专题02 几何求解与轴对称旋转和平移模型（几何模型讲义）（重庆专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦几何变换核心考点，系统梳理轴对称、旋转、平移三大模型及综合应用，通过“考点梳理-模型解析-真题精讲”三阶教学流程，帮助学生构建从性质理解到解题应用的知识体系，突破空间想象与逻辑推理难点。 亮点在于模型化对比教学与真题导向训练，通过表格明晰三大变换核心特征与技巧，结合2024年重庆中考旋转构造全等题示范“变换不变量”分析，培养几何直观与推理能力。分层例题搭配综合应用题，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生空间观念与应考能力。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02几何求解与轴对称旋转和平移模型 几何求解是初中数学的核心内容，而轴对称、旋转与平移是解决几何问题的重要变换工具。这类模型 通常从图形的基本性质出发，先通过几何关系确定解题思路，再借助图形的对称、旋转或平移变换来简化 问题。然而，对于涉及多种变换的综合模型，图形的位置与性质变化较为复杂，这也对学生的空间想象与 逻辑推理能力提出了更高要求。 目录导航 例题讲模型 真题现模型 提炼模型 6 棋型运用 模型1.轴对称模型 模型2.旋转模型 23 模型3.平移模型 36 习题练模型 44 例题讲模型 模型来源 几何求解作为初中数学的核心内容，其模型化发展反映了数学从具体图形研究到抽象变换应用的过程。 轴对称、旋转与平移作为基本的几何变换，其系统化教学与应用贯穿了近现代几何学的发展历程。特别是 随着19世纪以来工程制图、物理光学及计算机图形学的发展，几何变换模型在教学与实际问题中的应用日 益广泛。 1177 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴对称的数学理论研究可追溯至欧几里得《几何原本》中对对称性的初步描述，后经近代数学教育体 系的提炼，成为解决几何问题的重要工具。旋转与平移模型则在现代课程标准中逐渐强化，尤其在重庆近 年中考题中频繁出现，如2023年B卷考查了坐标系中图形的旋转变换与构造，2024年A卷结合函数图像 与平移性质进行命题，体现出“图形变换+代数推理”的综合导向。这些模型不仅强化了学生的空间观念，也 为高中进一步学习矩阵变换、向量几何奠定基础。 模型类别 核心特征 关键技巧与性质 轴对称模 图形沿一条直线（对称轴）》对应点连线被对称轴垂直平分对应线段相等，对应角相等。利用对 型 折叠后完全重合 称性实现"搬移"线段或角。 旋转模型 图形绕一个定点（旋转中 对应点到旅转中心距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转 心)旋转一个定角 角，旋转前后图形全等，利用旋转构造全等三角形。 平移模型 图形沿一定方向移动一 对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，平移前后图形全等。 定距离 综合变换 两种及以上变换组合 变换顺序不同，结果一般不同，逐步分析，先执行靠近点的变换，寻 找变换中的不变量。 真题现模型 (2025·重庆中考真题)如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE,将△DCE沿直 线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE,延长DF交AB于点G.∠ADG和LDAG的平分线 DH,AH相交于点H,连接GH,则△DGH的面积为() H E 5 A. B. c.55 D. 55 8 8 4 【答案】A 【详解】解：如图，连接GE, 2/77 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :四边形ABCD是正方形， ∠B=∠C=∠BAC=LADC=90°，AB=BC=CD=DA=2, :点E是BC边的中点， ∴.BE=CE=1, :将△DCE沿直线DE翻折得△DFE, ∠EFD=∠C=90°，CE=FE=BE=1,DC=DF=2, ∠GFE=∠GBE=90°， GE=GE, .Rt△EFG≌Rt△EBG(HL), :.GF=GB, 设GB=GF=x,则AG=2-x,DG=2+x, 根据勾股定理可得AG2+AD2=DG, 即(2-x)2+22=(2+x)2, 解得x=2 1 4G- .DG=5 ' :∠ADG和∠DAG的平分线DH,AH相交于点H, :点H到AD,AG,GD的距离相等， GD :.S.GDH= 2 13 GD+AG+AD S.ADG=5 3 25 22 +222 故选：A. (2024重庆中考真题)如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转 90°，得到FE,连接CF并延长与AB的延长线交于点G,则的值为() CE 3/77 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.2 B.√ c.3W2 D.33 2 2 【答案】A 【详解】解：过点F作DC延长线的垂线，垂足为点H,则LH=90°， D E H 2 B G 由旋转得EA=EF,∠AEF=90°， :四边形ABCD是正方形， ∴∠D=90°，DC∥AB,DA=DC=BC,设DA=DC=BC=1, ∠D=∠H, :∠AEH=∠1+∠AEF=∠2+LD, .∠1=∠2， ·△ADE≌△EHF, DE=HF,AD=EH=1,DE =HF =x, 则CE=DC-DE=1-x, .CH=EH-EC=1-(1-x)=x, HF=CH=x,而LH=90°， .∠HCF=45°， .CF=_ F sin 450 =√2x, :DC∥AB, .∠HCF=LG=45°， 同理可求CG=√2BC=√2， FG=CG-CF=2-2x=2(1-x), 4/77 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :FG1-y-=2, CE 1-x 故选：A. (2024重庆，中考真题)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点， 连接AE,AF,AM平分∠EAF,交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为() A.2 B.√5 c.6 D. 2 5 【答案】D 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°，AB=AD=CD=BC=4, 又：BE=DF=1, △ABE≌△ADF(SAS, .AE=AF, :AM平分∠EAF, ∴∠EAM=LFAM, 又：AM=AM, ·△AEM≌△AFM(SAS), .EM =FM, 设DM=x,则EM=FM=DF+DM=x+1,CM=CD-DM=4-x, 在Rt△CEM中，由勾股定理得EMP=CE2+CMP, (x+1)2=32+(4-x)2, 都将=号 DM-12 5177 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 提炼模型 1:轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 图 形 B 如果一个图形沿着某条直线对折后， 如果两个图形对折后，这两个图形能 定 直线两旁的部分能够完全重合，那么 够完全重合，那么我们就说这两个图 义 这个图形就叫做轴对称图形，这条直 形成轴对称，这条直线叫做对称轴 线叫做对称轴 对应线段 AB=A'B',BC=B'C', AB-AC 相等 AC-A'C' 性 对应角相 ∠A=∠A'，∠B∠B', ∠B∠C 质 等 ∠C-∠C' 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状 (1)轴对称是指两个图形的位置关 区 的图形，只对一个图形而言； 系，必须涉及两个图形： 别 (2)对称轴不一定只有一条 (2)只有一条对称轴 (1)沿对称轴对折，两部分重合： (1)沿对称轴翻折，两个图形重合； 关 (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成 (2)如果把两个成轴对称的图形拼在 系 “两个图形”，那么这“两个图形” 一起，看成一个整体，那么它就是 就关于这条直线成轴对称 个轴对称图形 1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆. 2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等. 2:图形的平移 1.定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移.平移 不改变图形的形状和大小. 6/77 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离 3.性质： 1)平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2)各对应点所连接的线段平行（或在同一条直线上）且 相等；3)平移前后的图形全等. 3:图形的旋转 1.定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转过一个角度，这样的图形运动叫 旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角. 2.三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度 3.性质： 1)对应点到旋转中心的距离相等；2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角： 3)旋转前后的图形全等. 模型运用 模型1.轴对称模型 例1如图，在正方形ABCD中，AB=I0,E是CD的中点，F是CB延长线上的一点，将△ECF沿EF折叠 得到△EGF.连接CG并延长分别交EF、AD于O、H两点，若GO=3GH,则FG的长度为() H D G B A.10+√2 B.10+V5 c.5 D.5√6 【答案】D 【详解】解：设GH=t,则G0=31, H D B 7177 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ECF沿EF折叠得到△GEF, ∠E0C=90°，0C=G0=3t, ÷cos ZEC0=OC EC :正方形ABCD,AB=10,E是CD的中点， ∠D=90°，CE=。CD=5, .cosZECO= CD HC :Oc、cD EC HC :AB=10,0C=31,HC=0C+0G+GH=7t, 3、10 57， 解得t= 5V2 √21 2 .OE =CE2-OC2 52- 5v2 3× √21 :正方形ABCD, .∠ECB=∠EC0+∠0CF=90°， :∠E0C=∠F0C=90°， ∴.∠0FC+∠0CF=90°， .L0FC=∠EC0, sin∠OFC=sin∠ECo=OE 又：sin ZOFC=0C, CF,0c-31=152 √21 152 Oc ..CF= sin∠OFc 21=56, √7 FG=FC=56 故选：D. 例2.如图，裁剪出一正方形纸片ABCD,若AB=4,且E为BC的中点，将△ABE沿着AE所在直线折叠， 使点B落在正方形内点F处，连接CF,请你探究求出△ECF的面积为() 8/77 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.45 B.&5 c.8 D. 5 5 【答案】C 【分析】连接BF交AE于H,,根据三角形的面积公式求出BH,从而求得到BF,根据直角三角形的判定 得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出CF的长，再证明HF是△CEF的高，进而求出△CEF的面积， 【详解】解：连接BF交AE于H,如图， H B E :正方形纸片ABCD,AB=4, ∴.BC=AB=4,∠ABC=90°， :E为BC的中点， ÷BE=cE=8C=2, AE=VAB2+BE2=V42+22=2V5, 由折叠可知：点B与点F关于AE对称， AELBF.BH-FH-TDF 5ABBE :BH=ABBE=4×24V5 AE 25 5 BF=2BH=85, 5 由折叠可知：BE=EF, :BE EF CE ∠EBF=∠EFB,∠EFC=∠ECF, :∠EBF+∠EFB+∠EFC+∠ECF=180°， 9/77 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BFC=LEFB+LEFC=90°， 2 CF=BC2-BF2 42- 85 45 5 5 FAE⊥BF, .∠AHF=90°， .∠AHF=∠BFC, .AE∥CF, .△CEF的边CF的高等于FH, 5.cu-CF.F58 2555 故选：C 例3.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD的中点，连接AE,将AD沿AE折叠至正方形内部，得到线 段AF,延长AF交BC于点G,延长EF交BC于点H,若AB=4,连接CF,则EH-CF的长为() H A.825 B.84V5 c.1025 D.104V5 35 35 35 35 【答案】D 【详解】解：过F作FM⊥CD交于M,连接EG, D E:FM∥BC, H G aEFM∽△EHC, FM EM EF HC EC EH : 四边形ABCD是正方形， .AB=BC=AD CD=4, ∠B=∠D=LBCD=90°， 10/77 专题02 几何求解与轴对称旋转和平移模型 几何求解是初中数学的核心内容，而轴对称、旋转与平移是解决几何问题的重要变换工具。这类模型通常从图形的基本性质出发，先通过几何关系确定解题思路，再借助图形的对称、旋转或平移变换来简化问题。然而，对于涉及多种变换的综合模型，图形的位置与性质变化较为复杂，这也对学生的空间想象与逻辑推理能力提出了更高要求。 1 2 3 4 模型1.轴对称模型 4 模型2.旋转模型 7 模型3.平移模型 10 12 几何求解作为初中数学的核心内容，其模型化发展反映了数学从具体图形研究到抽象变换应用的过程。轴对称、旋转与平移作为基本的几何变换，其系统化教学与应用贯穿了近现代几何学的发展历程。特别是随着19世纪以来工程制图、物理光学及计算机图形学的发展，几何变换模型在教学与实际问题中的应用日益广泛。 轴对称的数学理论研究可追溯至欧几里得《几何原本》中对对称性的初步描述，后经近代数学教育体系的提炼，成为解决几何问题的重要工具。旋转与平移模型则在现代课程标准中逐渐强化，尤其在重庆近年中考题中频繁出现，如2023年B卷考查了坐标系中图形的旋转变换与构造，2024年A卷结合函数图像与平移性质进行命题，体现出“图形变换+代数推理”的综合导向。这些模型不仅强化了学生的空间观念，也为高中进一步学习矩阵变换、向量几何奠定基础。 模型类别 核心特征 关键技巧与性质 轴对称模型 图形沿一条直线（对称轴）折叠后完全重合 对应点连线被对称轴垂直平分 对应线段相等，对应角相等。利用对称性实现"搬移"线段或角。 旋转模型 图形绕一个定点（旋转中心）旋转一个定角 对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，旋转前后图形全等，利用旋转构造全等三角形。 平移模型 图形沿一定方向移动一定距离 对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，平移前后图形全等。 综合变换 两种及以上变换组合 变换顺序不同，结果一般不同，逐步分析，先执行靠近点的变换，寻找变换中的不变量。 （2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． （2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． （2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 1：轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 图 形 定 义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴 性 质 对应线段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′， AC=A′C′ 对应角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∠C=∠C′ 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 区 别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 关 系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆． 2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 2：图形的平移 1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 2．三大要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离． 3．性质： 1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等． 3：图形的旋转 1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 3．性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 模型1.轴对称模型 例1如图，在正方形中，，是的中点，是延长线上的一点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于、两点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 例2．如图，裁剪出一正方形纸片，若，且为的中点，将沿着所在直线折叠，使点落在正方形内点处，连接，请你探究求出的面积为（    ） A． B． C． D． 例3．如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 例4．如图，在正方形中，点是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点，延长交于点，若，连接，，则的长为（   ） A． B． C． D． 例5．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 例6．如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则（   ）． A． B． C． D． 例7．如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 例8．如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 例9．如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点，点的对应点为点，连接、、与交于点，与交于点，若点为中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 模型2.旋转模型 例1如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接并延长，与的延长线交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 例2．如图，正方形中，已知，对角线与交于点，点为线段上的一个动点（不与点重合），点为线段的中点．现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．在点的运动过程中，当时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 例3．如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别在上，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 例4．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接．则的长为（   ） A． B． C． D． 例5．如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 例6．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　） A．3 B．2 C．5 D． 例7．如图，正方形边长为6，E为线段上一点，F为边上一点，满足，与相交与点G，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 例9．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 例9．如图，在正方形中，，点F为边上的一点，连接交于点G，且，点E是对角线上的一点，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．20 D．24 模型3.平移模型 例1如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 例2．如图，在边长为3的正方形中，将沿射线平移，得到，连接，．则的最小值为（   ） A． B． C． D．10 例3．如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为（    ） A．27 B．45 C．18 D．36 例4．如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（    ） A．或 B．2或 C．或 D．或3 例5．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的长为（　　） A． B． C． D． 例6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到△A′D′C′，分别连接BC′，AD′，BD′，则BC′+BD′的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 一、单选题 1．如图，四边形是正方形，以为斜边在右侧作，使得且，在的延长线上取一点，使得，连接、，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为，点E是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形中，点为线段上一点，满足，连接，点为线段上一点，过点作交于点，交延长线于点，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，已知正方形的边长为6，点是边的中点，点是边的中点，连接，过点作交延长线于点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为4，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 6．如图，点是边长为8的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为 ；线段的长为 ． 7．如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点，若，，则的长为 ，长为 ． 8．如图，在菱形中，，，菱形的高为 ，若点为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 9．如图，为正方形内一点，，在射线上取一点，使，连接、相交于点，则 ．连接，若，则 ． 10．如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则 ， ． 三、解答题 11．四边形是平行四边形，连接，于点，交边于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，，，求的值． (3)如图3，，．将沿直线翻折得到，连接交边于点，连接．请补全图形，并求的长． 12．综合与探究 问题情境：如图1，正方形与正方形的点C重合，点E在边上，点G在边的延长线上．连接，取的中点M，连接，． 观察论证： （1）请写出图1中与的数量关系和位置关系并证明． 操作探究：将正方形绕点C逆时针旋转一周． （2）在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请就图2说明理由； （3）在旋转过程中，当点D，E，F在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 13．如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求的面积； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，直接写出四边形的面积． 14．问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 15．如图1，在梯形中，，，点在上，满足，又，． (1)求证：； (2)如图2，若点是线段上的动点且与点不重合，连接并延长交的延长线于点，设，求与之间的函数关系式，并写出定义域； (3)若点是线段上的动点且与点不重合，连接交于点，当是等腰三角形时，求的长度． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $