专题01 圆中垂径定理模型与切线相关模型（几何模型讲义）（重庆专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01圆中垂径定理模型与切线相关模型 圆是初中几何的核心内容，掌握其基本性质与常见模型对解决综合问题至关重要。垂径定理及其推论 是圆中计算线段长、证明垂直关系的重要工具，通常与勾股定理结合使用；而切线相关模型则涉及切线的 判定与性质，常与等腰三角形、相似三角形等知识结合，用于求解角度、长度或证明位置关系。熟练掌握 这两类模型，有助于系统理解圆的性质，并为后续复杂几何问题的解决奠定坚实基础。 目录导航 例题讲模型 真题现模型 提炼模型 6 模型运用 8 模型1.垂径定理模型 8 模型2.切线模型 23 模型3.双切线模型 38 习题练模型 48 例题讲模型 模型来源 圆中垂径定理与切线相关模型是平面几何圆理论体系的核心组成部分，其思想源头可追溯至古希腊几 何学。欧几里得在《几何原本》中系统阐述了圆的基本性质，为垂径定理（垂直于弦的直径平分该弦）奠 定了公理基础。 关于圆的切线理论，早期几何学者已认识到切线与半径的垂直关系。这一模型在17世纪随着解析几何 的兴起得到进一步形式化，并广泛应用于工程与物理学的运动轨迹分析中。该模型将圆的对称性与切线的 唯一性相结合，形成了完整的证明体系。 1/71 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定理 定理内容 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤。 切线判定定理 若直线与圆只有一个公共点，则该直线为圆的切线：或若直线到圆心 的距离等于半径，则该直线为切线。 切线性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的长度相等，且该点与圆心的连线 平分两条切线的夹角。 真题现模型 (2025·重庆.中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC,以AC为边作菱形ACDB,CD 交⊙O于点F,AB⊥CD,垂足为G.连接AD,交⊙O于点H,连接EH.若AG=12,GF=5,则DF 的长度为 EH的长度为 F刀 B 【答案】 3 【详解】解：，AB⊥CD,AG=12,GPF=5, ∴.CG=GF=5,即C℉=2CG=10, .AC=√4G+CG=N122+5=13, ,菱形ACDE, ∴.CD=AC=13, .GD=CD-GC=13-5=8,DF=CD-CF=13-10=3; ∴.AD=VAG2+GD2=V122+82=4V13 如图：连接BC,BH, 2/71 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，∠AHB=90° CB,即213 cos∠CAB=AGAC 13 AB 解得：AB=169 12 cos∠DAB=AC-AH 12 AH AD AB 即413169， 12 解得：H-丽 ,菱形ACDE, .CD∥AE, .∠DAE=∠CDA, 如图：过H作HM⊥AE于M, ,∴.sin∠DAE=sin∠GDA,cos∠DAE=cos∠GDA, :MHI=AG AM GD AHAD'AH AD MH 12 AM 8 ÷94i3 4V13, 4’AM=13 M= ME=AE-AM=13-13_13 22 ∴.AM=ME, .HM垂直平分AE, :.EH AH=133 4 故答案为：3： 3丽 (2024重庆·中考真题)如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A,以AC为边作平行四边形ACDB, 3/71 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点D、E均在⊙O上，DE与AB交于点F,连接CE,与OO交于点G,连接DG,若AB=IO,DE=8,则 AF= DG= 【答案】 P 203/20s 1313 【详解】解：连接DO并延长，交OO于点H,连接GH,设CE、AB交于点M,如图所示： B H y ,以AB为直径的⊙O与AC相切于点A, .AB L AC, ∴.∠CAB=90°， ,四边形ACDB为平行四边形， .DE//AC,AC=DE=8, .∠BFD=∠CAB=90°， AB⊥DE, :DF EF =DE=4, AB=10, :D0=B0=40=14B=5, ∴.OF=VOD2-DF2=3, .AF=OA+OF=5+3=8; DE//AC, '.△EFM∽ACAM, 4/71 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EFFM AC AM ..4=FM 8 AF-FM' 即4、PM 88-FM 解得：M=8, .EM=EF+FM2= 8月 4+ 4v13 3 ,DH为直径， .∠DGH=90°， ∴.∠DGH=∠EFM, .DG=DG, ∴.∠DEG=∠DHG, ∴.△EFM∽△HGD, 4-M DG DH 8 4V13 即3 10 解得：DG=2013 13 故答案为：8； 20v13 13 5/71 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提炼模型 1垂径图 知1推5 D ①AD平分∠CAB ②D是CB的中点 ③DO⊥CB B O ④ CE=EB ⑤ AC//OD 1 OE=上AC ⑥ 2.当圆中有相互垂直的弦时 (I)经常作直径所对的圆周角，可以得到平行弦 0。 0 E B D (Ⅱ)还可以构造相似 0。 D B D B ⊙ 易知∠B=∠E,A4ACE-ADCB (Ⅲ)当圆中有和弦垂直的线段时，还可以构造平行弦，可得BD2+AC2=BC2+AD2=4r2 6/71 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 O B D 3切割图（切线和割线垂直） B AB是直径 ①OC∥AD: CD是切线 ②AC平分∠BAD,CE=CB,∠DCA=∠CB4 AD⊥CD 3OF =CD=EG=BG=CH,BH DE=CG,OG=EF=AF=OH; OF⊥AE ④AD+DE=AB: CH⊥AB ⑤AE+AB=2AH=2AD,AE+AB=2AC·cOS∠BAC. AB是直径 CD是切线 DF AF AD OF CF OC B AD⊥CD 7/71 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB是直径 「AF AE EF CD是切线 CF CM MF B AD⊥CD CM2=MF-MB 4.双切图 A ①PA⊥PB,∠I=∠2 3 ②OP⊥AB,AE=BE PA、PB是切线 ③BD/IOP AD是直径 ④∠CBD=∠2=∠I=∠3 ⑤0E= BD B 2 模型运用 模型1.垂径定理模型 例1如图，已知AC是圆O的直径，弦BD⊥AC于点H,过点B作圆O的切线交AC的延长线于点E,连 接CD,F为CD的中点，连接FB,若BD=4V5,∠B=30°，则AC=,点O到BF的距离 8/71 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 【答案】 4v21 7 【分析】如图所示，连接OB,OD,OF,过点O作OG⊥BF,根据垂径定理得出 ∠BHE=∠BH0=90°，BH=DH=BD=2V3,BC=DC,根据∠B=30°，求出BE=2BH=43,根据BE 2 与⊙O相切，得出∠OBE=90°，从而求出OB=4,∠BOE=∠COD=60°，即可得AC=2OB=8,证明△COD 是等边三角形，得出OC=OD=CD=4,根据F为CD的中点，得出 ∠I=30°，OF⊥CD,CF=2,OF=V3CF=2√3，证明△BOF是直角三角形，勾股定理求出BF,等面积法即可 求解 【详解】解：如图所示，连接OB,OD,OF,过点O作OG⊥BF, B E:BD⊥AC,AC是OO的直径， ∠BHE=∠BHO=90°，BH=DH=BD=2N5,BC=DC, ,∠B=30°， ∴.BE=2BH=4V3, ,BE与⊙O相切， ∴.∠OBE=90°， :OB=5BE=5x4W5=4,∠B0B=∠CoD=60, 3 3 ∴.AC=2OB=8, ,∠BOE=∠COD=60°， ∴，△COD是等边三角形， 9/71 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OC=OD=CD=4, F为CD的中点， .∠1=30°，OF⊥CD,CF=2,OF=V5CF=2V5, ∴.∠BOF=∠BOC+∠1=90°， ∴.△BOF是直角三角形， BF=OB+0F=4+(23=27, BFx0G-OBx OF .0G= 4×254V21 2N7 即点O到BF的距离=4W2 故答案为：8， 4v21 7 例2.如图，AB为O0O的直径；弦CD⊥AB于点M,且AM:BM=916,CD=6,连接BD,以BD为边 作菱形BDEF,点E恰好落在弦CD上，连接DF交AB于点N,则AB= DN= M B 【答案】 25 16.25 3525 4 2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，菱形的性质等知识·连接OD根据垂 径定理求出CM=DM=CD=3,设AM=9x,表示出相关线段，根据勾股定理求出x=}即可求出 2 AB=25x=25 .根据勾股定理求出BD=5,根据菱形性质得到BF=BD=5,DE∥BF,进而得到 。DMINFBN,即可求出N-,根据勾股定理即可求出DN-35 【详解】解：如图，连接OD 10/71扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01圆中垂径定理模型与切线相关模型 圆是初中几何的核心内容，掌握其基本性质与常见模型对解决综合问题至关重要。垂径定理及其推论 是圆中计算线段长、证明垂直关系的重要工具，通常与勾股定理结合使用；而切线相关模型则涉及切线的 判定与性质，常与等腰三角形、相似三角形等知识结合，用于求解角度、长度或证明位置关系。熟练掌握 这两类模型，有助于系统理解圆的性质，并为后续复杂几何问题的解决奠定坚实基础。 目录导航 例题讲模型 真题现模型 2 提炼模型 棋型运用 5 模型1.垂径定理模型 模型2.切割线模型 模型3.双切线模型 10 习题练模型 12 例题讲模型 模型来源 圆中垂径定理与切线相关模型是平面几何圆理论体系的核心组成部分，其思想源头可追溯至古希腊几 何学。欧几里得在《几何原本》中系统阐述了圆的基本性质，为垂径定理（垂直于弦的直径平分该弦）奠 定了公理基础。 关于圆的切线理论，早期几何学者己认识到切线与半径的垂直关系。这一模型在17世纪随着解析几何 的兴起得到进一步形式化，并广泛应用于工程与物理学的运动轨迹分析中。该模型将圆的对称性与切线的 唯一性相结合，形成了完整的证明体系。 1/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定理 定理内容 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 切线判定定理 若直线与圆只有一个公共点，则该直线为圆的切线：或若直线到圆心 的距离等于半径，则该直线为切线。 切线性质定理 圆的切线垂直于过切，点的半径。 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的长度相等，且该点与圆心的连线 平分两条切线的夹角。 真题现模型 (2025·重庆中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC,以AC为边作菱形ACDE, CD交⊙O于点F,AB⊥CD,垂足为G.连接AD,交⊙O于点H,连接EH,若AG=I2,GF=5,则 DF的长度为 EH的长度为 B (2024重庆中考真题)如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A,以AC为边作平行四边形ACDE,点 D、E均在⊙O上，DE与AB交于点F,连接CE,与⊙O交于点G,连接DG,若AB=I0,DE=8,则 AF= DG= 2/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提炼模型 1.垂径图 知1推5 ①AD平分∠CAB ②D是CB的中点 ③DO⊥CB ④ CE=EB ⑤ AC/IOD 1 OE=二AC ⑥ 2 2.当圆中有相互垂直的弦时 (I)经常作直径所对的圆周角，可以得到平行弦 0。 B (I)还可以构造相似 0 D B D B E 易知∠B=∠E,△ACE-ADCB (Ⅲ)当圆中有和弦垂直的线段时，还可以构造平行弦，可得BD2+AC2=BC2+AD2=4r2 3/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 3切割图（切线和割线垂直） AB是直径 ①OC∥AD: CD是切线 ②AC平分∠BAD,CE=CB,∠DCA=∠CBA: AD⊥CD → 3OF =CD=EG=BG=CH,BH=DE=CG,OG=EF AF=OH; OF⊥AE ④AD+DE=AB: CH⊥AB ⑤AE+AB=2AH=2AD,AE+AB=2AC·COS∠BAC. AB是直径 CD是切线 DF AF AD OF CF OC AD⊥CD 4/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB是直径 AF AE EF CD是切线 。之 CF CM MF AD⊥CD CM2=MF-MB 4.双切图 ①PA⊥PB,∠I=∠2 ②OP⊥AB,AE=BE PA、PB是切线 ③BD/IOP AD是直径 ④∠CBD=∠2=∠1=∠3 ⑤OE=1BD 2 模型运用 模型1.垂径定理模型 例1如图，已知AC是圆O的直径，弦BD⊥AC于点H,过点B作圆O的切线交AC的延长线于点E,连 接CD,F为CD的中点，连接FB,若BD=4V3,LE=30°，则AC=一，点O到BF的距离 E H 例2.如图，AB为⊙O的直径；弦CD1AB于点M,且AM:BM=916,CD=6,连接BD,以BD为边 作菱形BDEF,点E恰好落在弦CD上，连接DF交AB于点N,则AB= ,DN= 5/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E M D B 例3.如图，以AB为直径的⊙O与BE相切于点B,EF交⊙O于C、F,弦CD垂直AB于点H,连接BF交 CD于G.若CD=AH=4,BF-15E,则BH=一，EC=一 13 E B 例4.以AB为直径的⊙O与AC相切于点A,弦DE⊥AB于点H,连接CD并延长交AB于点F、交⊙O于 点G,连接0D.若∠DOH=2∠C,OD=3,AH=1.则DE=-,AF= B G H了B 例3.如图，点A,B是⊙O上两点，连接AB,直径CD与AB垂直于点E,点F在OO上，连接AF,BF ,过点A作AG⊥BF交⊙O于点G,过点D作⊙O的切线交FG的延长线于点H,若AE=2N5,CD=8, ∠H=60°，则DE= AF= A 例6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直OB交AB于E,连接AC,F为⊙O上一点，连接CF,DF,过 6/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C作CH⊥DF交FD于点G,交AB于点P,若CE=√5，BE=GH=1则CP的长度为；连接FH,则 HF长度为 C E D 例T.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC.以AC为边作菱形ACDE,CD交⊙O于点F, AB⊥CD,垂足为G.连接AD,交⊙O于点H,连接EH.若AG=12,GF=5,则DF的长度为 ,EH的长度为. G D B 例8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H,点E为⊙O上一点，弧AD等于弧DE,过点C作 CF∥AE交AB于点G,交AD于点F.若CG=2GF,AE=2V7,则CH=一， AG= G D 例9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为H,E为AC上一点，过点E作⊙O的切线，分别交 DC,BA的延长线于点F和点G,连接BE交CD于点P,连接BD.若BD∥FG,BH=3,CD=4,则 PH= AG= 7/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y b O 模型2.切割线模型 例1如图，AB为圆O的直径，BC为切线，4C与圆O交于点D,AB=4,4D-8Y5,则CD的长为 ;连接CO并延长交圆O于点E,点F为点E下方圆O上一点，且AE=EF,连接FD,则FD的长为 D B 例2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的切线，且AD∥BC,作射线DB交⊙O于点E,连接 9C于点G,连接C,作P平分LBCE,交AB于点P,化=则p的值为一 CF∥AB,CF=3,则⊙O的半径为 D C 例3.如图，△ABC是⊙O内接三角形，⊙O的半径是√3，BC=2,LACB=120°，∠ACB的角平分线 CD交AB于点F,交⊙O于点D,连接AD、BD,过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E,则线段AB的 长度为一，线段DE的长度为一 8/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 D 例4，如图，已知AB是OO的直径，弦EF1AB于点C,过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D,G为 EF BE的中点，连接FG,若∠D=30°，FG=√万，则⊙O的半径是， AD G B D F 例了.如图，AB是⊙O的直径，C为直径AB上方⊙O上一点，连接BC,过点C的切线与BA的 延长线交于点D,E为OB上一点，过点E作BD的垂线交DC的延长线于点F,交BC于点 G,若A0=2AD=10,FG=7√5，则CF=_ EG= D A B 例6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OC⊥AB,CD是⊙O的切线，连接BD交OC于点E,交 O0于点r、连接D1并延长交O0于点G,若an∠G=行BC=6N万，则BE-一 CF= D 例7.如图，以AB为直径的⊙O上有两点C、D,且点D平分劣弧BC,连接AC、AD,过点D作⊙O的 切线交AB的延长线于点E,连接CD,若AB=4,DE=√5，则BE=一，CD=一 9/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例8.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BC为OO的直径，AB=AD,AD∥BC,过点C作⊙O的切线交 BD的延长线于点E,连接OA交BD于点F.若DE=2,则CE=;AF=一· B 例9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的 延长线于点P,连接OA,OB,若∠AOB=100°，∠BCP=35°，则∠ADC的度数为 模型3.双切线线模型 例1如图，AB为圆O的直径，过圆外一点E作圆的两条切线，交圆O于B,D两点，弦CD⊥OA于点M, 连接AE交MD于点F,交圆O于点G,已知AM=2,CD=6,则AB的长为 ;则FG的长 为 B E 例2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，点0为AB边上一点且OB=8,点D为BC边上的 10/16