A． 2．（2025·四川泸州·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：A. 和互为相反数，故该选项正确，符合题意；     B. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； C. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；     D. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 考点三 科学记数法与近似数 1.科学记数法 定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 表示方法： 类别 a的确定 n的确定 示例 |A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数 a=5.5，n=6 0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数 a=-5.5，n=-6 【温馨提示】对于含有计数(量)单位的数，用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示. 常考的计数单位：； 常考的计量单位：. 2.近似数 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.例如π取3.14，小红体重约45kg，数字 “3.14”和“45”就是近似数. 精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一数位. 1．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 2．（2025·四川资阳·中考真题）2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1300万辆．将数“1300万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解；1300万． 故选B． 3．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 考点四 算术平方根，平方根，立方根 名称 定义 性质 算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为 正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么x叫做a的平方根，记作± 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 立方根 如果，则x叫做a的立方根，记作 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 1．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数． 计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是． 【详解】解：∵表示4的算术平方根，且， ∴ ． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是． 故选：B． 2．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键． 根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根． 【详解】解：因为， 所以， 即4的算术平方根是2. 故答案为：2． 3．（2025·浙江·中考真题） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 考点五 实数的比较 数轴比较法 同一数轴上表示的两个数，左边的数小于右边的数. 类别比较法 正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 差值比较法 设a，b是两实数，若 平方比较法 若a，b是两负实数，若a＜b；若a，b是两正实数，若a＞b； 倒数法 对于符号相同的两个数，若，则a＞b；若，则a＜b. 求商比较法 设a，b是两正实数，若 估算法 设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.例如≈1.414，≈1.732，≈2.236； 1．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 2．（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 3．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 考点六 实数的运算 1.四则运算 实数的加法法则 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 实数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数. 实数的乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 实数的除法法则 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 2.几种常见的运算 3.加法、乘法运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 4.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 5.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 1．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 2．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 命题点一 实数的分类 ►题型01 实数的分类 有理数与无理数的根本区别在于小数的循环与不循环.有限小数、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，也就是说无理数应满足两个条件，一是无限小数，二是不循环的，二者缺一不可. 【典例1】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（2025·山东泰安·模拟预测）下列各数，、、0、、中，负有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了化简多重符号，立方根，负整数幂，有理数的分类，小于0的有理数即为负有理数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∴负有理数有数、、、共个， 故选：C． 【变式1-2】（2025·湖南永州·一模）在，，，，，各数中，负数的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查负数的判断，根据相反数的概念、绝对值的性质、负数的奇数次幂等相关知识点正确判断是解题关键． 根据负数的相反数为正、绝对值的意义、幂的运算等相关原则，进行计算分析即可． 【详解】解：，为正数； ，为负数； ，既不是正数，也不是负数； ，为负数； ，为负数； ，为负数； 所以负数个数为4个， 故选：C． 【变式1-3】（2025·四川资阳·模拟预测）在，数中，其中整数有m个，非负数有n个，即 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，代数式求值，掌握有理数的分类是解题的关键，注意0比较特殊，是整数，既不是正数也不是负数．根据整数，非负数的定义得出，，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，，，， 整数有、，，，，共5个，即， 非负数有、，，，，，共6个，即， ， 故答案为：． ►题型02 无理数的估算 若，则，因此我们可以找距离a最近的两个平方数，来估算的大小.例如:因为25＜a＜36，则. 【典例2】（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 【变式2-2】（2025·河北唐山·三模）如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（   ） A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，由图可知，被手掌遮挡住的数在和之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的数可能是哪一个． 【详解】解：A选项：，∴，即在和之间，故A选项不符合题意； B选项：，∴在和之间，故B选项符合题意； C选项：，在和之间，故C选项不符合题意； D选项：，∴在和之间，故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式2-3】（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 命题点二 实数的相关概念及性质 ►题型01 实数的相关概念及性质 【典例2-1】（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 【典例2-2】（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-1】（2024·江苏南京·中考真题）如果实数满足 ，那么互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数和为0是解题的关键，根据相反数的定义，可得相反数的两数相加为0，据此作答． 【详解】解：如果实数满足，那么互为相反数， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·江苏宿迁·三模）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【变式2-3】（2025·江苏南京·一模）的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】此题主要考查了实数的性质，绝对值与相反数，理解绝对值与相反数的意义是解决问题的关键． 根据绝对值的意义可得出的绝对值，根据相反数的定义可得出的相反数． 【详解】解：的绝对值是：， ∴的相反数是：， 故答案为：，． ►题型02 相反意义的量 找到反义词，如果正数代表一个意义，那么负数就代表相反意义. 【典例3】（2025·四川遂宁·中考真题）小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“米”，那么向西跑20米记为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量；根据题意，向东记为“+”，则向西应记为“−”，且数值与方向无关，仅符号相反，即可解答． 【详解】解：根据题意，向东跑20米记为“米”，说明向东为正方向，向西则为负方向，向西跑的距离与向东跑的距离绝对值相同，方向相反，因此向西跑20米应记为“米”；选项中B符合这一规则； 故答案为：B． 【变式3-1】（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作， ∴那么低于标准质量记作． 故选：A． 【变式3-2】（2025·福建·中考真题）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可． 【详解】解：体重增加记作，那么体重减少应记作； 故答案为：． 命题点三 科学记数法及近似数 ►题型01 利用科学记数法表示较大的数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 【典例4】（2025·四川攀枝花·中考真题）银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源．16亿可用科学记数法记为（   ） A． B． C． D．1600000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为比原整数位数少1的整数进行表示即可． 【详解】解：16亿； 故选B． 【变式4-1】（2025·四川广元·中考真题）2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：千米/秒米/秒米/秒， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·四川南充·中考真题）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法中（ ）与（整数位数减 ）的确定是解题的关键． 先根据1马赫的速度算出25马赫的速度，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：计算25马赫的速度：（米/秒） 用科学记数法表示：（米/秒）, 故选：B． ►题型02 利用科学记数法表示较小的数 【典例5】（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法法则以及科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解： ； 故选：C． 【变式5-3】（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2) ， (3) 【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得： ， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数 ，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． ►题型03 近似数与精确度 1.取一个精确到某一位的近似数时，应是从这一位后面相邻的第一个数字进行四舍五入； 2.取较大数的近似数时，通常先把该数用科学记数法表示，再按要求精确. 【典例6】（2025·四川资阳·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．精确到十位 B．4.6093万是精确到千分位 C．用科学记数法表示的数精确到千位 D．近似数0.6和0.60表示的意义不同 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和科学记数法，熟练掌握近似数的相关知识是解题的关键； 根据近似数和科学记数法的相关知识逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，4在十位，故选项说法正确； B、4.6093万，精确到个位，故选项说法错误； C、用科学记数法表示的数精确到千位，故选项说法正确； D、近似数0.6精确到十分位，0.60精确到百分位，故近似数0.6和0.60表示的意义不同，故选项说法正确； 故选：B. 【变式6-1】（2025·四川·模拟预测）西昌年地区生产总值（）首次突破亿元大关，达到亿元，持续稳坐凉山州经济“头把交椅”．这里的亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．千万位 D．百万位 【答案】D 【分析】本题考查了精确度，把原数还原，看末位数字在还原后的数中所占的数位即可求解，理解精确度的定义是解题的关键 【详解】解：亿， ∵亿的末位数字在还原后的数中所占的数位是百万位， ∴亿精确到百万位， 故选：． 【变式6-2】（2025·山东潍坊·一模）某市2025年参加中考的学生数大约为人，下列关于这个近似数说法正确的是（   ） A．精确到百位，有3个有效数字 B．精确到百位，有5个有效数字 C．精确到百分位，有3个有效数字 D．精确到百分位，有5个有效数字 【答案】A 【分析】此题主要考查科学记数法与有效数字，解答的关键是明确用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法． 在标准形式中的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是，且其展开后可看出精确到的是百位． 【详解】解：，所以有 3 个有效数字，，精确到百位． 故选：A． 命题点四 算术平方根、平方根、立方根 ►题型01 求一个数的平方根/立方根 【易错失分点】求√a的平方根，要先把√a去根号，再求平方根 【典例7】（2025·眉山·中考真题）的立方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 【变式7-1】（2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1），故原计算错误； （2），故原计算错误； （3），故原计算正确； （4），故原计算错误， 故选：B． 【变式7-2】（2025·山东·三模）2025年是农历乙巳蛇年，下列对2025的说法正确的是（   ） A．2025的相反数是2025 B．2025的绝对值是2025 C．2025的倒数是2025 D．2025的平方根是2025 【答案】B 【详解】本题考查相反数、绝对值、倒数及平方根的概念，需根据相反数、绝对值、倒数及平方根的概念逐一判断各选项，即可作答． 【分析】解：A、2025的相反数是，故A选项不符合题意； B、2025的绝对值为2025，故B选项符合题意； C、2025的倒数为，故C选项不符合题意； D、2025的平方根为（因），故D选项不符合题意； 故选：B． ►题型02 根据平方根/立方根的性质求解 【典例8】（2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根满足且，因此必为非负数，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∴必为非负数， 故选：． 【变式8-1】（2025·湖北·模拟预测）已知实数满足、则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的性质，求一个数的平方根，根据绝对值的非负性可得，由平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式8-2】（2025·宁夏银川·二模）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 【答案】4 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数．先由一个正数的两个平方根分别是与，得出，解得，再代入得，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ， ， ， 则， 故答案为：4． 【变式8-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）若，则x的值为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了立方根，熟悉掌握立方根等于本身的数有0，是解题的关键． 根据立方根等于本身的数有0，，依此即可求解． 【详解】解： x的值为0，． 故答案为：0，． ►题型03 平方根/立方根的实际应用 1）把实际问题抽象成数学问题. 2）根据题意列出方程，利用平方根/立方根的定义求出方程的解. 【典例9】（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，正方形的面积等于边长的平方，所以2的算术平方根即为所求． 【详解】解：已知一个正方形的面积为2，则其边长为． 故答案为： 【变式9-1】（2025·广东深圳·三模）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，求出大正方形的边长，小正方形的边长，根据正方形的边长介于大正方形的边长和小正方形的边长之间，进行求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为8，小正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长， 由图可知：， ∴正方形的边长可能是； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式9-1】（2025·山东德州·二模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，无理数的估算，根据题意可得铁块的体积为，则铁块的棱长为，再估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：由排水法可知，排出的水的体积即为铁块的体积， ∴铁块的体积为， ∴铁块的棱长为， ∵， ∴， ∴铁块的棱长在3和4之间， 故选：B． 命题点五 实数的大小比较 ►题型01 实数的大小比较 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 【典例10】（2025·青海西宁·中考真题）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较实数大小，无理数的估算，掌握比较实数大小的法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键，根据比较实数大小的法则求解即可． 【详解】解：负数小于0，0小于正数， ， 又，，且， ， ， 最大的是， 故选：． 【变式10-1】（2025·浙江温州·模拟预测）若m为小于1的正数，则m与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的算术平方根，结合题意，举出例子进行分析，即可作答． 【详解】解：∵m为小于1的正数， ∴ ∴， ∴ 故选：C． 【变式10-2】（2025·宁夏·模拟预测）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较．熟练掌握无理数大小的估算，实数的大小比较法则，是解题的关键． 根据无理数的估算方法以及被开方数的大小逐项进行分析即可得． 【详解】A．∵， ∴，A正确，故该选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，即，B不正确，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴，C正确，故该选项不符合题意； D．∵， ∴， 即，D正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式10-3】（2025·河北唐山·三模）已知实数，，． (1)当时，计算最大数与最小数的差； (2)当时，试判断这三个数的大小关系． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查实数比较大小，实数的减法，掌握实数比较大小的方法是解题的关键． （1）当时，最大数是3，最小数是，根据有理数的减法法则即可求解； （2）当时，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行判断即可． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴最大数是3，最小数是，它们的差是：； （2）解：当时，，，， ∵， ∴． 命题点六 实数的运算 ►题型01 实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 【典例11】（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式11-1】（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 【变式11-2】（2025·云南昆明·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质、零指数幂，负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式及相关的运算法则．根据实数的运算法则及绝对值的性质、零次幂，负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简求解即可． 【详解】解：原式 ． ►题型02 实数运算与新定义问题 1）准确理解新定义的概念、规则，将其转化为数学语言。 2）分析新定义的应用条件，避免忽略限制。 3）把新定义问题转化为常规实数运算、方程等知识求解。 4）可通过示例或特殊值验证理解，分步骤拆解问题解决。 【典例12】（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴ ，故①正确， ②∵ ， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③ 不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 【变式12-1】（2025·甘肃酒泉·三模）对平面上任意一点，定义f，g两种变换：，如；，如．据此得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，根据变换规则，先计算，得到新坐标，再应用g变换． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【变式12-2】（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，涉及有理数的运算，数字类规律等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先确定末尾有4个0，再确定能被9整除，则各个数字之和也能被9整除，即可求解． 【详解】解：在中，的倍数有共4个，因此中，末尾共有4个0，故； ∵中的因数有9， ∴能被9整除，其各位数字之和也能被9整除， ∴是9的倍数，即， ∴， 故选：A． 【变式12-3】（2025·河北·模拟预测）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如， ． (1)计算：； (2)若，求这个三位数． 【答案】(1)148； (2)274． 【分析】本题考查了实数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）根据定义求出，分别讨论求出，，从而可得结论． 【详解】（1）解：； （2）解： a，b均为正整数 若，则，a不为整数，此种情况不成立 若，则此时， 综上这个三位数为274 突破一 非负性的应用 【典例1】（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 【变式1-1】（2025年四川省凉山州中考数学真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 【变式1-2】（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（2025·贵州·一模）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，掌握平方数和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方数和绝对值的非负性可知，，即，，先求出的值，把的值代入，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 突破二 实数与数轴相结合的应用 【典例2】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 【变式2-1】（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 【变式2-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 【变式2-3】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 【典例3】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 【变式3-1】（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【答案】72 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较，，确定十位数字是7，从而得到立方根为72． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． 因此，． 故答案为 ：72． 【变式3-2】（2025·上海·模拟预测）如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．（无恶意，逝者安息） 小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成． (1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日； 小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了． 此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？ 小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶... (2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明． 【答案】(1)2月14日可表示为月日； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数四则运算的法则是解题的关键． （1）通过对24和8进行四则运算，找到能分别得到2（对应月份）和14（对应日期）的式子； （2）设出任意两个正整数和任意非负有理数，利用四则运算的规则，推导出非负有理数可用这两个正整数的运算表示． 【详解】（1）解：∵，， ∴2月14日可表示为月日； （2）证明：设任意两个正整数为，，任意非负有理数， ∵， ∴任意非负有理数可以用表示（、为任意正整数）． 【变式3-2】（2025 安徽模拟预测）阅读以下材料，解决生活中的数学问题： 材料1：我国个人所得税起征点为每月5000元，具体规则如下： ①免税条件：月收入低于5000元的居民个人无需缴纳个人所得税； ②计税方式：超出5000元的部分按超额税率计算应纳税额． 应纳税所得额月工资收入元（起征点）-专项扣除金额； ③税率参考：具体适用税率见个人所得税税率表． 个人所得税税率表 应纳税所得额 税率 0至3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 ．．． ．．． 材料2：我国个人所得税专项附加扣除项目及金额主要有以下几个部分： ①子女教育专项：每个子女受教育阶段可享受2000元定额扣除； ②住房贷款利息专项：首套住房贷款可享受1000元定额扣除； ③赡养老人专项：每个独生子女赡养两位老人可扣除金额3000元； ④其它法定扣除项：如各类保险、公益捐赠等． 问题1：某公司员工小张扣除各项费用后的应纳税所得额为1800元，请直接写出小张缴纳的税额为___________元． 问题2：某公司员工小李除有首套住房贷款外，其他不满足专项附加扣除项目，小李月工资收入为8500元，求小李税后工资为多少元． 问题3：小刘与妻子均为独生子女，需共同赡养四位老人（双方父母各两位）并养育一个在读中学的孩子．小刘每月工资收入为14000元，已申报赡养两位老人；妻子每月工资收入为9000元，已申报赡养两位老人．子女教育专项附加扣除可选择由小刘或妻子一方申报．请通过计算说明，由谁申报此项扣除能使小刘家庭缴纳的税费较少． 【答案】问题1：54元；问题2：小李税后工资为8425元；问题3：小刘申报“子女专项附加费”缴纳税费更少 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用——纳税问题，熟练掌握分段税率，是解题的关键 （1）应纳税所得额为1800元，乘； （2）根据应纳税所得额=月工资收入为8500元-起征点5000元-首套住房贷款享受1000元元，乘税率得纳税额，8500元减纳税额即得； （3）分别计算由小刘申报“子女教育专项”时，夫妻共纳税额，由妻子申报“子女教育专项”时，夫妻共纳税额，比较即得． 【详解】问题1：（元），54元 问题2：（元） （元） （元） 答：小李税后工资为8425元． 问题3：若小刘申报“子女专项附加费” 小刘纳税：（元） 妻子纳税：（元） 夫妻共纳税：（元） 若妻子申报“子女教育专项” 妻子纳税： ∴妻子不纳税． 小刘纳税：（元） 夫妻共纳税：（元） ∵， ∴小刘申报“子女教育专项”缴纳税费更少． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 实数的分类 题型01实数的分类 题型02无理数的估算 命题点二 实数的相关概念及其性质 题型01实数的相关概念及性质 题型02 相反意义的量 命题点三 科学记数法及近似数 题型01利用科学记数法表示较大的数 题型02利用科学记数法表示较小的数 题型03近似数与精确度 命题点四 算术平方根、平方根、立方根 题型01求一个数的平方根/立方根 题型02根据平方根/立方根的性质求解 题型03 平方根/立方根的实际应用 命题点五 实数的比较大小 题型01实数的比较大小 命题点六 实数的运算 题型01实数的混合运算 题型02 实数运算与新定义问题 05·重难突破·思维进阶 18 突破一 实数与数轴相结合的应用 突破二 实数与数轴相结合的应用 突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 考点 课标要求 考法分析 实数的分类 理解实数的分类，能区分有理数和无理数，明确正实数、负实数、零的归属。 识别无理数（如开方开不尽的数、π），或结合数轴判断数的类型（如 2025・江苏扬州卷、2025・江西卷）。 实数的相关概念及其性质 掌握正数和负数、数轴、相反数、绝对值、倒数的概念及性质，理解实数的几何意义。 考查用正负数表示相反意义的量（如 2025・吉林长春卷、2025・湖南长沙卷）；数轴上点的表示、移动及实数大小比较（如 2025・山东卷、2025・北京卷）；直接求相反数（2025・浙江卷、2025・四川眉山卷）、绝对值（2025・江苏连云港卷、2025・重庆卷）、倒数（2025・山东烟台卷），常与其他概念综合考查。 科学记数法与近似数 会用科学记数法表示较大或较小的数，能按要求取近似数。 考查大数（如经济数据、人口）或小数（如时间单位）的科学记数法表示（2025・辽宁卷、2025・广东卷 T17）；注重实际背景，强调应用，近似数常结合测量、统计考查。 算术平方根、平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示，会求某些数的平方根、立方根。 直接求算术平方根、平方根或立方根，或与非负性结合解方程（2025・四川凉山卷、2025・江西卷），可能涉及简单计算和性质应用。 实数的比较大小 会比较实数的大小，包括正数、负数和零。 直接比较实数大小，或与有理数对比考查（如 2025・福建卷、2025・湖南卷），多考查负数与正数的比较，难度较低。 实数的运算 会进行实数的混合运算，包括加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值、三角函数等。 综合考查实数的混合运算，涉及去绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数等（2025・湖南长沙卷、2025・河北卷），注重运算顺序和符号处理。 能理解新定义运算或材料内容，解决与实数相关的综合问题。 定义新运算（如2025·四川泸州卷），或根据材料进行变换、推理（如2025·安徽卷）。考查逻辑思维和迁移能力，难度较高。 命题预测 命题趋势：实数部分是中考数学的基础内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题为主，难度适中。其中，实数的混合运算和新定义题是重点和难点，着重考查学生对运算顺序、符号规则的熟练掌握程度，同时也会涉及到与数轴、函数等知识的综合应用，考查学生的数形结合能力和知识迁移能力。 备考建议： 1. 重视基础概念：重点掌握相反数、绝对值、科学记数法等基础概念的直接应用，确保在基础题上不丢分。 2. 强化数形结合练习：加强实数与数轴结合的题目训练，提升利用数轴分析实数问题的数形结合能力，如通过数轴比较实数大小、确定实数的位置等。 3. 熟练掌握混合运算：针对实数的混合运算，需综合掌握绝对值、指数幂、开方等知识点，严格遵循运算顺序，注意符号变化，避免计算错误。 4. 关注新定义题型：重视新定义题的训练，培养材料阅读和逻辑推理能力，提升应对创新题型的能力。 考点一 实数的分类 1.实数的分类： 2. 常见的无理数： 1）开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）π以及一些含π的数，如5π，3+π，等； 3）具有特点结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 1．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 2．（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（   ） A．1 B．0 C． D． 3．（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 考点二 实数的相关概念及其性质 1.实数的相关概念及性质 名称 定义 性质 数轴 在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是①_____________对应的. 相反数 只有②_____________的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 1）若a，b互为相反数，则a+b=③_____________ 2）0的相反数是④_____________ 3）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离⑤_____________且位于原点的两侧. 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 1）0没有倒数，倒数等于它本身的数是⑥_____________； 2）若ab=⑦_____________a，b互为倒数； 若ab=-1a，b互为⑧_____________； 2.用正、负数表示相反意义的量 用正、负数可以表示具有相反意义的量，一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“+”表示，则另一个“意义”必定用“-”表示．如：若规定向东5米为“+5米”，则向西9米为“-9米”. 1．（2025·江苏·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 2．（2025·四川泸州·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 3．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三 科学记数法与近似数 1.科学记数法 定义：把一个数A表示成①_____________的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 表示方法： 类别 a的确定 n的确定 示例 |A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点②_____________的位数 a=④_____________， n=⑤_____________ 0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点⑥_____________的位数 a=⑧_____________， n=⑨_____________ 【温馨提示】对于含有计数(量)单位的数，用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示. 常考的计数单位：； 常考的计量单位：. 2.近似数 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.例如π取3.14，小红体重约45kg，数字 “3.14”和“45”就是近似数. 精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一数位. 1．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川资阳·中考真题）2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1300万辆．将数“1300万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 考点四 算术平方根，平方根，立方根 名称 定义 性质 算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为 正数有一个①_______的算术平方根； 0的算术平方根是②_______； 负数没有算术平方根. 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么x叫做a的平方根，记作± 正数有两个平方根，它们互为③_______；0的平方根是④_______；负数没有平方根 立方根 如果，则x叫做a的立方根，记作 正数的立方根是一个⑤_______，0的立方根是⑥_______，负数的立方根是一个⑦_______ 1．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 2．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 3．（2025·浙江·中考真题） ． 考点五 实数的比较 数轴比较法 同一数轴上表示的两个数，左边的数①_______右边的数. 类别比较法 正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而②_______. 差值比较法 设a，b是两实数，若 平方比较法 若a，b是两负实数，若a＜b；若a，b是两正实数，若a＞b； 倒数法 对于符号相同的两个数，若，则ab；若，则 A⑥_______b. 求商比较法 设a，b是两正实数，若 估算法 设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.例如≈⑨_______，≈⑩_______，≈⑾_______； 1．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 2．（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 考点六 实数的运算 1.四则运算 实数的加法法则 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值①___________ 2)异号两数相加，绝对值相等时，和为②________； 绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值③___________较小的绝对值. 实数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的④__________. 实数的乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把⑤___________相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 实数的除法法则 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的⑥___________； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 2.几种常见的运算 3.加法、乘法运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 4.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 5.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α ⑦ ⑧ ⑨ cos α ⑩ ⑾ ⑿ tan α ⒀ ⒁ ⒂ 1．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 2．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 命题点一 实数的分类 ►题型01 实数的分类 有理数与无理数的根本区别在于小数的循环与不循环.有限小数、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，也就是说无理数应满足两个条件，一是无限小数，二是不循环的，二者缺一不可. 【典例1】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山东泰安·模拟预测）下列各数，、、0、、中，负有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（2025·湖南永州·一模）在，，，，，各数中，负数的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1-3】（2025·四川资阳·模拟预测）在，数中，其中整数有m个，非负数有n个，即 ． ►题型02 无理数的估算 若，则，因此我们可以找距离a最近的两个平方数，来估算的大小.例如:因为25＜a＜36，则. 【典例2】（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 【变式2-1】（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2-2】（2025·河北唐山·三模）如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（   ） A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 【变式2-3】（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以，则可以设成以下两种形式： ①，其中；②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为，所以，即． 因为比较小，将忽略不计，所以，即，得， 故． 【尝试探究】（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 命题点二 实数的相关概念及性质 ►题型01 实数的相关概念及性质 【典例2-1】（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【典例2-2】（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【变式2-1】（2024·江苏南京·中考真题）如果实数满足 ，那么互为相反数． 【变式2-2】（2025·江苏宿迁·三模）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·江苏南京·一模）的绝对值是 ，的相反数是 ． ►题型02 相反意义的量 找到反义词，如果正数代表一个意义，那么负数就代表相反意义. 【典例3】（2025·四川遂宁·中考真题）小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“米”，那么向西跑20米记为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3-1】（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·福建·中考真题）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ． 命题点三 科学记数法及近似数 ►题型01 利用科学记数法表示较大的数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 【典例4】（2025·四川攀枝花·中考真题）银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源．16亿可用科学记数法记为（   ） A． B． C． D．1600000000 【变式4-1】（2025·四川广元·中考真题）2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒． 【变式4-2】（2025·四川南充·中考真题）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 ►题型02 利用科学记数法表示较小的数 【典例5】（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式5-3】（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． ►题型03 近似数与精确度 1.取一个精确到某一位的近似数时，应是从这一位后面相邻的第一个数字进行四舍五入； 2.取较大数的近似数时，通常先把该数用科学记数法表示，再按要求精确. 【典例6】（2025·四川资阳·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．精确到十位 B．4.6093万是精确到千分位 C．用科学记数法表示的数精确到千位 D．近似数0.6和0.60表示的意义不同 【变式6-1】（2025·四川·模拟预测）西昌年地区生产总值（）首次突破亿元大关，达到亿元，持续稳坐凉山州经济“头把交椅”．这里的亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．千万位 D．百万位 【变式6-2】（2025·山东潍坊·一模）某市2025年参加中考的学生数大约为人，下列关于这个近似数说法正确的是（   ） A．精确到百位，有3个有效数字 B．精确到百位，有5个有效数字 C．精确到百分位，有3个有效数字 D．精确到百分位，有5个有效数字 命题点四 算术平方根、平方根、立方根 ►题型01 求一个数的平方根/立方根 【易错失分点】求√a的平方根，要先把√a去根号，再求平方根 【典例7】（2025·眉山·中考真题）的立方根是 ． 【变式7-1】（2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-2】（2025·山东·三模）2025年是农历乙巳蛇年，下列对2025的说法正确的是（   ） A．2025的相反数是2025 B．2025的绝对值是2025 C．2025的倒数是2025 D．2025的平方根是2025 ►题型02 根据平方根/立方根的性质求解 【典例8】（2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 【变式8-1】（2025·湖北·模拟预测）已知实数满足、则实数（   ） A． B．2 C． D． 【变式8-2】（2025·宁夏银川·二模）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 【变式8-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）若，则x的值为 ． ►题型03 平方根/立方根的实际应用 1）把实际问题抽象成数学问题. 2）根据题意列出方程，利用平方根/立方根的定义求出方程的解. 【典例9】（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 【变式9-1】（2025·广东深圳·三模）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是 ． 【变式9-1】（2025·山东德州·二模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 命题点五 实数的大小比较 ►题型01 实数的大小比较 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 【典例10】（2025·青海西宁·中考真题）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 【变式10-1】（2025·浙江温州·模拟预测）若m为小于1的正数，则m与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式10-2】（2025·宁夏·模拟预测）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·河北唐山·三模）已知实数，，． (1)当时，计算最大数与最小数的差； (2)当时，试判断这三个数的大小关系． 命题点六 实数的运算 ►题型01 实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 【典例11】（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【变式11-1】（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【变式11-2】（2025·云南昆明·模拟预测）计算：． ►题型02 实数运算与新定义问题 1）准确理解新定义的概念、规则，将其转化为数学语言。 2）分析新定义的应用条件，避免忽略限制。 3）把新定义问题转化为常规实数运算、方程等知识求解。 4）可通过示例或特殊值验证理解，分步骤拆解问题解决。 【典例12】（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-1】（2025·甘肃酒泉·三模）对平面上任意一点，定义f，g两种变换：，如；，如．据此得（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 【变式12-3】（2025·河北·模拟预测）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如， ． (1)计算：； (2)若，求这个三位数． 突破一 非负性的应用 【典例1】（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【变式1-1】（2025年四川省凉山州中考数学真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【变式1-2】（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【变式1-3】（2025·贵州·一模）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ． 突破二 实数与数轴相结合的应用 【典例2】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-1】（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【变式2-3】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 【典例3】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【变式3-2】（2025·上海·模拟预测）如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．（无恶意，逝者安息） 小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成． (1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日； 小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了． 此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？ 小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶... (2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明． 【变式3-2】（2025 安徽模拟预测）阅读以下材料，解决生活中的数学问题： 材料1：我国个人所得税起征点为每月5000元，具体规则如下： ①免税条件：月收入低于5000元的居民个人无需缴纳个人所得税； ②计税方式：超出5000元的部分按超额税率计算应纳税额． 应纳税所得额月工资收入元（起征点）-专项扣除金额； ③税率参考：具体适用税率见个人所得税税率表． 个人所得税税率表 应纳税所得额 税率 0至3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 ．．． ．．． 材料2：我国个人所得税专项附加扣除项目及金额主要有以下几个部分： ①子女教育专项：每个子女受教育阶段可享受2000元定额扣除； ②住房贷款利息专项：首套住房贷款可享受1000元定额扣除； ③赡养老人专项：每个独生子女赡养两位老人可扣除金额3000元； ④其它法定扣除项：如各类保险、公益捐赠等． 问题1：某公司员工小张扣除各项费用后的应纳税所得额为1800元，请直接写出小张缴纳的税额为___________元． 问题2：某公司员工小李除有首套住房贷款外，其他不满足专项附加扣除项目，小李月工资收入为8500元，求小李税后工资为多少元． 问题3：小刘与妻子均为独生子女，需共同赡养四位老人（双方父母各两位）并养育一个在读中学的孩子．小刘每月工资收入为14000元，已申报赡养两位老人；妻子每月工资收入为9000元，已申报赡养两位老人．子女教育专项附加扣除可选择由小刘或妻子一方申报．请通过计算说明，由谁申报此项扣除能使小刘家庭缴纳的税费较少． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $